2019版一轮复习理数通用版第十单元 空间几何体

2019版一轮复习理数通用版第十单元 空间几何体

第十单元 空间几何体 教材复习课 “空间几何体”相关基础知识一课过 空间几何体的结构特征 [过双基] 1．简单旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到； (2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到； (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行 于圆锥底面的平面截圆锥得到； (4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到． 2．简单多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形； (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形； (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 1．关于空间几何体的结构特征，下列说法中不正确的是( ) A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱锥的侧棱长都相等 C．三棱台的上、下底面是相似三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等 解析：选 B 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等． 2．下列说法中正确的是( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 解析：选 D 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时， 尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故 A 错误；若三角形不是直角三角形或是直角三 角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故 B 错误；若六棱锥的所有 棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然 要大于底面边长，故 C 错误．选 D. [清易错] 1．认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时，易忽视定义，可借助于 几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识． 2．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行． 1．已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 E，F 分别是棱 D1C1，B1C1 的中点， 过 E，F 作一平面α，使得平面α∥平面 AB1D1，则平面α截正方体的表面所得平面图形为 ( ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析：选 D 如图所示，平面α是平面 EFGHJK，截面是六边形，故选 D. 2．下列几何体是棱台的是________(填序号)． 解析：①③都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意．②中的截 面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意．④符合棱台的定义，故填④. 答案：④ 直观图与三视图 [过双基] 1．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 45°(或 135°)， z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 2．三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、 正上方观察几何体画出的轮廓线． [提醒] 正视图也称主视图，侧视图也称左视图． (2)三视图的画法 ①基本要求：长对正，高平齐，宽相等． ②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． 1．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( ) 解析：选 B D 选项为正视图或侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆 是虚线，故选 B. 2．如图所示，等腰△A′B′C′是△ABC 的直观图，那么△ABC 是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析：选 B 由题图知 A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，由斜二测画法知，在△ABC 中，AC∥y 轴，AB∥x 轴，∴AC⊥AB.又因为 A′C′＝A′B′，∴AC＝2AB≠AB，∴△ ABC 是直角三角形． 3．现有编号为①②③的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图 1、图 2、图 3， 则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的编号是( ) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 解析：选 B 还原出空间几何体，编号为①的三棱锥的直观图如图(1)三棱锥 PABC 所 示，平面 PAC⊥平面 ABC，平面 PBC⊥平面 ABC，满足题意；编号为②的三棱锥的直观图 如图(2)三棱锥 PABC 所示，平面 PBC⊥平面 ABC，满足题意；编号为③的三棱锥的直观 图如图(3)三棱锥 PABC 所示，不存在侧面与底面互相垂直，即满足题意的编号是①②. 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为( ) A. 5 B．2 2 C．3 D．3 2 解析：选 C 依题意，可知该几何体为如图所示三棱锥 DABC，最长的棱 AD＝ 1＋2 22＝3，故选 C. [清易错] 1．画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线和棱用虚线表示． 2．一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同． 