2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练22 三角恒等变换

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练22 三角恒等变换

课时规范练22　三角恒等变换 基础巩固组 ‎1.函数f(x)=(‎3‎sin x+cos x)(‎3‎cos x-sin x)的最小正周期是(　　)‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　‎ A.π‎2‎ B.π C.‎3π‎2‎ D.2π ‎2.已知sinα+‎π‎5‎‎=‎‎3‎‎3‎,则cos‎2α+‎‎2π‎5‎=(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ ‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎3.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=(　　)‎ A.‎4‎‎3‎ B.-‎‎4‎‎3‎ C.‎4‎‎3‎或0 D.-‎4‎‎3‎或0‎ ‎4.(2017河南郑州三模,理4)已知cos‎2π‎3‎‎-2θ=-‎7‎‎9‎,则sinπ‎6‎‎+θ的值等于(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.±‎1‎‎3‎ ‎ C.-‎1‎‎9‎ D.‎‎1‎‎9‎ ‎5.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个递增区间分别为(　　)‎ A.π,[0,π] ‎ B.2π,‎‎-π‎4‎,‎‎3π‎4‎ C.π,‎-π‎8‎,‎‎3π‎8‎ ‎ D.2π,‎‎-π‎4‎,‎π‎4‎ ‎6.为了得到函数y=sin 2x+cos 2x的图像,可以将函数y=cos 2x-sin 2x的图像(　　)‎ A.向右平移π‎4‎个单位长度 B.向左平移π‎4‎个单位长度 C.向右平移π‎2‎个单位长度 D.向左平移π‎2‎个单位长度 ‎7.设f(x)=‎1+cos2x‎2sinπ‎2‎‎-x+sin x+a2sinx+‎π‎4‎的最大值为‎2‎+3,则实数a=　　　　　. ‎ ‎8.(2017江苏无锡一模,12)已知sin α=3sinα+‎π‎6‎,则tanα+‎π‎12‎=.‎ ‎9.(2017山东,理16)设函数f(x)=sinωx-‎π‎6‎+sinωx-‎π‎2‎,其中0<ω<3.已知fπ‎6‎=0.‎ ‎(1)求ω.‎ ‎(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移π‎4‎个单位,得到函数y=g(x)的图像,求g(x)在‎-π‎4‎,‎‎3π‎4‎上的最小值.‎ ‎〚导学号21500723〛‎ ‎10.(2017山西临汾三模,理17)已知函数f(x)=sin4x+cos4x+‎3‎‎2‎sin 2xcos 2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)当x∈‎0,‎π‎4‎时,求f(x)的最值.‎ 综合提升组 ‎11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1ω>0,0<φ≤‎π‎2‎的图像的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=π‎6‎时取得最大值2,若f(α)=‎9‎‎5‎,且π‎6‎<α<‎2π‎3‎,则sin‎2α+‎‎2π‎3‎的值为(　　)‎ A.‎12‎‎25‎ B.-‎12‎‎25‎ ‎ C.‎24‎‎25‎ D.-‎‎24‎‎25‎ ‎12.已知函数f(x)=cos ωx(sin ωx+‎3‎cos ωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2 016π)成立,则ω的最小值为(　　)‎ A.‎1‎‎2 016π B.‎‎1‎‎4 032π C.‎1‎‎2 016‎ D.‎‎1‎‎4 032‎ ‎13.已知cos α=‎1‎‎3‎,cos(α+β)=-‎1‎‎3‎,且α,β∈‎0,‎π‎2‎,则cos(α-β)的值为　　　　　. ‎ ‎14.