新高考2020版高考数学二轮复习专题过关检测二十直线与圆文
专题过关检测（二十） 直线与圆
A级——“12＋4”提速练
1．与直线l：x－2y＋1＝0垂直且过点(－1,0)的直线m在y轴上的截距为( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：选B 直线l：x－2y＋1＝0的斜率是，由题意可知所求直线的斜率k＝－2，故所求直线方程是y＝－2(x＋1)，即2x＋y＋2＝0，令x＝0，解得y＝－2.故选B.
2．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 因为两直线平行，所以斜率相等，即－＝－，可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选C.
3．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析：选B 圆O1：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心是O1(1,0)，半径是r1＝1，
圆O2：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，
圆心是O2(0,2)，半径是r2＝2，
因为|O1O2|＝，故|r1－r2|<|O1O2|<|r1＋r2|
所以两圆的位置关系是相交．
4．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为( )
A.或 B．－或
C．－或 D.
解析：选A 圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为(2,3)，半径r＝2，圆心(2,3)到直线y＝kx＋3的距离d＝，因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以由勾股定理得r2＝d2＋2，即4＝＋3，解得k＝±，故直线的倾斜角为或.
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5．圆x2＋y2＋4x－2y－1＝0上存在两点关于直线ax－2by＋1＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值为( )
A．3＋2 B．9
C．16 D．18
解析：选D 由圆的对称性可得，
直线ax－2by＋1＝0必过圆心(－2,1)，
所以a＋b＝.
所以＋＝2(a＋b)＝2≥2(5＋4)＝18，
当且仅当＝，即2a＝b时取等号．
6．(2019·重庆七校联合考试)两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为( )
A. B．4
C. D.
解析：选D 两圆方程相减，得直线MN的方程为x－2y＋4＝0，圆x2＋y2＋2x－8＝0的标准形式为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1,0)，半径为3，圆心(－1,0)到直线MN的距离d＝，所以线段MN的长为2＝.故选D.
7．(2019·广东七校联考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8,0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为( )
A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0
C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0
解析：选A 如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－，因为A(8,0)，所以直线AB的方程为
y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.
8．已知圆O：x2＋y2＝r2，点P(a，b)(ab≠0)是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax＋by－r2＝0，那么( )
A．l1∥l2，且l2与圆O相离
B．l1⊥l2，且l2与圆O相切
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C．l1∥l2，且l2与圆O相交
D．l1⊥l2，且l2与圆O相离
解析：选A 由题意可得a2＋b2
＝r，故圆和直线l2相离．
9．(2019·石家庄模拟)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1,0)和(2,3)，则圆C的半径为( )
A．8 B．2
C．5 D.
解析：选D 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵圆C经过点(－1,0)和(2,3)，∴∴a＋b－2＝0 ①，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，∴|a|＝|b| ②，由①②得a＝b＝1，∴圆C的半径为，故选D.
10．设直线x－y＋m＝0(m∈R)与圆(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线与x轴交于C，D两点．若线段CD的长度为，则m＝( )
A．1或3 B．1或－3
C．－1或3 D．－1或－3
解析：选D 联立得2x2＋2(m－2)x＋m2＝0，得Δ＝－4(m2＋4m－4)．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝2－m，x1x2＝，
所以|CD|＝|x1－x2|＝
＝＝，
解得m＝－3或m＝－1，此时Δ>0成立．
11．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为( )
A．(－3，3)
B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．(－2，2)
D．[－3，3 ]
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解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B分别是切点，若四边形PACB的面积的最小值是2，则k的值为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选D 由题意知，圆C的圆心为C(0,1)，半径r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，若四边形PACB的面积的最小值是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝r|PB|＝|PB|，则|PB|的最小值为2，此时|PC|取得最小值，而|PC|的最小值为圆心到直线的距离，所以＝＝，即k2＝4，由k>0，解得k＝2.
13．已知直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，则m＝________.
解析：因为圆C：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，所以2＝，解得m＝± .
答案：±
14．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
解析：由题意得，圆心C(0，m)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝r，又r＝|AC|＝，所以＝，解得m＝－2，
所以r＝.
答案：－2
15．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________；动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________．
解析：因为直线mx－y＝1与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，所以m×1＋(－1)×m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝2.
动直线l：mx－y＝1过定点(0，－1)，圆C：x2－2x＋y2－8＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝9，圆心(1,0)到直线mx－y－1＝0的距离的最大值为＝，所以动直线l被圆C截得的最短弦长为2＝2.
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答案：0或2 2
16．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．
解析：因为AB为直径，所以AD⊥BD，所以BD即B到直线l的距离，BD＝＝2.
因为CD＝AC＝BC＝r，又CD⊥AB，所以AB＝2BC＝2，
设A(a,2a)，
AB＝＝2⇒a＝－1或3(a＝－1舍去)．
答案：3
B级——拔高小题提能练
1．在平面直角坐标系xOy中，以(－2,0)为圆心且与直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0(m∈R)相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是( )
A．(x＋2)2＋y2＝16 B．(x＋2)2＋y2＝20
C．(x＋2)2＋y2＝25 D．(x＋2)2＋y2＝36
解析：选C 根据题意，设圆心为P，则点P的坐标为(－2，0)．
对于直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0，变形可得m(3x－2y)＋(x＋y－5)＝0，即直线过定点M(2,3)，
在以点(－2,0)为圆心且与直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0相切的圆中，面积最大的圆的半径r长为MP，则r2＝MP2＝25，则其标准方程为(x＋2)2＋y2＝25.
2．(2020届高三·广东七校联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x轴和y轴的非负半轴上，点A在第一象限，且∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，则( )
A．OA的最大值是4，最小值是4
B．OA的最大值是8，最小值是4
C．OA的最大值是4，最小值是2
D．OA的最大值是8，最小值是2
解析：选A 因为∠BAC＝90°，∠BOC＝90°，所以O，B，A，C四点共圆，且在以BC为直径的圆上．又AB＝AC＝4，所以BC＝4.因此当OA为圆的直径时，OA取得最大值，为4，如图①所示；当点B(或点C)与原点O重合时，OA取得最小值，为4，如图②所示．故选A.
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3．已知圆O：x2＋y2＝5，A，B为圆O上的两个动点，且|AB|＝2，M为弦AB的中点，C(2，a)，D(2，a＋2)．当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－2，＋∞)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
解析：选B 连接OM，由题意得|OM|＝＝2，∴点M在以O为圆心，半径为2的圆上．设CD的中点为N，则N(2，a＋1)，且|CD|＝2.∵当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，∴以O为圆心，半径为2的圆与以N(2，a＋1)为圆心，半径为1的圆外离，∴>3，整理得(a＋1)2>1，解得a<－2或a>0.∴实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
4．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
解析：法一：由题意可设P(x0>0)，
则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号．
故所求最小值是4.
法二：设P(x0>0)，则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－.
令1－＝－1，结合x0>0得x0＝，
∴P(，3)，曲线y＝x＋(x>0)上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝＝4.
答案：4
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5．(2019·洛阳统考)已知直线x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3＝5，则r＝________.
解析：如图，过O作OE⊥AB于E，连接OA，则|OE|＝＝，
易知|AE|＝|EB|，
不妨令|AD|＝5m(m>0)，由3＝5可得：|BD|＝3m，|AB|＝8m，
则|DE|＝4m－3m＝m，
在Rt△ODE中，有2＝()2＋m2，①
在Rt△OAE中，有r2＝()2＋(4m)2，②
联立①②，解得：r＝.
答案：
7