1.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视 图为( ) 解析：选 B 给几何体的各顶点标上字母，如图 1.A，E 在侧投影面上的投影重合，C， G 在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图 2 所示，故正确选项为 B. 2．已知以下三视图中有三个表示同一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是( ) 解析：选 D 对于选项 A，相应的几何体是如图所示的三棱锥 ABCD，其中 AB⊥平面 BCD，且 BC⊥BD，AB＝3，BC＝1，BD＝2；对于选项 B，相应的几 何体可视为将选项 A 中的几何体按逆时针方向旋转 90°而得到的几何体；对于选 项 C，相应的几何体可视为将选项 A 中的几何体按逆时针方向旋转 180°而得到的几何体．综 上所述，选 D. 空间几何体的表面积与体积 [过双基] 空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V＝1 3Sh 台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝1 3(S 上＋S 下＋ S 上 S 下)h 球 S＝4πR2 V＝4 3πR3 1．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等 于( ) A．12 3 B．16 3 C．20 3 D．32 3 解析：选 C 由三视图画出该几何体的直观图如图所示，V 棱柱＝ 1 2 ×4×2 3×3＝12 3，V 棱锥＝1 3 ×4×(6－3)×2 3＝8 3，所以组合体的 体积 V＝V 棱柱＋V 棱锥＝20 3. 2．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位： cm3)是( ) A.π 2 ＋1 B.π 2 ＋3 C.3π 2 ＋1 D.3π 2 ＋3 解析：选 A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥的 一半与一个底面为直角边长为 2的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，故该几何 体的体积 V＝1 3 ×1 2π×12×3＋1 3 ×1 2 × 2× 2×3＝π 2 ＋1. 3．若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则其母线与轴所成角的大小是________． 解析：设圆锥的母线与轴所成角为θ，由题意得πRl＝2πR2，即 l＝2R，所以 sin θ＝R l ＝ 1 2 ，即θ＝π 6.即母线与轴所成角的大小是π 6. 答案：π 6 4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为________． 解析：由三视图可知该几何体左侧是一个半圆柱，底面半径为 1，高为 2；右侧是一个 棱长为 2 的正方体，则该几何体的表面积为 S＝5×22＋π×1×2＋π×12＝20＋3π. 答案：20＋3π [清易错] 1．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构 特征认识不准易导致失误． 2．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错． 3．易混侧面积与表面积的概念． 1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍， 下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为 矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多 少？”已知 1 丈为 10 尺，该楔体的三视图如图所示，其中图中小正方体的边长为 1 丈，则 该楔体的体积为( ) A．10 000 立方尺 B．11 000 立方尺 C．12 000 立方尺 D．13 000 立方尺 解析：选 A 该楔形的直观图如图中的几何体 ABCDEF 所示， 取 AB 的中点 G，CD 的中点 H，连接 FG，GH，HF，则该几何体可 看 作 四 棱 锥 FBCHG 与 三 棱 柱 ADEGHF 的 组 合 体 ． 三 棱 柱 ADEGHF 可以通过割补法得到一个高为 EF＝2，底面积为 S＝1 2 ×3×2＝3 的一个直棱柱， 故该楔形的体积 V＝3×2＋1 3 ×2×3×2＝10(立方丈)＝10 000(立方尺)． 2．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4， 腰长为 4 的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( ) A．6π B．12π C．18π D．24π 解析：选 B 由三视图可得该几何体的直观图为圆台，其上底半径为 2，下底半径为 1， 母线长为 4，所以该几何体的侧面积为π(2＋1)×4＝12π. 3．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________． 解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积 S＝3×4×2 ＋2×2×2＋4×2 2×2＋4×6＋1 2 ×(2＋6)×2×2＝72＋16 2. 答案：72＋16 2 一、选择题 1．如图所示，若 P 为正方体 ABCDA1B1C1D1 中 AC1 与 BD1 的交点，则△PAC 在该正 方体各个面上的射影可能是( ) A．①②③④ B．①③ C．①④ D．②④ 解析：选 C 由题意，得△PAC 在底面 ABCD，A1B1C1D1 上的射影如图①所示，△PAC 在其余四个侧面上的射影如图④所示，故选 C. 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB 平行于 y 轴，BC，AD 平行于 x 轴．已知四边形 ABCD 的面积为 2 2 cm2，则原 平面图形的面积为( ) A．4 cm2 B．4 2 cm2 C．8 cm2 D．8 2 cm2 解析：选 C 依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与 BC， AD 相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 2倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2. 3．