(2017山东潍坊一模,理16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A为锐角,且bsin Acos C+csin Acos B=‎3‎‎2‎a.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)设函数f(x)=tan Asin ωxcos ωx-‎1‎‎2‎cos 2ωx(ω>0),其图像上相邻两条对称轴间的距离为π‎2‎,将函数y=f(x)的图像向左平移π‎4‎个单位长度,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)在区间‎-π‎24‎,‎π‎4‎上的值域.‎ ‎〚导学号21500724〛‎ 创新应用组 ‎15.已知m=tan(α+β+γ)‎tan(α-β+γ)‎,若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=(　　)‎ A.-1 B.‎3‎‎4‎ ‎ C.‎3‎‎2‎ D.2〚导学号21500725〛‎ ‎16.已知函数f(x)=2cos2x+2‎3‎sin xcos x+a,且当x∈‎0,‎π‎2‎时,f(x)的最小值为2.‎ ‎(1)求a的值,并求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)先将函数y=f(x)的图像上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的‎1‎‎2‎,再将所得图像向右平移π‎12‎个单位长度,得到函数y=g(x)的图像,求方程g(x)=4在区间‎0,‎π‎2‎上所有根之和.‎ 参考答案 课时规范练22　三角恒等变换 ‎1.B　f(x)=2sinx+‎π‎6‎×2cosx+‎π‎6‎=2sin‎2x+‎π‎3‎,故最小正周期T=‎2π‎2‎=π,故选B.‎ ‎2.A　由题意sinα+‎π‎5‎‎=‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴cos‎2α+‎‎2π‎5‎=cos 2α+‎π‎5‎=1-2sin2α+‎π‎5‎=1-2×‎3‎‎3‎‎2‎‎=‎‎1‎‎3‎.故选A.‎ ‎3.C　因为2sin 2α=1+cos 2α,‎ 所以2sin 2α=2cos2α.‎ 所以2cos α(2sin α-cos α)=0,‎ 解得cos α=0或tan α=‎1‎‎2‎.‎ 若cos α=0,则α=kπ+π‎2‎,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,‎ 所以tan 2α=0.‎ 若tan α=‎1‎‎2‎,‎ 则tan 2α=‎2tanα‎1-tan‎2‎α‎=‎‎4‎‎3‎.‎ 综上所述,故选C.‎ ‎4.B　∵cos‎2π‎3‎‎-2θ=-‎7‎‎9‎,‎ ‎∴cosπ-‎π‎3‎‎+2θ ‎=-cosπ‎3‎‎+2θ ‎=-cos 2‎π‎6‎‎+θ ‎=-‎1-2sin‎2‎π‎6‎‎+θ=-‎7‎‎9‎,‎ 解得sin2π‎6‎‎+θ‎=‎‎1‎‎9‎,‎ ‎∴sinπ‎6‎‎+θ=±‎1‎‎3‎.故选B.‎ ‎5.C　由f(x)=sin2x+sin xcos x=‎1-cos2x‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎sin 2x ‎=‎1‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎‎2‎‎2‎sin2x-‎2‎‎2‎cos2x=‎1‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎sin‎2x-‎π‎4‎,‎ 则T=‎2π‎2‎=π.又2kπ-π‎2‎≤2x-π‎4‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ ‎∴kπ-π‎8‎≤x≤kπ+‎3π‎8‎(k∈Z)为函数的递增区间.故选C.‎ ‎6.A　∵y=sin 2x+cos 2x=‎2‎‎2‎‎2‎sin2x‎+‎2‎‎2‎cos2x=‎‎2‎cos 2x-‎π‎8‎,y=cos 2x-sin 2x=‎‎2‎‎2‎‎2‎cos2x-‎2‎‎2‎sin2x ‎=‎2‎cos 2‎x+‎π‎8‎ ‎=‎2‎cos 2x+‎π‎4‎‎-‎π‎8‎,‎ ‎∴只需将函数y=cos 2x-sin 2x的图像向右平移π‎4‎个单位长度可得函数y=sin 2x+cos 2x的图像.