2020高中数学 第1章 立体几何初步 第一节 空间几何体2 圆柱、圆锥、圆台和球学案 苏教版必修2

2020高中数学 第1章 立体几何初步 第一节 空间几何体2 圆柱、圆锥、圆台和球学案 苏教版必修2

圆柱、圆锥、圆台和球 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 圆柱、圆锥、圆台和球 ‎1. 直观了解柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征；‎ ‎2. 了解复杂几何体的组成情况，学会分析并掌握它们是由哪些简单几何体组合而成。‎ 选择题 填空题 引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，多角度、多层次地揭示空间图形的本质。按照从整体到局部、由具体到抽象的原则，让学生认识棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征，进而通过空间图形，培养和发展学生的空间想象能力。‎ 二、重难点提示 圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征。‎ 考点一：圆柱、圆锥、圆台、球 ‎（1）圆柱、圆锥、圆台的定义及相关概念、表示 定义 图形 表示 圆 柱 将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做圆柱 记作：圆柱OO′‎ 圆 锥 将直角三角形绕着它的一直角边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做圆锥 记作：圆锥SO 圆 台 将直角梯形绕着它垂直于底边的腰所在的直线旋转一周形成的几何体叫做圆台 记作：圆台OO′‎ 6‎ 球 将半圆面绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的几何体叫球 记作：球O ‎【要点诠释】‎ ‎① 几何体与曲面的区别：几何体是“实心”的。例如圆柱的表面是指圆柱的上下底面及侧面组成的曲面，它是“空心的”，不包括内部。‎ ‎② 在圆柱、圆锥、圆台的侧面上不沿着母线是画不出直线段的。‎ ‎③ 球体与球面是不同的，球体是几何体，球面是曲线，但二者也有联系，球面是球体的表面。‎ ‎（2）圆柱、圆锥、圆台和球的简单画法 画圆柱、圆台一般先画一个底面，再画两条母线（过轴截面），最后画另一个底面，如图（1）、（3）；画圆锥可以先画母线（作为轴截面），再补上底面比较方便。如图（2）；画球一般先画一个圆及其一条直径（虚线），然后再以直径为长轴作一个椭圆，如图（4）。‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（3）圆柱、圆锥、圆台的性质 ‎① 平行与底面的截面是圆；‎ 6‎ ‎② 过轴的截面（简称轴截面），分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；‎ ‎③ 用平行于底面的平面去截圆锥，截面圆与底面圆半径之比等于所截的小圆锥的母线与原圆锥的母线之比。‎ ‎（4）圆柱、圆锥、圆台、球的截面 ‎① 平行于底面的截面 A. 平行于圆柱底面的截面是与底面大小不同的圆面；‎ B. 平行于圆锥底面的截面都是圆面；‎ C. 平行于圆台底面的截面都是圆面。‎ ‎② 轴截面 A. 圆柱中，过轴的截面（轴截面）是全等的矩形；‎ B. 圆锥中，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形；‎ C. 圆台中，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形。‎ ‎③ 球的截面 A. 用一个平面去截球，截面是圆面。其中，过球心的平面截得的叫大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫小圆。‎ B. 截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面。‎ 考点二：旋转面、旋转体、组合体 ‎（1）旋转面与旋转体 一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面。封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体。‎ ‎【要点诠释】旋转面与旋转体的图示 ‎（2）组合体 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体。其构成形式有两种基本形式：一种是简单几何体拼接形成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而形成的。‎ ‎【核心突破】‎ ‎1. 圆柱、圆台、圆锥的关系如图所示：‎ ‎2. 处理台体问题常采用还台为锥的补体思想，处理组合体问题常采用分割思想。‎ ‎3. 重视圆柱、圆台、圆锥的轴截面在解决与旋转体相关量（如母线长等）中的特殊作用，体会空间几何问题平面化的思想。‎ ‎【随堂练习】（山东济南模拟）一个圆锥的底面半径为2，高为6，其内部有一个内接圆柱，则圆柱的轴截面的面积最大值为 。‎ 6‎ 答案：设内接圆柱的高为，底面圆半径为，由已知得 ‎∵‎ 当时，最大值为6。‎ 思路分析：画出圆锥与圆柱的轴截面，利用轴截面寻找各量间的关系。‎ 技巧点拨：与几何体有关的最值问题，可列出其函数解析式，用函数思想求解。‎ 例题1 （旋转体的概念）下列叙述错误的有__________。（填序号）‎ ‎①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；‎ ‎②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；‎ ‎③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；‎ ‎④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台。‎ 思路分析：根据旋转体的特征判断各命题的对错。‎ 答案：以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边为旋转轴旋转得到的几何体为两个同底的圆锥连在一起的几何体，如图（1），故①错；以直角梯形垂直于底边的一腰为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰为旋转轴旋转得到的几何体为一个圆台一侧挖去一个同上底的圆锥，另一侧补上一个同下底的圆锥，如图（2），故②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，而不是圆，故③错；用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故④错。‎ 故应填：①②③④。‎ 技巧点拨：‎ ‎1.‎ 6‎ ‎ 准确掌握圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键。要注意定义中的关键字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决。‎ ‎2. 旋转体的形状关键是看平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转所得的旋转体不同。‎ 例题2 （旋转体的形成与分解）‎ 如图所示，画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体，并说出这些几何体是由哪些旋转体组合而成的。‎ 思路分析：过图（1）（2）中的顶点D、C分别向旋转轴引垂线，即可得到旋转后的图形。‎ 答案：如图所示，（1）是由圆锥、圆柱组合而成的，（2）是由圆柱中间挖去一个圆锥组合而成的。‎ 技巧点拨：对于不规则平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形作适当的分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆周）等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析。‎ 例题3 （有关旋转体的计算）‎ 一个圆台的母线长为‎12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2。求：‎ ‎（1）圆台的高；（2）截得此圆台的圆锥的母线长。‎ 思路分析：画出轴截面，依据相似三角形求解。‎ 答案：（1）如图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，作AM⊥BC于M，延长BA、CD交于S。由已知得上底面半径O‎1A＝‎2 cm，下底面半径OB＝‎5 cm，且腰长AB＝‎12 cm，‎ ‎∴圆台的高AM＝（cm）。 ‎ 6‎ ‎（2）设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由△SAO1∽△SBO，得，‎ 解得l＝20。即截得此圆台的圆锥的母线长为‎20 cm。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 本题在求解过程中，通过轴截面实现了空间运算平面几何化的思想，其优点是轴截面较直观地反映了圆台的母线长、高及上、下底面半径间的关系。‎ ‎2. 解有关圆柱、圆锥、圆台的计算问题时常常利用它们的轴截面。‎ 有关组合体问题 观察图中的组合体，分析它们是由哪些简单几何体组成的，并说出主要结构特征。（面数，顶点数，棱数）‎ 思路分析：识图→分割或填补→变成简单几何体的组合→下结论→回答相关问题 答案：图（1）是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的组合体，它有9个面，14个顶点，21条棱，具有四棱柱和三棱柱的结构特征。‎ 图（2）是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组合而成的组合体，它有9个面，9个顶点，16条棱，具有四棱柱和四棱锥的结构特征。‎ 图（3）是由一个三棱柱和一个下底与三棱柱上底重合的三棱台组成的组合体，它有9个顶点，8个面，15条棱，具有三棱柱和三棱台的结构特征。‎ 技巧点拨：组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成。要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的特征，先分割，后认证。‎ 6‎