【数学】山东省新泰市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试试题（解析版）

【数学】山东省新泰市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试试题（解析版）

山东省新泰市第一中学2019-2020学年 高一下学期期中考试试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1．复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎2．在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某校共有学生3 000名,各年级男、女生人数如表所示,已知高一、高二年级共有男生1 120人,现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生,则应在高三年级抽取的学生人数为( )‎ 高一年级 高二年级 高三年级 女生 ‎456‎ ‎424‎ y 男生 ‎644‎ x z A．16 B．18 C．20 D．24‎ ‎4．已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为(　　)‎ A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1‎ ‎5．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）‎ A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 ‎6．如图，平行六面体中，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，，分别为和的中点，当和所成角的余弦值为时，与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（ ）‎ A．2 B． C．3 D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9．已知直线，则下列结论正确的是（ ）‎ A．直线的倾斜角是 ‎ B．若直线则 C．点到直线的距离是 ‎ D．过与直线平行的直线方程是 ‎10．在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）‎ A．成绩在的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000‎ C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分 ‎11．如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：( )‎ A．∥平面 B．平面∥平面 C．直线与直线所成角的大小为 D．‎ ‎12．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）‎ A．若，则点是边的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，且，则的面积是的面积的 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．如图，在中，，，D为BC边上的点，且，，则______．‎ ‎15．在空间直角坐标系中，点为平面ABC外一点，其中若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 ‎16．已知空间四边形中，，，，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为__________．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题10分）已知直线恒过定点.‎ ‎（1）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程.‎ ‎18．（本小题12分）如图，在中，已知为线段上的一点，.‎ ‎（1）若，求，的值；‎ ‎（2）若，，，且与的夹角为时，求的值.‎ ‎19．（本小题12分）如图，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．‎ （1） 求点C的坐标；（2）求△ABC的面积．‎ ‎20．（本小题12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求异面直线和所成角；‎ ‎（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长.‎ ‎21．（本小题12分）某校两个班级100名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区如下表：‎ 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 ‎（1）求频率表分布直方图中的值；‎ ‎（2）根据频率表分布直方图，估计这100名学生这次考试成绩的平均分；‎ ‎（3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.‎ ‎22．（本小题12分）如图所示的几何体中，平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，点M，N分别在棱FD，ED上.‎ ‎（1）若平面MAC，设，求的值；‎ ‎（2）若，平面AEN平面EDC所成的锐二面角为，求BE的长.‎ 参考答案 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1．复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ A ）‎ A． B．1 C． D．‎ 解：虚部为-1，故选A.‎ ‎2．在△中，为边上的中线，为的中点，则（ A ）‎ A． B． C． D．‎ 解：根据向量的运算法则，可得 ‎ ，所以，故选A.‎ ‎3．某校共有学生3 000名,各年级男、女生人数如表所示,已知高一、高二年级共有男生1 120人,现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生,则应在高三年级抽取的学生人数为( C )‎ 高一年级 高二年级 高三年级 女生 ‎456‎ ‎424‎ y 男生 ‎644‎ x z A．16 B．18 C．20 D．24‎ 解：根据题意得,高一、高二学生总数是1120+(456+424)=2000,∴高三学生总数是3000-2000=1000.用分层抽样法在高三年级抽取的学生数为×60=20.故选C.‎ ‎4．已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为(　B　)‎ A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1‎ 解：件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，故选B．‎ ‎5．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ B ）‎ A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 解：试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.‎ ‎6．如图，平行六面体中，，，，则（D）‎ A． B． C． D．‎ 解：，‎ ‎,.故选：D ‎7．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，，分别为和的中点，当和所成角的余弦值为时，与平面所成角的正弦值为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ 解：设，以为原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，‎ ‎，，，，，，和所成角的余弦值为，‎ ‎，‎ 解得．，，，平面的法向量，‎ 与平面所成角的正弦值为：．‎ 故选：B．‎ ‎8．已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（B）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎.故选B.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9．已知直线，则下列结论正确的是（ CD ）‎ A．直线的倾斜角是 ‎ B．若直线则 C．点到直线的距离是 ‎ D．过与直线平行的直线方程是 解：对于A．