高中数学第1章三角函数1_3_2三角函数的图象与性质优化训练苏教版必修4
1.3.2 三角函数的图象与性质
5 分钟训练（预习类训练，可用于课前）
1.在［0，2π］上画出下列函数的简图：
（1）y=sinx-1；（2）y=2cosx.
解：画函数的简图，可以采用“五点法”，关键是找出五个关键点，所以，最好利用列表整
理数据，使问题既清晰又准确.
（1）第一步：按五个关键点列表；
x 0
2
π
2
3 2π
sinx 0 1 0 -1 0
sinx-1 -1 0 -1 -2 -1
第二步：描点；
第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连结起来.
（2）第一步：按五个关键点列表；
x 0
2
π
2
3 2π
cosx 1 0 -1 0 1
2cosx 2 0 -2 0 2
第二步：描点；
第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连结起来.
2.利用五点法作出下列函数的简图：
（1）画出 y=sinx 的图象；（2）画出 y=sinx，x∈［0，2π］的图象.
请比较（1）和（2）两个小题的图象有什么区别？
解：这两个函数的定义域不同.第（1）题定义域为 R，第（2）题的定义域为［0，2π］.［0，
2π］是 R 的真子集，所以第（2）题当 x∈［0，2π］时的函数图象就是第（1）题图象的
一部分.
10 分钟训练（强化类训练，可用于课中）
1.(2000 上海)函数 y=sin(x+
2
)(x∈［-
2
,
2
］)是( )
A.增函数 B.减函数 C.偶函数 D.奇函数
思路解析：y=sin(x+
2
)=cosx(x∈［-
2
,
2
］)，由余弦函数的性质知，y=cosx 为偶函数.
答案：C
2.设 M 和 m 分别表示函数 y=
3
1 cosx-1 的最大值和最小值，则 M+m 等于( )
A.
3
2 B.-
3
2 C.-
3
4 D.-2
思路解析：因为函数 g(x)=cosx 的最大值、最小值分别为 1 和-1，所以 y=
3
1 cosx-1 的最大
值、最小值为-
3
2 和-
3
4 .因此 M+m=-2.
答案：D
3.下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是( )
A.y=tan|x| B.y=cos(-x)
C.y=sin(x-
2
) D.y=|cot
2
x |
思路解析：都为偶函数，但 y＝tan|x|，y＝cos（-x），y＝|cot
2
x |在（0，π）上不是增函
数，y＝sin（x-
2
）＝-cosx 在（0，π）上是增函数．
答案：C
4.求函数 y=
2sin
1sin3
x
x 的值域．
思路解析：此类题型可转化为分式函数的值域的求法，即分离常数法，或通过反解 sinx 法，
利用 sinx 的值域确定函数的值域．
解法一：由 y=
2sin
5)2(sin3
x
x =3-
2sin
5
x
．
当 sinx=1 时，ymax=
3
4 ；
当 sinx=-1 时，ymin=-2．
∴函数的值域为［-2,
3
4 ］．
解法二：由 y=
2sin
1sin3
x
x ,得 sinx=
y
y
3
12 ．
∵|sinx|≤1,∴|
y
y
3
12 |≤1.
解得-2≤y≤
3
4 ．
∴ymax=
3
4 ，此时 sinx=1；
ymin=-2，此时 sinx=-1．
∴函数的值域为［-2,
3
4 ］．
5.方程 sinx=
10
x 的根的个数为_______________．
思路解析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑数形结合思想，转化为函数 y=
10
x 的图
象与函数 y=sinx 的图象的交点个数，借助图形直观求解．
当 x≥4π时，
10
x ≥
10
4 >1≥sinx；当 0
20
5 =
10
x .从而 x>0 时，有 3
个交点，由对称性 x<0 时，也有 3 个交点，加上原点，一共有 7 个交点．
答案：7
6.画出下列函数的简图：
（1）y=3+sinx，x∈［0，2π］；
（2）y=2-sinx，x∈［0，2π］；
（3）y=-cosx+3，x∈［-π，π］.
思路解析：可以采用“五点法”，关键是找出五个关键点，整理数据，描点画图．
答案：
志鸿教育乐园
迟了
在地铁里，一位男子发现扒手正在掏他的钱包，便幽默地说：
“老兄，你来晚了！我今天虽然领了薪水，但我太太下手比你快多了！”
30 分钟训练（巩固类训练，可用于课后）
1.(2005 全国卷Ⅱ)已知函数 y=tanωx 在(-
2
,
2
)内是减函数，则( )
A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0
C.ω≥1 D.ω≤-1
思路解析：由
||
≥π，∴|ω|≤1.若ω>0,其图象与 y=tanx 在(-
2
,
2
)上有相同的增减
性，∴ω＜0.∴y=tanωx 是减函数.
