2019-2020学年江西省宜春市万载中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省宜春市万载中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省宜春市万载中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．设全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，‎ 由此可知，，，，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2．下列函数中，与函数y=x相同的函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先计算函数的定义域为R，判断每个选项的定义域和对应关系是否与之相同得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为R，‎ A中，的定义域为，故与函数不是同一个函数；‎ B中，与函数的对应关系不同，故不是同一个函数；‎ C中，，与函数的对应关系不同，故不是同一个函数；‎ D中，，且定义域为R，故与函数是同一个函数.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了相同函数，确定定义域和对应关系是解题的关键.‎ ‎3．函数的零点个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，得到，画出和的图像，根据两个函数图像交点个数，求得函数零点个数.‎ ‎【详解】‎ 令，得，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，也即有个零点.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数零点个数的判断，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎4．设，且，则等于( )‎ A． B．10 C．20 D．100‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出，代入，根据对数的运算性质求出的值即可．‎ ‎【详解】‎ 由得，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数式对数式的互化，考查对数的运算性质，是一道基础题．‎ ‎5．已知集合为集合到的一个函数，那么该函数的值域的不同情况共有（ ）种.‎ A．2 B．3 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】定义域相同时，函数不同其值域必不同，故本题求函数值域C的不同情况的问题可以转化为求函数有多少种不同情况，根据函数的定义，按函数对应的方式分为一对一，二对一，两类进行研究．‎ ‎【详解】‎ 由函数的定义知，此函数可以分为二类来进行研究 若函数对应方式是二对一的对应，则值域为{a}、{b}、{c}三种情况 若函数是一对一的对应，{a，b}、{b，c}、{a，c}三种情况 综上知，函数的值域C的不同情况有6种 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了映射的定义及函数的概念，函数的定义，由于函数是一个一对一或者是多对一的对应，本题解决值域个数的问题时，采取了分类讨论的方法，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎6．已知，是两条不同的直线，，‎ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，是异面直线，，，，，则 D．若，，，则 ‎【答案】C ‎【解析】运用相关定理，结合对应的模型，对每一个命题进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ A如图可否定A；‎ B如图可否定B；‎ D如图可否定D，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了线与面位置关系的判断与证明，属于基础题.对于命题的真假判断，假命题可以借助图示举出反例，再结合排除法即可判断出真命题.‎ ‎7．若方程的一个根在内，另一个根在内，则实数a的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据方程和函数之间的关系设，根据一元二次方程根的分布，建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 设函数，‎ ‎∵方程的一个根在内，另一个根在内，如图：‎ ‎∴，∴，解得：2<<4.‎ 所以本题答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次方程根的分布，考查函数与方程的关系，注意数形结合思想的运用，属中档题.‎ ‎8．若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据且在上为减函数可得，结合，再根据对数函数的图像特征，得出结论.‎ ‎【详解】‎ 由且在上为减函数，则，令，‎ ‎ 函数的定义域为，‎ ‎，所以函数为关于对称的偶函数. ‎ 函数的图像，时是函数的图像向右平移一个单位得到的. ‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数的图像，可利用函数的性质以及函数图象的平移进行求解，属于基础题.‎ ‎9．某三棱锥是由一个正方体被四个平面截去四部分得到的，其三视图都是边长为2的正方形，如图，则该三棱锥的表面积为（ ）‎ A．8 B．‎ C． D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图得到三棱锥的形状，然后根据三棱锥的特点可求出其表面积．‎ ‎【详解】‎ 由三视图可得，该三棱锥是从正方体中截取四个相同的三棱锥得到的，即如图中的三棱锥 ‎．‎ 由题意得，该三棱锥的所有棱长为，‎ 所以该三棱锥的表面积为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．‎ ‎10．已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用指数函数与对数函数的性质即可比较a，b，c的大小．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎11．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由偶函数的性质，将不等式得，再利用函数在上单调递增，得出，然后解出该不等式可得出原不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 函数为偶函数，则，‎ 由，得，‎ 函数在上单调递增，，即，‎ 化简得，解得或，‎ 因此，不等式的解集为，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数不等式的求解，涉及函数的单调性与奇偶性，在函数为偶函数时，可充分利用偶函数的性质，将问题转化为函数在上的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.‎ ‎【详解】‎ 绘制函数的图象如图所示，‎ 令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，‎ 令，由题意可知：‎ ‎，据此可得：.‎ 即的取值范围是.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的应用，二次函数的性质，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】由奇函数定义，列出等式可求得b的值，由奇函数定义域的对称性可列式求得a的值.‎ ‎【详解】‎ 因为函数为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1.‎ 又，所以b＝1.故a＋b＝2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇函数的定义以及奇函数定义域的特点，注意由解析式判断函数奇偶性要利用定义法，判断函数奇偶性的第一步就是要判断函数定义域是否关于原点对称.‎ ‎14．函数的值域是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意首先确定函数的单调性，然后结合函数的单调性和函数的性质绘制函数的图像即可确定函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 设，则：‎ ‎.