直线的斜率k＝tanθ，故直线l的倾斜角是，故A错误；‎ 对于B．因为直线的斜率k′，kk′＝1≠﹣1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；‎ 对于C．点到直线l的距离d2，故C正确；‎ 对于D．过与直线l平行的直线方程是y﹣2（x﹣2），整理得：，故D正确．综上所述，正确的选项为CD．故选：CD．‎ ‎10．在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ABC）‎ A．成绩在的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000‎ C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分 解：由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；‎ 考生竞赛成绩的平均分约为，故C正确；‎ 因为成绩在的频率为0.45，在的频率为0.3，‎ 所以中位数为，故D错误.故选：ABC.‎ ‎11．如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：( ABD )‎ A．∥平面 B．平面∥平面 C．直线与直线所成角的大小为 D．‎ 解：选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON,由线面平行的判定定理可得，∥平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；选项C,因为MN∥CD，所以∠ PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又∥ON，所以，故ABD均正确.‎ ‎12．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ACD ）‎ A．若，则点是边的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，且，则的面积是的面积的 解：A中：,即：‎ ‎,则点是边的中点 B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.‎ C. ‎ 设中点D,则,，由重心性质可知C成立.‎ D．且设，所以，可知三点共线，所以的面积是面积的，故选择ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．如图，在中，，，D为BC边上的点，且，，则_1_____．‎ 解：∵‎ ‎∴，且为的中点，‎ ‎∴在直角三角形中可求得，‎ ‎∵∴，故答案为1.‎ ‎15．在空间直角坐标系中，点为平面ABC外一点，其中若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 解:在空间直角坐标系中，‎ 所以，而平面的一个法向量为，‎ 所以，即，解得，‎ 所以，点，则，‎ 则由点到平面距离公式可得，故答案为：.‎ ‎16．已知空间四边形中，，，，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为__________．‎ 解:‎ 如图：由于是等边三角形，所以到A,B,D三点距离相等的点在重心O且垂直是平面ABD的直线上，又因为，所以到B,C,D三点距离相等的点在过BD中点E且与平面BCD垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径R=，．填．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题10分）已知直线恒过定点.‎ ‎（1）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程.‎ 解:直线可化为，‎ 由可得，所以点A的坐标为. ‎ ‎（1）设直线的方程为，‎ 将点A代入方程可得，所以直线的方程为,‎ ‎（2）①当直线斜率不存在时，因为直线过点A，所以直线方程为，‎ 符合原点到直线的距离等于3. ‎ ‎②当直线斜率不存在时，设直线方程为，即 因为原点到直线的距离为3，所以，解得 所以直线的方程为 综上所以直线的方程为或.‎ ‎18．（本小题12分）如图，在中，已知为线段上的一点，.‎ ‎（1）若，求，的值；‎ ‎（2）若，，，且与的夹角为时，求的值.‎ 解:(1)∵,∴,即2,‎ ‎∴,即x=,y=.‎ ‎(2)∵=3,∴=3+3,即4+3,‎ ‎∴.∴x=,y=.‎ ‎·()‎ ‎==×22-×42+×4×2×=-9.‎ ‎19．（本小题12分）如图，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．‎ ‎（1）求点C的坐标；（2）求△ABC的面积．‎ 解:（1）由题意，设点，‎ 根据AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，‎ 根据中点公式，可得，解得，所以点的坐标是．‎ ‎（2）因为， ‎ 得．，‎ 所以直线的方程为，即，‎ 故点到直线的距离，‎ 所以的面积．‎ ‎20．（本小题12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求异面直线和所成角；‎ ‎（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长.‎ 解:（1）∵，，∴，‎ ‎∵平面平面，‎ 平面平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴，，‎ 如图，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系,‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴异面直线和所成角为.‎ ‎（3）设为平面的法向量，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，即，设，，‎ ‎∴，‎ 设与平面所成角为，‎ ‎∵，∴，‎ ‎，，，‎ ‎（舍），，∴的长为.‎ ‎21．（本小题12分）某校两个班级100名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区如下表：‎ 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 ‎（1）求频率表分布直方图中的值；‎ ‎（2）根据频率表分布直方图，估计这100名学生这次考试成绩的平均分；‎ ‎（3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.‎ 解：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005． ‎ ‎（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5‎ ‎（3）由直方图，得：‎ 第3组人数为0.3×100=30，第4组人数为0.2×100=20人，‎ 第5组人数为0.1×100=10人．‎ 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，‎ 每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：=1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人． ‎ 设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：‎ ‎（A1，A2），（A1，A3），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），‎ 其中恰有1人的分数不低于9（0分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为.‎ ‎22．（本小题12分）如图所示的几何体中，平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，点M，N分别在棱FD，ED上.‎ ‎（1）若平面MAC，设，求的值；‎ ‎（2）若，平面AEN平面EDC所成的锐二面角为，求BE的长.‎ 解:（1）解：连接，，设，‎ 因为四边形为菱形，所以为与的中点，‎ 连接，因为∥平面，且平面平面，‎ 所以∥，因为为的中点，所以为的中点，‎ 即；‎ ‎（2），又四边形ABCD为菱形，‎ 则四边形ABCD为正方形，‎ ‎，又因为平面，可如图建立空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ 设，则， ‎ 因为，所以， ‎ 所以，设平面的法向量为，‎ 又，‎ 由 即，取，‎ 设平面的法向量为，‎ 又 由 得，取，‎ 因为平面与平面 所成的锐二面角为，‎ 所以，‎ 解得，即的长为.‎