答案：B
2.(2005 北京春季)如果函数 f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是 T，且当 x=2
时取得最大值，那么( )
A．T=2,θ=
2
B.T=1,θ=π
C.T=2,θ=π D.T=1,θ=
2
思路解析：本题考查正弦函数的周期和最值问题.Y=sin(ωx+θ),其周期 T=
||
2
,当ωx+θ
＝2kπ+
2
时取得最大值.
由题知 T=
2 =2,又当 x=2 时，有 2π+θ＝2kπ+
2
.所以θ＝2(k-1)π+
2
.又 0＜θ＜2π,
则 k=1,θ=
2
.A 正确.
答案：A
3.若 f(x)=tan(x+
4
)，则( )
A.f(0)>f(-1)>f(1) B.f(0)>f(1)>f(-1)
C.f(1)>f(0)>f(-1) D.f(-1)>f(0)>f(1)
思路解析：在(-
2
,
2
)上，y=tanx 为增函数.根据诱导公式把 x+
4
转化到(-
2
,
2
)上再
比较大小.
f(1)=tan(1+
4
)=tan(1-
4
3 ).又-
2
＜1-
4
3 <
4
-1<
4
,所以 f(0)>f(-1)>f(1).A 正确.
答案：A
4.函数 y=2sinx 的单调增区间是( )
A.［2kπ-
2
,2kπ+
2
］(k∈Z) B.［2kπ+
2
,2kπ+
2
3 ］(k∈Z)
C.［2kπ-π,2kπ］(k∈Z) D.［2kπ,2kπ+π］(k∈Z)
思路解析：函数 y=2x 为增函数，因此求函数 y=2sinx 的单调增区间即求函数 y=sinx 的单调增
区间.
答案：A
5.函数 y=x+sin|x|,x∈［-π,π］的大致图象是( )
图 1-3-2
思路解析：由奇偶性定义，可知函数 y=x+sin|x|,x∈［-π,π］为非奇非偶函数，选项 A、
D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇偶函数.
答案：C
6.函数 y=tan(
2
1 x-
3
)在一个周期内的图象是( )
图 1-3-3
思路解析：本题主要考查正切函数的性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.
y=tan(
2
1 x-
3
)=tan
2
1 (x-
3
2 ),显然函数周期为 T=2π,且 x=
3
2 时，y=0.
答案：A
7.在下列各区间中，函数 y＝sin(x+
4
)的单调递增区间是( )
A.[
2
，π] B.[0，
4
] C.[-π，0] D.[
4
,
2
]
思路解析：y=sin(x+
4
)的递增区间是 2kπ-
2
≤x+
4
≤2kπ+
2
,k∈Z,即-
4
3 +2kπ≤x
≤
4
+2kπ,k∈Z.
当 k=0 时，区间是[-
4
3 ，
4
]，已知区间[0，
4
]是它的子区间，故应选 B.
注意这里给出的区间不是某整个递增区间，而是它的一个子区间，要善于鉴别.
答案：B
8.求函数 y=3tan（
6
-
4
x ）的周期和单调区间.
思路解析：把原函数用诱导公式化为 y=-3tan（
4
x -
6
）的形式，使 x 的系数ω>0，有利于
利用复合函数判断单调性.
解：y=3tan（
6
-
4
x ）=-3tan（
4
x -
6
），
∴T=
=
4
1
=4π.
由 kπ-
2
<
4
x -
6
0）.已知它们的
周期之和为
2
3 ，且 f（
2
）=g（
2
），f（
4
）=- 3 g（
4
）+1，你能确定 a、b、ω的值
吗？
思路解析：y=Asin（ωx+φ）的周期是
2 ,y=Atan(ωx+φ)的周期是
.另外，待定系数
法、方程的思想是解决本题的关键.
解：∵f（x）的周期为
2 ，g（x）的周期为
，由已知
2 +
=
2
3 ,得ω=2，
∴函数式为 f（x）=asin（2x+
3
），g（x）=btan（2x-
3
）.
由已知，得方程组
,1)342tan(3)342sin(
),3tan()3sin(
ba
ba
即
.12
,32
3
ba
ba
解得
.2
1
,1
b
a
∴a=1，b=
2
1 ，ω=2.
10.求函数 y=-2tan（3x+
3
）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性.
解：由 3x+
3
≠kπ+
2
，得 x≠
3
k +
18
（k∈Z），
∴所求的函数定义域为{x|x≠
3
k +
18
，k∈Z，x∈R}；值域为 R；周期为
3
；它既不是奇
函数，也不是偶函数；在区间（
3
k -
18
5 ，
3
k +
18
）（k∈Z）上是单调减函数.
11.求函数 y=lg（tanx-1）+ x2sin 的定义域.
解：所求自变量 x 必须满足
)(2
24
02sin
01tan
Zkkxk
kxk
x
x
kπ+
4
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