‎ 由可得，‎ 故，‎ 则函数在区间上为减函数，‎ 同理可得在区间上为增函数，‎ 且时，，绘制函数图像如图所示：‎ 注意到当时，，故函数的值域为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 求函数最值和值域的常用方法：‎ ‎(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；‎ ‎(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；‎ ‎(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.‎ ‎15．已知三棱锥中，，是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球半径为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，故可得平面．‎ 以作为三棱锥的一条侧棱，作为三棱锥的底面，则三棱锥外接球的球心到底面的距离，又外接圆的半径，所以外接球的半径 ‎．‎ 答案：‎ 点睛：已知球与柱体（或锥体）内切（或外接）求球的半径时，关键是判断球心的位置，解题时要根据组合体的组合方式判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题．‎ ‎16．已知函数，，，使，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将，转化两函数值域之间的关系，然后分类讨论求解 ‎【详解】‎ ‎，使，即g(x)的值域是的子集 g(x)[]‎ ‎，‎ 当a≤-1时，f(x)[]，即≤，解得a 当-11时，f(x)[]，即≤，不等式组无解 综上所述，a的范围为 ‎【点睛】‎ 本题能够顺利求解的关键是能将已知条件进行转化为两个函数值域的包含关系，解决问题的难点在于两个函数的值域中含有参数a，这就不得不进行分类讨论，而分类讨论又会产生本题的易错点，就是分类讨论不全面，分类标准不正确 三、解答题 ‎17．计算下列各式 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）（2）10‎ ‎【解析】（1）直接由分数指数幂的运算性质及对数运算性质化简得答案；‎ ‎（2）直接由对数的运算法则及性质计算得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）==2+1+=.‎ ‎（2）=lg5(lg2+lg5)= lg5+=lg100+8=10.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎18．如图，在四棱锥中，已知是等边三角形，平面，，，点为棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2） .‎ ‎【解析】（1）取BC的中点Q，连MQ与DQ，可证得四边形为平行四边形，故，根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）取AB的中点N，连接AN，根据条件可得到平面，且四边形为直角梯形，即确定了三棱锥的高和底面，然后利用可得所求体积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：取PC的中点Q，连接MQ与DQ，‎ ‎∵为的中位线，‎ ‎∴，且．‎ 又，‎ ‎∴,且．‎ ‎ ‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴．‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）取AB的中点N，连接AN，‎ ‎∵为等边三角形，‎ ‎∴．‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面平面．‎ 又平面平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵‎ ‎∴四边形为直角梯形，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 在证明空间中的线面关系时，要注意证明过程的完整性，对于判定、性质定理中的关键词语，在解题过程中要用符号加以表示，这是解题中容易出现的问题．另外，求三棱锥的体积时往往要结合等积法求解，即转化为便于求体积的三棱锥的体积求解．‎ ‎19．如图，在三棱锥中，，，，，点为边的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱柱的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】（Ⅰ）先证明平面，再证明平面平面.(‎ ‎ Ⅱ）直接利用公式求三棱柱的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意，平面，平面 ，可得，又为等边三角形，点 为边的中点，可得， 与相交于点，则平面，平面，所以，平面平面．‎ ‎（Ⅱ）因为为直角三角形，，‎ 所以，‎ 由（1）可知，在直角三角形中，‎ ‎，，‎ 可得，‎ 故，‎ 所以，三棱柱的体积为．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查空间直线和平面的位置关系的证明，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)空间几何体的体积的计算常用的方法有公式法、割补法和体积变换法,本题利用的是公式法.‎ ‎20．函数的定义域为．‎ 设,求t的取值范围；‎ 求函数的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意，可先判断函数，单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；‎ ‎（2）由于函数是一个复合函数，可由，将此复合函数转化为二次函数，此时定义域为，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数的值域．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在上单调递增 ‎．‎ ‎（2） 函数可化为：，‎ 在上单调递减，在上单调递增 比较得，‎ ‎，‎ 所以函数的值域为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数的值域的求法，对数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用．‎ ‎21．已知，且，.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性,并说明理由;‎ ‎（2）若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】为奇函数，理由见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）由得求得解析式，再利用奇偶性定义判断 ‎（2）先确定函数的单调性，再解不等式即可 ‎【详解】‎ ‎（1）∵，∴，‎ ‎∴，‎ 由得函数的定义域为,‎ ‎∵,∴为奇函数；‎ ‎（2）由（1）得,且为奇函数，‎ ‎∵在上是减函数，∴在上是减函数，‎ ‎∵为奇函数，∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的解析式，考查函数的单调性和奇偶性的判断与证明，熟记一般初等函数的单调性是关键．‎ ‎22．已知函数 且是定义在上的奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的值域；‎ ‎（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）2；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）利用奇函数的性质，代入计算得到答案.‎ ‎（2）将函数分离常数，根据指数函数范围推导分式的范围，最后得到答案.‎ ‎（3）将函数代入不等式，判断正负，参数分离，用换元法取，根据函数的单调性得到最值，最后得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，‎ 解得 ，当时，‎ 经验证是奇函数，‎ 故;‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，  ‎ ‎∴．‎ 所以的值域为 ‎（3）当时， ．‎ 由题意得  在时恒成立，‎ ‎∴在时恒成立．‎ 令，，‎ 则有，‎ ‎∵函数在[1，3]上单调递增，‎ ‎∴当时，.   ∴.‎ 故实数的取值范围为[，+∞）．‎ 故答案为：[，+∞）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数性质与计算，分离常数法求值域，参数分离，换元法，函数的单调性，综合性很强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