‎ ‎7.±‎3‎　f(x)=‎1+2cos‎2‎x-1‎‎2cosx+sin x+a2sinx+‎π‎4‎ ‎=cos x+sin x+a2sinx+‎π‎4‎ ‎=‎2‎sinx+‎π‎4‎+a2sinx+‎π‎4‎ ‎=(‎2‎+a2)sinx+‎π‎4‎.‎ 依题意有‎2‎+a2=‎2‎+3,‎ 则a=±‎3‎.‎ ‎8.2‎3‎-4　sin α=3sinα+‎π‎6‎ ‎=‎3‎‎3‎‎2‎sin α+‎3‎‎2‎cos α,‎ ‎∴tan α=‎3‎‎2-3‎‎3‎.‎ 又tanπ‎12‎=tanπ‎3‎‎-‎π‎4‎‎=tanπ‎3‎-tanπ‎4‎‎1+tanπ‎3‎·tanπ‎4‎=‎‎3‎‎-1‎‎3‎‎+1‎=2-‎3‎,‎ ‎∴tanα+‎π‎12‎‎=‎tanα+tanπ‎12‎‎1+tanα·tanπ‎12‎ ‎=‎‎3‎‎2-3‎‎3‎‎+2-‎‎3‎‎1+‎3‎‎2-3‎‎3‎·(2-‎3‎)‎ ‎=‎‎3+(2-‎3‎)·(2-3‎3‎)‎‎(2-3‎3‎)-3(2-‎3‎)‎ ‎=-‎16-8‎‎3‎‎4‎=2‎3‎-4.‎ ‎9.解 (1)因为f(x)=sinωx-‎π‎6‎+sinωx-‎π‎2‎,‎ 所以f(x)=‎3‎‎2‎sin ωx-‎1‎‎2‎cos ωx-cos ωx=‎3‎‎2‎sin ωx-‎3‎‎2‎cos ωx ‎=‎‎3‎‎1‎‎2‎sinωx-‎3‎‎2‎cosωx ‎=‎3‎sinωx-‎π‎3‎.‎ 由题设知fπ‎6‎=0,‎ 所以ωπ‎6‎‎-‎π‎3‎=kπ,k∈Z.‎ 故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=‎3‎sin‎2x-‎π‎3‎,‎ 所以g(x)=‎3‎sinx+π‎4‎-‎π‎3‎‎=‎‎3‎sinx-‎π‎12‎.‎ 因为x∈‎-π‎4‎,‎‎3π‎4‎,‎ 所以x-π‎12‎‎∈‎‎-π‎3‎,‎‎2π‎3‎,当x-π‎12‎=-π‎3‎,即x=-π‎4‎时,g(x)取得最小值-‎3‎‎2‎.‎ ‎10.解 (1)函数f(x)=sin4x+cos4x+‎3‎‎2‎sin 2xcos 2x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+‎3‎‎4‎sin 4x=1-‎1‎‎2‎sin22x+‎3‎‎4‎sin 4x=1-‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎‎-‎1‎‎2‎cos4x‎+‎‎3‎‎4‎sin 4x=‎3‎‎4‎sin 4x+‎1‎‎4‎cos 4x+‎3‎‎4‎‎=‎‎1‎‎2‎sin‎4x+‎π‎6‎‎+‎‎3‎‎4‎,‎ ‎∴f(x)的最小正周期T=‎2π‎4‎‎=‎π‎2‎.‎ ‎(2)当x∈‎0,‎π‎4‎时,4x+π‎6‎‎∈‎π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎,‎ ‎∴sin‎4x+‎π‎6‎‎∈‎‎-‎1‎‎2‎,1‎,‎ 当4x+π‎6‎‎=‎‎7π‎6‎时,f(x)取得最小值为‎1‎‎2‎,此时x=π‎4‎.‎ 当4x+π‎6‎‎=‎π‎2‎时,f(x)取得最大值为‎5‎‎4‎,此时x=π‎12‎.‎ ‎∴当x∈‎0,‎π‎4‎时,f(x)的最大值为‎5‎‎4‎,最小值为‎1‎‎2‎.‎ ‎11.D　由题意,T=2π,即T=‎2πω=2π,‎ 即ω=1.‎ 又当x=π‎6‎时,f(x)取得最大值,‎ 即π‎6‎+φ=π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 即φ=π‎3‎+2kπ,k∈Z.‎ ‎∵0<φ≤π‎2‎,∴φ=π‎3‎,‎ ‎∴f(x)=sinx+‎π‎3‎+1.‎ ‎∵f(α)=sinα+‎π‎3‎+1=‎9‎‎5‎,‎ 可得sinα+‎π‎3‎‎=‎‎4‎‎5‎.‎ ‎∵π‎6‎<α<‎2π‎3‎,可得π‎2‎<α+π‎3‎<π,‎ ‎∴cosα+‎π‎3‎=-‎3‎‎5‎.‎ ‎∴sin‎2α+‎‎2π‎3‎=2sinα+‎π‎3‎·cosα+‎π‎3‎=2×‎4‎‎5‎‎×‎‎-‎‎3‎‎5‎=-‎24‎‎25‎.故选D.‎ ‎12.D　由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2 016π)是函数f(x)的最大值.