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马； 将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 PABC 为鳖臑，PA⊥平面 ABC， PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 ( ) A．8π B．12π C．20π D．24π 解析：选 C 如图，由题意得 PC 为球 O 的直径，而 PC＝ 22＋42＝2 5， 即球 O 的半径 R＝ 5，所以球 O 的表面积 S＝4πR2＝20π.选 C. 4．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的 长度为( ) A．3 2 B．2 3 C．2 2 D．2 解析：选 B 在正方体中还原该四棱锥如图所示， 从图中易得最长的棱为 AC1＝ AC2＋CC21＝ 22＋22＋22＝2 3. 5．(2017·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( ) A．60 B．30 C．20 D．10 解析：选 D 如图，把三棱锥 ABCD 放到长方体中，长方体的长、 宽、高分别为 5,3,4，△BCD 为直角三角形，直角边分别为 5 和 3，三 棱锥 ABCD 的高为 4，故该三棱锥的体积 V＝1 3 ×1 2 ×5×3×4＝10. 6．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球 的表面积为( ) A.81π 4 B．16π C．9π D.27π 4 解析：选 A 如图，设球心为 O，半径为 r，则在 Rt△AOF 中， (4－r)2＋( 2)2＝r2，解得 r＝9 4 ，所以该球的表面积为 4πr2＝4π× 9 4 2 ＝81π 4 . 7．(2018·南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为 2 的 正三角形，侧视图是有一条直角边为 2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( ) 解析：选 C 由已知条件得直观图如图所示，PC⊥底面 ABC，正视图是直角三角形， 中间的线是看不见的线 PA 形成的投影，应为虚线，故选 C. 8．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为 4，该几何体的体积为 V1，直径为 4 的球的体积为 V2，则 V1∶V2＝( ) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶1 D．1∶4 解析：选 A 由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此 V1＝8π －8π 3 ＝16π 3 ，V2＝4π 3 ×23＝32π 3 ，V1∶V2＝1∶2. 二、填空题 9．(2017·山东高考)由一个长方体和两个1 4 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几 何体的体积为________． 解析：该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，高为 1 的四分之一圆柱体构成， ∴V＝2×1×1＋2×1 4 ×π×12×1＝2＋π 2. 答案：2＋π 2 10.已知某四棱锥，底面是边长为 2 的正方形，且俯视图如图所示．若 该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________． 解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为 O(如图)，又侧视图 为直角三角形，则直角三角形的斜边为 BC＝2， 斜边上的高为 SO＝1，此高即为四棱锥的高，故 V＝1 3 ×2×2×1＝4 3. 答案：4 3 11．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器 ——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取 3，其体积为 12.6(单位：立方寸)， 则图中的 x 的值为________． 解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，左侧是一个底面直径为 2r＝1、高为 x 的圆柱，右侧是一个长、宽、高分别为 5.4－x,3,1 的长方体，则该几何体的体积 V＝(5.4－ x)×3×1＋π×1 4 ×x＝12.6，解得 x＝1.6. 答案：1.6 12．某几何体的一条棱长为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6的线 段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a＋b 的 最大值为________． 解析：构造长方体，则其体对角线长为 7，其在侧视图中为侧面对角线 a，在俯视图中 为底面对角线 b，设长方体底面宽为 1，则 b2－1＋a2－1＝6，则 a2＋b2＝8，利用不等式 a＋b 2 ≤a2＋b2 2 ＝4，则 a＋b≤4，当且仅当 a＝b＝2 时取等号，即 a＋b 的最大值为 4. 答案：4 三、解答题 13．已知正三棱锥 V ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示． (1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解： (1)直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得 BC＝2 3， ∴侧视图中 VA＝ 42－ 2 3 × 3 2 ×2 3 2＝2 3， ∴S△VBC＝1 2 ×2 3×2 3＝6. 14．(2018·大庆质检)如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积． 解：(1)由题意可知该几何体为正六棱锥． (2)其侧视图如图所示，其中 AB＝AC，AD⊥BC，且 BC 的长是俯视图中的正六边形对 边的距离，即 BC＝ 3a，AD 的长是正六棱锥的高，即 AD＝ 3a， 故该平面图形的面积 S＝1 2 × 3a× 3a＝3 2a2. (3)该几何体的体积 V＝1 3 ×6× 3 4 a2× 3a＝3 2a3. 