2019版一轮复习理数通用版“导数及其应用”双基过关检测
“导数及其应用”双基过关检测
一、选择题
1．已知函数 f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)，若 f′(1)＝－1，则 a＝( )
A．e B. 1
e
C.1
e2 D.1
2
解析：选 B 因为 f′(x)＝ 1
xln a
，所以 f′(1)＝ 1
ln a
＝－1，所以 ln a＝－1，所以 a＝1
e.
2．直线 y＝kx＋1 与曲线 y＝x2＋ax＋b 相切于点 A(1,3)，则 2a＋b 的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
解析：选 C 由曲线 y＝x2＋ax＋b，得 y′＝2x＋a，
由题意可得
k＋1＝3，
k＝2＋a，
1＋a＋b＝3，
解得
k＝2，
a＝0，
b＝2，
所以 2a＋b＝2.
3．函数 y＝2x3－3x2 的极值情况为( )
A．在 x＝0 处取得极大值 0，但无极小值
B．在 x＝1 处取得极小值－1，但无极大值
C．在 x＝0 处取得极大值 0，在 x＝1 处取得极小值－1
D．以上都不对
解析：选 C y′＝6x2－6x，
由 y′＝6x2－6x>0，可得 x>1 或 x<0，
即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)．
由 y′＝6x2－6x<0，可得 0
1，所以 m≤1.
5．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选 D 依题意得 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令 f′(x)>0，解得 x>2，
∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．故选 D.
6．已知函数 f(x)＝x(x－m)2 在 x＝1 处取得极小值，则实数 m＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选 B f(x)＝x(x2－2mx＋m2)＝x3－2mx2＋m2x，
所以 f′(x)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)(3x－m)．
由 f′(1)＝0 可得 m＝1 或 m＝3.
当 m＝3 时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，
当 13 时，f′(x)>0，此时在 x＝1 处取得极大值，不合
题意，
∴m＝1，此时 f′(x)＝(x－1)(3x－1)，
当1
31 时，f′(x)>0，
此时在 x＝1 处取得极小值．选 B.
7．由曲线 y＝x2－1，直线 x＝0，x＝2 和 x 轴所围成的封闭图形的面积是( )
A.错误!(x2－1)dx
B.错误!|x2－1|dx
C.错误!(x2－1)dx
D.错误!(x2－1)dx＋错误!(1－x2)dx
解析：选 B 作出封闭图形的示意图如图所示，
易得所围成的封闭图形的面积是
S＝错误!(1－x2)dx＋错误!(x2－1)dx＝错误!|x2－1|dx.
8．若函数 f(x)＝ 1－2x，x≤0，
x3－3x＋a，x>0
的值域为[0，＋∞)， 则 实 数 a
的取值范围是( )
A．[2,3] B．(2,3]
C．(－∞，2] D．(－∞，2)
解析：选 A 当 x≤0 时，0≤f(x)＝1－2x<1；
当 x>0 时，f(x)＝x3－3x＋a，f′(x)＝3x2－3，
当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当 x＝1 时，函数 f(x)取得最小值 f(1)＝1－3＋a＝a－2.
由题意得 0≤a－2≤1，解得 2≤a≤3，选 A.
二、填空题
9．若函数 f(x)＝x＋aln x 不是单调函数，则实数 a 的取值范围是________．
解析：由题意知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋a
x
，要使函数 f(x)＝x＋aln x 不是单调函数，
则需方程 1＋a
x
＝0 在(0，＋∞)上有解，即 x＝－a，∴a<0.
答案：(－∞，0)
10．已知函数 f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则 f′(1)＝________.
解析：∵f′(x)＝1
x
－2f′(－1)x＋3，
∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.
答案：8
11．已知函数 f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝1
2x＋3，则 f(1)＋f′(1)＝
________.
解析：由题意知 f′(1)＝1
2
，f(1)＝1
2
×1＋3＝7
2
，
∴f(1)＋f′(1)＝7
2
＋1
2
＝4.
答案：4
12．已知函数 g(x)满足 g(x)＝g′(1)ex－1－g(0)x＋1
2x2，且存在实数 x0，使得不等式
2m－1≥g(x0)成立，则实数 m 的取值范围为________．
解析：g′(x)＝g′(1)ex－1－g(0)＋x，
令 x＝1 时，得 g′(1)＝g′(1)－g(0)＋1，
∴g(0)＝1，g(0)＝g′(1)e0－1＝1，
∴g′(1)＝e，
∴g(x)＝ex－x＋1
2x2，g′(x)＝ex－1＋x，
当 x<0 时，g′(x)<0，当 x>0 时，g′(x)>0，
∴当 x＝0 时，函数 g(x)取得最小值 g(0)＝1.
根据题意得 2m－1≥g(x)min＝1，∴m≥1.
答案：[1，＋∞)
三、解答题
13．已知函数 f(x)＝x＋a
x
＋b(x≠0)，其中 a，b∈R.
(1)若曲线 y＝f(x)在点 P(2，f(2))处的切线方程为 y＝3x＋1，求函数 f(x)的解析式；
(2)讨论函数 f(x)的单调性；
(3)若对于任意的 a∈
1
2
，2 ，不等式 f(x)≤10 在
1
4
，1 上恒成立，求实数 b 的取值范围．
解：(1)f′(x)＝1－ a
x2(x≠0)，
由已知及导数的几何意义得 f′(2)＝3，则 a＝－8.
由切点 P(2，f(2))在直线 y＝3x＋1 上可得－2＋b＝7，解得 b＝9，
所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝x－8
x
＋9.
(2)由(1)知 f′(x)＝1－ a
x2(x≠0)．
当 a≤0 时，显然 f′(x)>0，这时 f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．
当 a>0 时，令 f′(x)＝0，解得 x＝± a，
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ a) － a (－ a，0) (0， a) ( a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
所以当 a>0 时，f(x)在(－∞，－ a)，( a，＋∞)上是增函数，在(－ a，0)，(0， a)
上是减函数．
(3)由 (2)知 ， 对 于 任 意的 a ∈
1
2
，2 ， 不 等 式 f(x)≤10 在
1
4
，1 上 恒 成 立 等 价于
f
1
4 ≤10，
f1≤10，
即
b≤39
4
－4a，
b≤9－a
对于任意的 a∈
1
2
，2 成立，从而得 b≤7
4
，
所以实数 b 的取值范围是 －∞，7
4 .
14．已知函数 f(x)＝x
4
＋a
x
－ln x－3
2
，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线
垂直于直线 y＝1
2x.
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
解：(1)对 f(x)求导，得 f′(x)＝1
4
－ a
x2
－1
x(x>0)，
由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝1
2x，
知 f′(1)＝－3
4
－a＝－2，解得 a＝5
4.
(2)由(1)知 f(x)＝x
4
＋ 5
4x
－ln x－3
2
，
则 f′(x)＝x2－4x－5
4x2
，
令 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝5.
因为 x＝－1 不在 f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当 x∈(0,5)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0,5)内为减函数；
当 x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
由此知函数 f(x)在 x＝5 时取得极小值 f(5)＝－ln 5，无极大值．
