2017-2018学年河北省邢台市第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 解析版

2017-2018学年河北省邢台市第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 解析版

邢台一中2017-2018学年上学期第一次月考 高二年级数学试题（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知平面内有无数条直线都与平面平行，那么（ ）‎ A. B. 与相交 C. 与重合 D. 或与相交 ‎【答案】D ‎【解析】由题意当两个平面平行时符合平面α内有无数条直线都与平面β平行， 当两平面相交时，在α平面内作与交线平行的直线，也有平面α内有无数条直线都与平面β平行． 故为D ‎2. 下列命题错误的是（ ）‎ A. 如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 B. 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C. 如果平面平面，平面平面，，那么平面 D. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ‎【答案】A ‎【解析】A. 如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；‎ B. 如A中的图,平面α⊥平面β,α∩β=l,a⊂α,若a∥l,则a∥β，所以正确；‎ C. 如图，‎ 设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α ‎⊥平面γ，‎ 所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，‎ 所以l⊥γ.所以正确。‎ D. 若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；‎ 故选：A.‎ ‎3. 空间中四点可确定的平面有（ ）‎ A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 1个或4个或无数个 ‎【答案】D ‎【解析】空间中四点可确定的平面的个数有：当四个点共线时，确定无数个平面； 当四个点不共线时，最多确定 =4个平面，最少确定1个平面， ∴空间中四点可确定的平面有1个或4个或无数个． 故选：D．‎ ‎4. 若表示圆，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由方程x2+y2-4x+2y+5k=0可得（x-2）2+（y+1）2=5-5k，此方程表示圆，则5-5k＞0，解得k＜1．故实数k的取值范围是（-∞，1）． 故选B．‎ ‎5. 如图，一个空间几何体的主视图（正视图）、侧视图是周长为8的一个内角为的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】此几何体是两个全等的圆锥相接而成，由空间几何体的主（正）视图、侧（左）视图都是周长为8、一个内角为60°的菱形及其一条对角线，知各边长是2 圆锥底面圆半径为1，母线长为2，故几何体的表面积是2××2×2×π×1=4π 故选B．‎ ‎6. 在空间四边形各边、、、上分别取四点，如果能够相交于点，那么（ ）‎ A. 点不在直线上 B. 点必在直线上 C. 点必在平面外 D. 点必在平面内 ‎【答案】D ‎【解析】因为EF，GH能相交于点P，所以P∈EF，且P∈HG，又因为EF⊂面ABC，所以P∈面ABC，因为HG⊂面ACD，所以P∈面ACD，所以P是平面ABC与面ACD的公共点． 因为面ABC∩面ACD=AC．所以P∈AC．即点P必在直线AC上，又AC⊂面ABC， 所以点P必在平面ABC内．‎ ‎ 故选D．‎ ‎7. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形 ∴这个平面图形的面积： 故选D ‎ ‎8. 小蚂蚁的家住在长方体的处，小蚂蚁的奶奶家住在处，三条棱长分别是，，，小蚂蚁从点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家的最短距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】从A点出发，沿长方体的表面到C′有3条不同的途径，分别从与顶点A相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是（从前面到右面），（从前面到上面），（从下面到右面），故最短距离是 故选B ‎9. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，，与底面所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF， ∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠SAF为直线SA与面SBC所成角，由正三角形边长 ‎2，∴AE= ，AS=3，∴SE=2，AF= sin∠SAF=‎ 故选C 点睛：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角，由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．‎ ‎10. 如图，已知正三角形的三个顶点都在表面积为的球面上，球心到平面的距离为2，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设正△ABC的中心为O1，连结O1A ∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上， ∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R=4，球心O到平面ABC的距离为2得O1O=2，‎ ‎∴Rt△O1OA中，O1A= ，又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE=AO1cos30°=3∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值． 此时截面圆的半径r=3，可得截面面积为S=πr2=‎ 故选D 点睛：本题着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．‎ ‎11. 