高考研究课 求解空间几何体问题的 2 环节——识图与计算 [全国卷 5 年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 三视图的判断 5 年 4 考 空间坐标系与三视图判断，求最长棱 空间几何体的面积 5 年 3 考 求表面积，由表面积求参数 空间几何体的体积 5 年 6 考 求组合体体积、体积比值、圆锥体积 与球有关的结合体问题 5 年 4 考 球内接几何体的体积问题 空间几何体的三视图 [典例] (1)(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到 的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( ) (2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( ) [解析] (1)先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧(左)视图．由几何体的正视 图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②. (2)根据选项 A、B、C、D 中的直观图，画出其三视图，只有 B 项正确． [答案] (1)B (2)B [方法技巧] 三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图． 注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分 用虚线表示． (2)由几何体的部分视图画出剩余的视图． 先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图 的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合． (3)由几何体的三视图还原几何体的形状． 要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还 原为实物图． [即时演练] 1．如图甲，将一个正三棱柱 ABC DEF 截去一个三棱锥 A BCD，得到几何体 BCDEF， 如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( ) 解析：选 C 由于三棱柱为正三棱柱，故平面 ADEB⊥平面 DEF，△DEF 是等边三角形，所以 CD 在后侧面上的投影为 AB 的中点与 D 的连线，CD 的投影与底面不垂直，故选 C. 2.(2018·昆明模拟)如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1B1C1D1 内一 点，则三棱锥 P BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( ) A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2 解析：选 A 根据题意，三棱锥 P BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面 边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱 柱的高．故三棱锥 P BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 1∶1. 空间几何体的表面积与体积 [典例] (1)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A．6 B．9 C．12 D．18 (2)(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直 径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥 S ABC 的体积为 9，则球 O 的 表面积为________． [解析] (1)该几何体是一个直三棱柱截去1 4 所得，如图所示，其体积为3 4 ×1 2 ×3×4×2 ＝9. (2) 如图，连接 AO，OB， ∵SC 为球 O 的直径， ∴点 O 为 SC 的中点， ∵SA＝AC，SB＝BC， ∴AO⊥SC，BO⊥SC， ∵平面 SCA⊥平面 SCB，平面 SCA∩平面 SCB＝SC， ∴AO⊥平面 SCB， 设球 O 的半径为 R， 则 OA＝OB＝R，SC＝2R. ∴VS ABC＝VASBC＝1 3 ×S△SBC×AO ＝1 3 × 1 2 ×SC×OB ×AO， 即 9＝1 3 × 1 2 ×2R×R ×R，解得 R＝3， ∴球 O 的表面积为 S＝4πR2＝4π×32＝36π. [答案] (1)B (2)36π [方法技巧] 1．求解几何体的表面积与体积的技巧 (1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知 几何体的某一面上． (2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何 体求解． (3)求表面积：其关键思想是空间问题平面化． 2．根据几何体的三视图求其表面积或体积的步骤 (1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图． (2)由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量． (3)套用相应的面积公式或体积公式计算求解． [即时演练] 1.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则 该多面体的体积为( ) A. 2 3 B. 3 3 C.4 3 D.3 2 解析：选 A 如图，分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 DG，CH，容易求得 EG＝HF＝1 2 ，AG＝GD＝BH＝HC ＝ 3 2 ，则△BHC 中 BC 边的高 h＝ 2 2 . ∴S△AGD＝S△BHC＝1 2 × 2 2 ×1＝ 2 4 ，∴V＝VEADG＋VFBHC＋VAGDBHC＝2VEADG＋VAGDBHC ＝1 3 × 2 4 ×1 2 ×2＋ 2 4 ×1＝ 2 3 . 2．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是( ) A．9＋4( 2＋ 5)cm2 B．10＋2( 2＋ 3)cm2 C．11＋2( 2＋ 5)cm2 D．11＋2( 2＋ 3)cm2 解析：选 C 如图所示，该几何体是棱长为 2 的正方体去掉两个小三棱柱得到的四棱 柱，其表面积为 2×2＋2×1＋2× 2＋2× 5＋2× 4－1 2 －1 ＝11＋2( 2＋ 5)cm2. 3．已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的体积为 36，点 E，F 分别为棱 B1B，C1C 上的点(异 于端点)，且 EF∥BC，则四棱锥 A1AEFD 的体积为________． 