【数学】2020一轮复习北师大版（理）25　平面向量基本定理及向量的坐标表示作业

【数学】2020一轮复习北师大版（理）25　平面向量基本定理及向量的坐标表示作业

课时规范练25　平面向量基本定理及向量的坐标表示 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.已知向量a=(2,3),b=(cos θ,sin θ),且a∥b,则tan θ=(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.-‎3‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.-‎‎2‎‎3‎ ‎2.已知点A(0,1),B(3,2),向量BC=(-7,-4),则向量AC=(　　)‎ A.(10,7) B.(10,5)‎ C.(-4,-3) D.(-4,-1)‎ ‎3.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,2) B.(2,+∞)‎ C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)‎ ‎4.在△ABC中,D为AB边上一点,AD‎=‎1‎‎2‎DB,CD=‎‎2‎‎3‎CA+λCB,则λ=(　　)‎ A.‎3‎-1 B.‎1‎‎3‎ C.2‎3‎-1 D.2‎ ‎5.已知向量AC‎,AD和AB在正方形网格中的位置如图所示,若AC=λAB+μAD,则λμ=(　　)‎ A.-3 B.3 C.-4 D.4‎ ‎6.如图,已知AP‎=‎‎4‎‎3‎AB,用OA‎,‎OB表示OP,则OP等于(　　)‎ A.‎‎1‎‎3‎OA‎-‎‎4‎‎3‎OB B.‎‎1‎‎3‎OA‎+‎‎4‎‎3‎OB C.-‎‎1‎‎3‎OA‎+‎‎4‎‎3‎OB D.-‎‎1‎‎3‎OA‎-‎‎4‎‎3‎OB ‎7.在△ABC中,点P在边BC上,且BP=2PC,点Q是AC的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于(　　)‎ A.(-2,7) B.(-6,21)‎ C.(2,-7) D.(6,-21)‎ ‎8.在△OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=ta‎|a|‎‎+‎b‎|b|‎,t∈R,则点P在(　　)‎ A.∠AOB平分线所在直线上 B.线段AB中垂线上 C.AB边所在直线上 D.AB边的中线上 ‎9.已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)∥(a-b),则实数t=　　　　　. ‎ ‎10.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=　　　　　. ‎ ‎11.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.‎ ‎12.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).‎ ‎(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;‎ ‎(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.‎ 综合提升组 ‎13.(2018河北衡水金卷调研五)已知直线2x+3y=1与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,与直线x+y=0交于点C,若OC=λOA+μOB(O为坐标原点),则λ,μ的值分别为(　　)‎ A.λ=2,μ=-1 B.λ=4,μ=-3‎ C.λ=-2,μ=3 D.λ=-1,μ=2‎ ‎14.在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且|AB|=3,|AC|=4,AD=λAB+μAC(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,|AD|的值为(　　)‎ A.‎7‎‎2‎ B.3 C.‎5‎‎2‎ D.‎‎12‎‎5‎ ‎15.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎16.(2018辽宁重点中学协作体模拟)已知△OAB是边长为1的正三角形,若点P满足OP=(2-t)OA+tOB(t∈R),则|AP|的最小值为(　　)‎ A.‎3‎ B.1 C.‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎4‎ 参考答案 课时规范练25　平面向量基本定理及 向量的坐标表示 ‎1.A　由a∥b,可知2sin θ-3cos θ=0,解得tan θ=‎3‎‎2‎,故选A.‎ ‎2.C　由点A(0,1),B(3,2),得AB=(3,1).‎ 又由BC=(-7,-4),得AC=AB+BC=(-4,-3).