异面直线所成的角，直线，则异面直线直线与所成的角的范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作b的平行线b′，交a于O点， 所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α， O点是直线a与平面α的交点， 在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'， ∠POP'是b′与面α的夹角为，在平面α中，所有与OP'平行的线与b′的夹角都是，由于PP'垂直于平面α，所以该线垂直与PP′，则该线垂直于平面OPP'，所以该线垂直与b'， 故在平面α所有与OP'垂直的线与b'的夹角为，与OP'夹角大于0，小于，的线，与b'的夹角为锐角且大于，‎ 故选B 点睛：本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，辅助线的做法很关键，根据线面角的定义做出∠POP'是b′与面α的夹角.‎ ‎12. 二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件知，，.‎ ‎..................‎ ‎.‎ ‎∴，，∴二面角的大小为；‎ 故选C.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知两条平行直线，间的距离为2，则__________．‎ ‎【答案】38或-2‎ ‎【解析】将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，因为两条直线平行，所以b=8．由 =2，解得c=30，或c=-10，所以38或-2.‎ 故答案为38或-2‎ ‎14. 定点不在所在的平面内，过作平面，使的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有__________个．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】若过P的平面恰好过三角形某两边的中点，此时满足△ABC的三个顶点到平面α的距离相等，这样的平面共有三个；若过P的平面恰好与△ABC所在的平面平行，此时满足△ABC的三个顶点到平面α的距离相等，这样的平面共有一个；综上，符合条件的平面共有四个 故答案为4‎ ‎15. 四面体中，分别是的中点，若所成的角为，且，则的长度为__________．‎ ‎【答案】1或 ‎【解析】取BC的中点G，连接EG、FG，则∠EGF（或其补角）为BD、AC所成的角， ∵BD、AC所成的角为60°，∴∠EGF=60°或120° ∵BD=AC=2，∴EG=FG=1， ∴∠EGF=60°时，EF=1； ‎ ‎∠EGF=120°时，EF=，‎ 故答案为1或 点睛：本题考查空间角，考查学生的计算能力，正确确定BD、AC所成的角是关键，解题时要注意余弦定理的合理运用，先确定BD、AC所成的角，再在三角形中，利用余弦定理，可求EF的长．‎ ‎16. 棱长为2的正四面体内有一点，由点向各面引垂线，垂线段长度分别为，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据等积法可得 ‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 如图所示是一个几何体的直观图：正视图、侧视图、俯视图.‎ ‎（1）若为的中点，求证：平面；‎ ‎（2）求几何体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥面ABCD，PA∥EB，PA＝2EB＝4，PA＝AD.∵PA＝AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF.‎ 又∵CD⊥DA，CD⊥PA，DA∩PA＝A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF.‎ 又∵PD∩CD＝D，∴AF⊥面PCD.‎ ‎(2)VBEC－APD＝VC－APEB＋VP－ACD＝××(4＋2)×4×4＋××4×4×4＝.‎ ‎18. 已知圆的圆心坐标为，且过定点.‎ ‎（1）写出圆的方程；‎ ‎（2）当为何值时，圆的面积最小，并求出此时圆的标准方程.‎ ‎【答案】(1) （2） ，‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出圆的半径，由已知写出圆的方程；（2）利用（1）的结论结合二次函数求半径的最小值即可．‎ 试题解析：‎ ‎(1) ‎ ‎(2) ‎ 所以，此时圆的方程为 ‎19. 在三棱锥中，，，为的中点，为中点，且为正三角形.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】⑴见解析⑵见解析 试题解析：（1）∵分别为的中点，∴，又平面平面，∴平面.‎ ‎（2）∵为的中点，为正三角形，∴.‎ 由（1）知，∴.‎ 又，且，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，∴.‎ 又，且，‎ ‎∴平面.‎ 而平面，‎ ‎∴平面平面.‎ 考点：1.线面平行；2.面面垂直.‎ ‎20. 如图，四边形中，，，，，，分别在上，，现将四边形沿折起，使得平面平面.‎ ‎（1）当，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出点位置，若不存在，说明理由；‎ ‎（2）设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值.‎ ‎【答案】（1）存在点,当时使得（2）当时，体积最大值为 ‎【解析】试题分析：（1）根据CP∥平面ABEF的性质，建立条件关系即可得到结论．（2）设BE=x，根据三棱锥的体积公式即可得到结论．‎ 试题解析：‎ ‎ (1) 若存在P,使得CP∥平面ABEF,此时λ= ‎ 证明：当λ=,此时 ‎ 过P作MP∥FD,与AF交M,则 又PD=5，故MP=3，‎ ‎∵EC=3,MP∥FD∥EC，‎ ‎∴MP∥EC，且MP=EC，故四边形MPCE为平行四边形，‎ ‎∴PC∥ME，‎ ‎∵CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF，‎ 故答案为：CP∥平面ABEF成立。‎ ‎(2)∵平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，‎ ‎∴AF⊥平面EFDC，‎ ‎∵BE=x,∴AF=x,(0

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