解析：设正四棱柱的底面边长为 a，高为 h，则 a2h＝36.又四棱锥 A1AEFD 可分割为两个三棱锥 A1AED，A1DEF 且这两个三棱锥体积 相等，则 VA1AEFD＝2VA1AED＝2VEADA1＝2×1 3S△ADA1×a＝ 2×1 3 ×1 2a×h×a＝1 3a2h＝1 3 ×36＝12. 答案：12 与球有关的切、接问题 与球有关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点.命题角度多变., 常见的命题角度有： 1四面体的内切球与外接球； 2三棱柱或四棱锥的外接球； 3圆柱或圆锥的内切球与外接球. 角度一：四面体的内切球与外接球 1．三棱锥 PABC 中，PA⊥平面 ABC 且 PA＝2，△ABC 是边长为 3的等边三角形， 则该三棱锥外接球的表面积为( ) A.4π 3 B．4π C．8π D．20π 解析：选 C 由题意得，此三棱锥外接球即以△ABC 为底面、以 PA 为高的正三棱柱的 外接球，因为△ABC 的外接圆半径 r＝ 3 2 × 3×2 3 ＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心 的距离 d＝1，所以外接球的半径 R＝ r2＋d2＝ 2，所以三棱锥外接球的表面积 S＝4πR2＝ 8π. 2．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积是( ) A.4 3π B.8 3π C．2π D．4π 解析：选 A 由三视图可知，三棱锥的底面是直角三角形，三棱锥的高为 1，其顶点在 底面的射影落在底面直角三角形斜边的中点上，则三棱锥的外接球的球心是底面直角三角 形斜边的中点，由此可知此球的半径为 1，于是外接球的体积 V＝4 3πR3＝4 3π. 3．若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2，则S1 S2 ＝________. 解析：设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S1＝4· 3 4 ·a2＝ 3a2，其内切球半径 为正四面体高的1 4 ，即 r＝1 4· 6 3 a＝ 6 12a，因此内切球表面积为 S2＝4πr2＝πa2 6 ， 则S1 S2 ＝ 3a2 π 6a2 ＝6 3 π . 答案：6 3 π 角度二：三棱柱或四棱锥的外接球 4．(2018·武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边 长为 2 2，则该球的表面积为________． 解析： 如图，正四棱锥 PABCD 的外接球的球心 O 在它的高 PO1 上，设球的半径为 R，因为 底面边长为 2 2，所以 AC＝4.在 Rt△AOO1 中，R2＝(4－R)2＋22，所以 R＝5 2 ，所以球的表 面积 S＝4πR2＝25π. 答案：25π 5．(2018·长春模拟)已知三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是边长为 6的正三角形，侧棱垂直 于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为 12π，则该三棱柱的体积为________． 解析：设球半径为 R，上，下底面中心设为 M，N，由题意，外接球心为 MN 的中点， 设为 O，则 OA＝R，由 4πR2＝12π，得 R＝OA＝ 3，又易得 AM＝ 2，由勾股定理可知， OM＝1，所以 MN＝2，即棱柱的高 h＝2，所以该三棱柱的体积为 3 4 ×( 6)2×2＝3 3. 答案：3 3 6．已知表面积为 4π的球有一内接四棱锥，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 SA ⊥平面 ABCD，则四棱锥 SABCD 的体积为________． 解析：由 S 球＝4πR2＝4π，解得 R＝1，即 2R＝2.四棱锥 SABCD 的直观图如图所示，其所在的长方体的外接球即四棱锥的外接球，所以 SA＝ 4－2＝ 2，所以四棱锥 SABCD 的体积 V＝1 3S 四边形 ABCD·SA＝ 1 3 ×1× 2＝ 2 3 . 答案： 2 3 角度三：圆柱或圆锥的内切球与外接球 7．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的 球面上，则该圆柱的体积为( ) A．π B.3π 4 C.π 2 D.π 4 解析：选 B 设圆柱的底面半径为 r，则 r2＝12－ 1 2 2＝3 4 ，所以圆柱的体积 V＝3 4π×1 ＝3π 4 . 8．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为 1，则圆锥的体积为 ________． 解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC 及其内切圆⊙O1 和外接圆⊙O2，且两 圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O1 的半径为 r＝1，即△ABC 的边长为 2 3，圆锥的底面半径为 3，高为 3，故 V＝1 3 ×π×3×3＝3π. 答案：3π 9．(2017·江苏高考)如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、 下底面及母线均相切．记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则V1 V2 的 值是________． 解析：设球 O 的半径为 R，因为球 O 与圆柱 O1O2 的上、下底面及母线均相切，所以圆 柱的底面半径为 R、高为 2R，所以V1 V2 ＝πR2·2R 4 3πR3 ＝3 2. 答案：3 2 [方法技巧] “切”“接”问题处理的注意事项 (1)“切”的处理 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过 作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． (2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住 外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 1.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰 直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若 干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A．10 B．12 C．14 D．