【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第八章　第2讲　空间图形的基本关系与公理作业

【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第八章　第2讲　空间图形的基本关系与公理作业

第2讲　空间图形的基本关系与公理 ‎[基础题组练]‎ ‎1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　)‎ A．与a，b都相交 B．只能与a，b中的一条相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行 解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．‎ ‎2．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)‎ A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 解析：选D.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D.‎ ‎3．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)‎ A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．‎ 因为E，F分别为AB，BC的中点，‎ 所以EF∥AC.‎ 又FG∥BD，‎ 所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．‎ 而AC与BD所成的角为90°，‎ 所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．‎ ‎4．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又aα，bβ，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．‎ ‎5．(2020·内蒙古集宁一中四模)如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD 的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ 解析：选A.取CB的中点G，连接EG，FG.则EG∥AB，FG∥CD.所以EF与CD所成的角为∠EFG(或其补角)，因为EF⊥AB，所以EF⊥EG.‎ EG＝AB＝1，FG＝CD＝2，‎ 所以在Rt△EFG中，sin∠EFG＝，所以EF与CD所成的角为30°.故选A.‎ ‎6．已知棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是 ．‎ 解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′，‎ 所以MN∥A′C′.‎ 答案：平行 ‎7．给出下列四个命题：‎ ‎①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；‎ ‎②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；‎ ‎③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；‎ ‎④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．‎ 其中真命题的序号是 ．‎ 解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，‎ 所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．‎ 答案：①②③‎ ‎8．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为 ．‎ 解析：如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接AG，GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，‎ 在△AGP中，AG＝GP＝AP，‎ 所以∠APG＝.‎ 答案： ‎9．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．‎ 证明：如图，连接BD，B1D1，‎ 则BD∩AC＝O，‎ 因为BB1DD1，‎ 所以四边形BB1D1D为平行四边形，‎ 又H∈B1D，‎ B1D平面BB1D1D，‎ 则H∈平面BB1D1D，‎ 因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，‎ 所以H∈OD1.即D1，H，O三点共线．‎ ‎10.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ ‎(1)三棱锥PABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ 解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，‎ 三棱锥PABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.‎ ‎(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．‎ 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)‎ A．直线AC 　　 B．直线AB C．直线CD 　　　 D．直线BC 解析：选C.由题意知，D∈l，lβ，所以D∈β，‎ 又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，‎ 所以点D在平面ABC与平面β的交线上．‎ 又因为C∈平面ABC，C∈β，‎ 所以点C在平面β与平面ABC的交线上，‎ 所以平面ABC∩平面β＝CD.‎ ‎2.如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹(　　)‎ A．是圆 B．是椭圆 C．是抛物线 D．不是平面图形 解析：选A.如图，过点B作圆的直径BD，连接CD，AD，则BC⊥CD，再过点B作BE⊥AD于点E，连接HE，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH.‎ 又BH⊥AC，且AC∩CD＝C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥AD，BH⊥HE.‎ 又注意到过点B与直线AD垂直的直线都在同一个平面内，于是结合点B，E位置，可知，当点C运动时，点H运动的轨迹是以BE为直径的圆．故选A.‎ ‎3.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．‎ ‎(1)求证：直线EF与BD是异面直线；‎ ‎(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．‎ 解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．‎ ‎(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．‎ 又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.‎ 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，‎ 求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ ‎4.(综合型)如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.‎ ‎(1)证明：E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？‎ ‎(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.‎ 解：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.‎ 又CF∶FB＝CG∶GD，‎ 所以FG∥BD.所以EH∥FG.‎ 所以E，F，G，H四点共面．‎ ‎(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．‎ 因为＝＝，所以EH＝BD.‎ 同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.‎ 故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．‎ ‎(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，‎ 所以EF∥AC，‎ 又EH∥BD，‎ 所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，‎ 因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，‎ 从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.‎