‎ 显然要使结论成立,只需保证区间[x0,x0+2 016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可.又f(x)=cos ωx(sin ωx+‎3‎cos ωx)=‎1‎‎2‎sin 2ωx+‎3‎‎2‎(1+cos 2ωx)=sin‎2ωx+‎π‎3‎‎+‎‎3‎‎2‎,则2 016π≥‎1‎‎2‎‎·‎‎2π‎2ω,求得ω≥‎1‎‎4 032‎,故ω的最小值为‎1‎‎4 032‎.‎ ‎13.‎23‎‎27‎　∵α∈‎0,‎π‎2‎,∴2α∈(0,π).‎ ‎∵cos α=‎1‎‎3‎,‎ ‎∴cos 2α=2cos2α-1=-‎7‎‎9‎,‎ ‎∴sin 2α=‎1-cos‎2‎2α‎=‎‎4‎‎2‎‎9‎,‎ 又α,β∈‎0,‎π‎2‎,∴α+β∈(0,π),‎ ‎∴sin(α+β)=‎1-cos‎2‎(α+β)‎‎=‎‎2‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∴cos(α-β)=cos [2α-(α+β)]‎ ‎=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)‎ ‎=‎-‎‎7‎‎9‎‎×‎-‎‎1‎‎3‎+‎4‎‎2‎‎9‎×‎2‎‎2‎‎3‎=‎‎23‎‎27‎.‎ ‎14.解 (1)∵bsin Acos C+csin Acos B=‎3‎‎2‎a,‎ ‎∴由正弦定理,得sin Bsin Acos C+sin Csin Acos B=‎3‎‎2‎sin A.‎ ‎∵A为锐角,sin A≠0,‎ ‎∴sin Bcos C+sin Ccos B=‎3‎‎2‎,‎ 可得sin(B+C)=sin A=‎3‎‎2‎,‎ ‎∴A=π‎3‎.‎ ‎(2)∵A=π‎3‎,可得tan A=‎3‎,‎ ‎∴f(x)=‎3‎sin ωxcos ωx-‎1‎‎2‎cos 2ωx=‎3‎‎2‎sin 2ωx-‎1‎‎2‎cos 2ωx=sin‎2ωx-‎π‎6‎.‎ ‎∵其图像上相邻两条对称轴间的距离为π‎2‎,可得T=2×π‎2‎‎=‎‎2π‎2ω,‎ 解得ω=1,‎ ‎∴f(x)=sin‎2x-‎π‎6‎,∴将y=f(x)的图像向左平移π‎4‎个单位长度后,图像对应的函数为y=g(x)=sin‎2‎x+‎π‎4‎‎-‎π‎6‎=sin‎2x+‎π‎3‎.‎ ‎∵x∈‎-π‎24‎,‎π‎4‎,可得2x+π‎3‎‎∈‎π‎4‎‎,‎‎5π‎6‎,‎ ‎∴g(x)=sin‎2x+‎π‎3‎‎∈‎‎1‎‎2‎‎,1‎.‎ ‎15.D　∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],‎ ‎∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),‎ 即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),‎ ‎∴‎1‎‎2‎tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故m=tan(α+β+γ)‎tan(α-β+γ)‎=2,故选D.‎ ‎16.解 (1)f(x)=2cos2x+2‎3‎sin xcos x+a=cos 2x+1+‎3‎sin 2x+a ‎=2sin‎2x+‎π‎6‎+a+1,‎ ‎∵x∈‎0,‎π‎2‎,‎ ‎∴2x+π‎6‎‎∈‎π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎,‎ ‎∴f(x)的最小值为-1+a+1=2,‎ 解得a=2,‎ ‎∴f(x)=2sin‎2x+‎π‎6‎+3,‎ 由2kπ-π‎2‎≤2x+π‎6‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,可得kπ-π‎3‎≤x≤kπ+π‎6‎,k∈Z,‎ ‎∴f(x)的递增区间为kπ-π‎3‎,kπ+‎π‎6‎(k∈Z).‎ ‎(2)由函数图像变换可得g(x)=2sin‎4x-‎π‎6‎+3,‎ 由g(x)=4可得sin‎4x-‎π‎6‎‎=‎‎1‎‎2‎,∴4x-π‎6‎=2kπ+π‎6‎(k∈Z)或4x-π‎6‎=2kπ+‎5π‎6‎(k∈Z),‎ 解得x=kπ‎2‎‎+‎π‎12‎(k∈Z)或x=kπ‎2‎‎+‎π‎4‎(k∈Z).∵x∈‎0,‎π‎2‎,‎ ‎∴x=π‎12‎或x=π‎4‎,‎ ‎∴所有根之和为π‎12‎‎+π‎4‎=‎π‎3‎.‎