16 解析：选 B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角 形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为 2， 直三棱柱的高为 2，三棱锥的高为 2，易知该多面体有 2 个面是梯形，这些梯形的面积之和 为2＋4×2 2 ×2＝12. 2．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的 三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( ) A．90π B．63π C．42π D．36π 解析：选 B 法一：由题意知，该几何体由底面半径为 3，高为 10 的圆柱截去底面半 径为 3，高为 6 的圆柱的一半所得，故其体积 V＝π×32×10－1 2 ×π×32×6＝63π. 法二：由题意知，该几何体由底面半径为 3，高为 10 的圆柱截去底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为 3，高为 7 的圆柱的体积，所以它的体积 V＝ π×32×7＝63π. 法三：(估值法)由题意，知 1 2V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱． 又 V 圆柱＝π×32×10＝90π， ∴45π＜V 几何体＜90π. 观察选项可知只有 63π符合．故选 B. 3．(2014·全国卷Ⅰ)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( ) A．6 2 B．4 2 C．6 D．4 解析：选 C 如图，设辅助正方体的棱长为 4，三视图对应的多面体 为三棱锥 ABCD，最长的棱为 AD＝ 4 22＋22＝6. 4．(2013·全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的 坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面 为投影面，则得到的正视图可以为( ) 解析：选 A 作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行投影，分 析其正视图形状．易知选 A. 5．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的 三视图，则该几何体的表面积为( ) A．20π B．24π C．28π D．32π 解析：选 C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为 r，周 长为 c，圆锥母线长为 l，圆柱高为 h.由图得 r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l ＝ 22＋2 32＝4，S 表＝πr2＋ch＋1 2cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 6．(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆 及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π 3 ，则它的表 面积是( ) A．17π B．18π C．20π D．28π 解析：选 A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上 半球的1 4 ，得到的几何体如图．设球的半径为 R，则4 3πR3－1 8 ×4 3πR3＝28 3 π， 解得 R＝2.因此它的表面积为7 8 ×4πR2＋3 4πR2＝17π. 7．(2015·全国卷Ⅱ)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝90°，C 为该球面上的动 点．若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A．36π B．64π C．144π D．256π 解析：选 C 如图，设球的半径为 R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝ 1 2R2. ∵VOABC＝VC AOB，而△AOB 面积为定值，∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VOABC 最大，∴当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VOABC 最大，为1 3 ×1 2R2×R＝36，∴R＝6，∴球 O 的表面积为 4πR2＝4π×62＝144π. 8．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋 内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问 米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( ) A．14 斛 B．22 斛 C．36 斛 D．66 斛 解析：选 B 设米堆的底面半径为 r 尺，则 π 2r＝8，所以 r＝16 π ，所以米堆的体积为 V ＝1 4 ×1 3π×r2×5＝ π 12 × 16 π 2×5≈320 9 (立方尺)．故堆放的米约有320 9 ÷1.62≈22(斛)． 9．(2014·全国卷Ⅱ)正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 3 ，D 为 BC 中 点，则三棱锥 AB1DC1 的体积为( ) A．3 B.3 2 C．1 D. 3 2 解析：选 C 由题意可知 AD⊥BC，由面面垂直的性质定理可得 AD⊥平面 DB1C1，又 AD＝2sin 60°＝ 3，所以 VAB1DC1＝1 3AD·S△B1D C1＝1 3 × 3×1 2 ×2× 3＝1. 一、选择题 1．如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，E 是 AB 的三等分点，G，N 是 CD 的三 等分点，F，H 分别是 BC，MN 的中点，则四棱锥 A1EFGH 的侧视图是( ) 解析：选 C 由直观图可知，点 A1，H，E，F 在平面 CDD1C1 的射影分别为 D1，N， G，C，在平面 CDD1C1，连接 D1，N，G，C 四点，从左侧看可知图形为选项 C. 2.(2017·永州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的 是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( ) A．