故选C.‎ ‎3.D　由题意,得向量a,b不共线,则2m≠3m-2,解得m≠2.故选D.‎ ‎4.B　由已知得AD=‎1‎‎3‎AB,则CD=CA+AD=CA+‎1‎‎3‎AB=CA+‎1‎‎3‎(CB-CA)=‎2‎‎3‎CA+‎1‎‎3‎CB,故λ=‎1‎‎3‎.‎ ‎5.A　设小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则AC=(2,-2),AB=(1,2),AD=(1,0).由题意,得(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即‎2=λ+μ,‎‎-2=2λ,‎解得λ=-1,‎μ=3,‎所以λμ=-3.故选A.‎ ‎6.C　OP=OA+AP=OA+‎4‎‎3‎AB=OA+‎4‎‎3‎(OB-OA)=-‎1‎‎3‎OA+‎4‎‎3‎OB,故选C.‎ ‎7.B　如图,BC=3PC=3(2PQ-PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21).‎ ‎8.A　∵a‎|a|‎和b‎|b|‎是△OAB中边OA,OB上的单位向量,‎ ‎∴a‎|a|‎‎+‎b‎|b|‎在∠AOB平分线所在直线上,‎ ‎∴ta‎|a|‎‎+‎b‎|b|‎在∠AOB平分线所在直线上,‎ ‎∴点P在∠AOB平分线所在直线上,故选A.‎ ‎9.-1　根据题意,a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2),‎ ‎∵(a+b)∥(a-b),∴(1+t)×(-2)-(1-t)×0=0,解得t=-1,故答案为-1.‎ ‎10.‎5‎　|b|=‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎5‎.‎ 由λa+b=0,得b=-λa,‎ 故|b|=|-λa|=|λ||a|,‎ 所以|λ|=‎|b|‎‎|a|‎=‎5‎‎1‎=‎5‎.‎ ‎11.(-1,1)或(-3,1)　由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),故a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).‎ ‎12.解 (1)由题意,得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),‎ 所以‎-m+4n=3,‎‎2m+n=2,‎得m=‎5‎‎9‎,‎n=‎8‎‎9‎.‎ ‎(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),‎ 由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.‎ ‎∴k=-‎16‎‎13‎.‎ ‎13.C　在直线2x+3y=1中,令x=0得y=‎1‎‎3‎,‎ 即B‎0,‎‎1‎‎3‎,令y=0,得x=‎1‎‎2‎,‎ 即A‎1‎‎2‎‎,0‎,联立‎2x+3y=1,‎x+y=0,‎ 解得x=-1,‎y=1,‎所以C(-1,1).‎ 因为OC=λOA+μOB,‎ 所以(-1,1)=λ‎1‎‎2‎‎,0‎+μ‎0,‎‎1‎‎3‎,‎‎-1=‎1‎‎2‎λ,‎‎1=‎1‎‎3‎μ,‎ 所以λ=-2,‎μ=3,‎选C.‎ ‎14.C　因为AD=λAB+μAC,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,‎ 所以λμ≤λ+μ‎2‎‎2‎=‎1‎‎4‎,‎ 当且仅当λ=μ=‎1‎‎2‎时取等号,此时AD=‎1‎‎2‎AB+‎1‎‎2‎AC,‎ 所以D是线段BC的中点,‎ 所以|AD|=‎1‎‎2‎|BC|=‎5‎‎2‎.故选C.‎ ‎15.(0,2)　∵向量a在基底p,q下的坐标为(-2,2),‎ ‎∴a=-2p+2q=(2,4).‎ 令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),‎ 所以‎-x+y=2,‎x+2y=4,‎解得x=0,‎y=2,‎ 故向量a在基底m,n下的坐标为(0,2).‎ ‎16.C　以O为原点,以OB为x轴,建立坐标系,∵△OAB是边长为1的正三角形,∴A‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎,B(1,0),OP=(2-t)OA+tOB=1+‎1‎‎2‎t,‎3‎-‎3‎‎2‎t,AP=OP-OA=‎1‎‎2‎t+‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎-‎3‎‎2‎t.‎ ‎∴|AP|=‎1‎‎2‎t+‎‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎‎-‎3‎‎2‎t‎2‎=t‎2‎‎-t+1‎=t-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎4‎≥‎3‎‎2‎,故选C.‎