2018-2019学年宁夏石嘴山市第三中学高一上学期第二次（12月）月考数学试题（解析版）
宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一上学期第二次（12月）月考数学试题（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设全集U是实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|1
0时，f(x)=x2-x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为( )
A. -14 B. 14 C. 12 D. -12
【答案】B
【解析】解：函数f(x)在R上为奇函数，f(-x)=-f(x)；
且x>0时，f(x)=x2-x，
则当x<0时，f(x)=-f(-x)=-(x2+x)=-x2-x=-(x+12)2+14，
∴x=-12时，函数f(x)的最大值为14．
故选：B．
利用函数的奇偶性直接求解函数的解析式，即可求出当x<0时，函数f(x)的最大值．
本题考查当x<0时，函数f(x)的最大值，考查函数的奇偶性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．
1. 已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A'B'C'D'(如图所示)，其中A'D'=2，B'C'=4，A'B'=1，则直角梯形DC边的长度是(
A. 5 B. 22 C. 25 D. 3
【答案】B
【解析】解：由已知作出梯形ABCD是直角梯形，如右图：
∵按照斜二测画法画出它的直观图A'B'C'D'，A'D'=2，B'C'=4，A'B'=1，
∴直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=A'D'=2，BC=B'C'=4，AB=2A'B'=2，
过D作DE⊥BC，交BC于E，则DE=AB=2，EC=BC-AD=4-2=2，
∴直角梯形DC边的长度为：4+4=22．
故选：B．
由已知直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=A'D'=2，BC=B'C'=4，AB=2A'B'=2，由此能求出直角梯形DC边的长度．
本题考查直角梯形中斜边长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜二测画法的合理运用．
2. 根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-6=0的一个根所在的区间为( )
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+6
5
6
7
8
9
A. (-1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)
【答案】D
【解析】解：令f(x)=ex-x-6，
由表知f(2)=7.39-8<0，f(3)=20.09-9>0，
∴方程ex-x-6=0的一个根所在的区间为(2,3)．
故选：D．
本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题.在解答时，应先将方程的问题转化为函数零点大致区间的判断问题，结合零点存在性定理即可获得解答．
本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题.在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想以及数据处理的能力.值得同学们体会和反思．
1. 幂函数f(x)=k⋅xα的图象过点(12,22)，则k+α=( )
A. 12 B. 1 C. 32 D. 2
【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)=k⋅xα是幂函数，
∴k=1，
∵幂函数f(x)=xα的图象过点(12,22)，
∴(12)α=22，得α=12，
则k+α=1+12=32．
故选：C．
由函数f(x)=k⋅xα是幂函数，根据幂函数的定义可知，其系数k=1，再将点(12,22)的坐标代入可得α值，从而得到幂函数的解析式．
本题考查幂函数的性质及其应用，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．
2. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A. π2+1
B. π2+3
C. 3π2+1
D. 3π2+3
【答案】A
【解析】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，
故该几何体的体积为12×13×π×12×3+13×12×2×2×3=π2+1，
故选：A．
根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．
本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．
1. 在同一坐标系中，函数y=e-x与函数y=lnx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：由函数y=e-x=(1e)x，底数小于1，单调递减；恒过(0,1)；
函数y=lnx的图象，底数大于1，单调递增；恒过(1,0)；
综上可知在同一坐标系中，正确的是C；
故选：C．
根据指数、对数函数的图象单调性即可得答案；
本题考查了指数、对数函数的图象问题，属于容易题．
2. 我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈等于10尺)( )
A. 29尺 B. 24尺 C. 26尺 D. 30尺
【答案】C
【解析】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2=10(尺)，因此葛藤长242+102=26(尺)．
故选：C．
由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2=10(尺)，利用勾股定理，可得结论．
本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查学生的计算能力，正确运用圆柱的侧面展开图是关键．
1. 已知函数f(x)=loga(x2-ax+3)(a>0且a≠1)满足：对任意实数x1，x2，当x10，则实数a的取值范围是( )
A. (0,3) B. (1,3) C. (2,23) D. (1,23)
【答案】D
【解析】解：由题意可得函数f(x)在(-∞,a2)上是减函数．
令t=x2-ax+3，则函数t在(-∞,a2)上是减函数，且f(x)=logat.