1 B. 5 2 C. 6 D．2 3 解析：选 D 由题意得，该几何体的直观图为三棱锥 ABCD，如图，其最大面的表面 是边长为 2 2的等边三角形，故其面积为 3 4 ×(2 2)2＝2 3. 3．已知某空间几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 24π＋48，则该几何体 的表面积为( ) A．24π＋48 B．24π＋90＋6 41 C．48π＋48 D．24π＋66＋6 41 解析：选 D 由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为 3r、高 为 4r 的四分之一圆锥，右边是一个底面是直角边长为 3r 的等腰直角三角形、高为 4r 的三 棱锥，则1 4 ×1 3π(3r)2×4r＋1 3 ×1 2 ×3r×3r×4r＝24π＋48，解得 r＝2，则该几何体的表面积为 1 4 ×π×6×10＋1 4 ×π×62＋1 2 ×6×6＋2×1 2 ×6×8＋1 2 ×6 2× 82＝24π＋66＋6 41. 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A．60－12π B．60－6π C．72－12π D．72－6π 解析：选 D 根据三视图知该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体， 且四棱柱的底面是等腰梯形，高为 3， 所以该组合体的体积为 V＝1 2 ×(4＋8)×4×3－1 2π×22×3＝72－6π. 5．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则 此四面体的外接球的体积为( ) A.4π 3 B．3π C. 3 2 π D．π 解析：选 C 由三视图可知，该几何体是棱长为 1 的正方体截去 4 个角的小三棱锥后的几何体，如图所示，该几何体的外接球的直径等于 正方体的对角线，即 R＝ 3 2 ，所以外接球的体积 V＝4 3πR3＝ 3 2 π. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A．72 B．48 C．24 D．16 解析：选 C 由三视图可知，该几何体是一四棱锥，底面是上、下底边长分别为 2,4， 高是 6 的直角梯形，棱锥的高是 4，则该几何体的体积 V＝1 3 ×1 2 ×(2＋4)×6×4＝24. 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A.123 5 π B.124 3 π C.153 4 π D.161 5 π 解析：选 D 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是两腰长为 3、底边长为 4 的等 腰三角形，过底面等腰三角形顶点的侧棱长为 4 且垂直于底面．设等腰三角形的顶角为θ， 由余弦定理可得 cos θ＝32＋32－42 2×3×3 ＝1 9 ，sin θ＝4 5 9 ，由正弦定理可得底面三角形外接圆的 直径 2r＝ 9 5 ，则球的直径 2R＝ 42＋ 9 5 2＝ 161 5 ，所以外接球的表面积为161 5 π. 8．(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球．若 AB⊥ BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是( ) A．4π B.9π 2 C．6π D.32π 3 解析：选 B 设球的半径为 R， ∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－10 2 ＝2， ∴R≤2.又 2R≤3， ∴R≤3 2 ， ∴Vmax＝4 3 ×π× 3 2 3＝9π 2 . 二、填空题 9．四面体 ABCD 中，若 AB＝CD＝ 2，AC＝BD＝ 3，AD＝BC＝2，则四面体 ABCD 的外接球的体积是________． 解析：作一个长方体，面对角线分别为 2，3，2，设长方体的三棱长分别为 x，y，z， 则 x2＋y2＝2， x2＋z2＝3， y2＋z2＝4， 则该长方体的体对角线为 x2＋y2＋z2＝3 2 2 ，则该长方体的外接球即为 四面体 ABCD 的外接球，则外接球的半径为 R＝ x2＋y2＋z2 2 ＝3 2 4 ，体积为 V＝4 3π 3 2 4 3 ＝9 2 8 π. 答案：9 2 8 π 10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，正视图是底边长 为 2 的等腰三角形，则正视图的面积为________． 解析：因为正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且底面是边长为 2 的正三角 形，则该正三棱锥的侧棱长为 2，其三棱锥的高  22－ 2 3 × 3 2＝ 6 3 即为正视图的高， 又正视图是底边长为 2 的等腰三角形，则正视图的面积 S＝1 2 ×2× 6 3 ＝ 6 3 . 答案： 6 3 11．若三棱锥 SABC 的所有的顶点都在球 O 的球面上，SA⊥平面 ABC，SA＝AB＝2， AC＝4，∠BAC＝π 3 ，则球 O 的表面积为________． 解析：由题意，得三棱锥 SABC 是长方体的一部分(如图所示)，所 以球 O 是该长方体的外接球，其中 SA＝AB＝2，AC＝4，设球的半径为 R，则 2R＝ AC2＋SA2＝ 42＋22＝2 5，所以球 O 的表面积为 4πR2＝20π. 答案：20π 12.(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该 纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，△DBC， △ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线 剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D，E，F 重合， 得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________． 解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC 的边长变化时， 设△ABC 的边长为 a(a>0)cm，则△ABC 的面积为 3 4 a2，△DBC 的高为 5－ 3 6 a，则正三棱 锥的高为 5－ 3 6 a 2－ 3 6 a 2＝ 25－5 3 3 a，∴25－5 3 3 a>0，∴00，即 x4－2x3<0，得 0

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