由复合函数的单调性规律可得a>1，且(a2)2-a⋅a2+3>0．
解得11，且(a2)2-a⋅a2+3>0，由此求得a的范围．
本题主要考查对数函数的图象和性质，复合函数的单调性规律，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2. 已知函数f(x)=log12x(x>0)2x(x<0)，则f[f(4)]=______．
【答案】14
【解析】解：∵函数f(x)=log12x(x>0)2x(x<0)，
∴f(4)=log124=-2，
f[f(4)]=f(-2)=2-2=14．
故答案为：14．
推导出f(4)=log124=-2，从而f[f(4)]=f(-2)，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
1. 若函数f(x)=lgx+x-3的零点在区间(k,k+1)，k∈Z内，则k=______．
【答案】2
【解析】解：因为函数y=lgx与y=x-3都是定义域上的增函数，所以函数f(x)=lgx+x-3也为定义域上的增函数．
因为f(2)=lg2+2-30，
所以由零点存在性定理可得函数f(x)=lgx+x-3的近似解在区间(2,3)上，所以k=2．
故答案为：2．
确定函数f(x)=lgx+x-3也为定义域上的增函数.计算f(2)=lg2+2-30，由零点存在性定理可得函数f(x)=lgx+x-3的近似解在区间(2,3)上，即可得出结论．
本题考查零点存在性定理，考查学生的计算能力，比较基础．
2. 已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______．
【答案】5
【解析】解：由正视图、侧视图为长方形，俯视图为三角形的几何体为三棱柱，由图形可知面DA'的面积最大为5．
故答案为：5．
画出直观图，利用几何体的图形，判断求解三棱柱最大侧面的面积．
本题考查三视图求解几何体的侧面积，考查数形结合以及计算能力．
3. 已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，3，2，则其外接球的表面积为______．
【答案】8π
【解析】解：设外接球半径为r，则(2r)2=12+(3)2+22=8，故r2=2.∴S球=4πr2=8π．
故答案为：8π．
设出球的半径，利用长方体的对角线就是球的直径，求出球的半径，即可得到球的表面积．
本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，球的直径与长方体的对角线的关系是解题的依据，考查计算能力，转化思想．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
1. 化简与求值
(1)化简：(2a23b12)(-6a⋅3b)3a16b56
(2)求值：3log32-log3(409)+log35-52log53
【答案】解：(1)(2a23b12)(-6a⋅3b)3a16b56
=-4a23+12-16b12+13-56
=-4a．
(2)3log32-log3(409)+log35-52log53
=log3(8×940×5)-5log59
=2-9
=-7．
【解析】(1)利用指数的性质、运算法则直接求解．
(2)利用对数的性质、运算法则直接求解．
本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. 已知f(x)=loga(1+x)，g(x)=loga(1-x)，(a>0且a≠1)
(1)令函数F(x)=f(x)-g(x)，求F(x)的定义域；
(2)若a<1，解关于x的不等式f(x+1)≥g(2x)
【答案】解：(1)F(x)=f(x)-g(x)=loga(1+x)-loga(1-x)，
∴1-x>01+x>0，
解得-101-2x>0，
解得-201-2x>0，求出不等式组的解集即可．
本题考查了对数不等式的解法与应用问题，是基础题．
1. 有甲、乙两种商品，经销这两种商品所获的利润依次为p(万元)和q(万元)，它们与投入的资金x(万元)的关系，据经验估计为：p=-x2+4x，q=2x今有3万元资金投入经销甲、乙两种商品，为了获得最大利润，应对甲、乙两种商品分别投入多少资金？总共获得的最大利润是多少万元？
【答案】解：设投入甲商品x万元、投入乙商品3-x万元，共获得利润y万元(2分)
则y=(-x2+4x)+2(3-x)=-x2+2x+6=-(x-1)2+7(12分)
由于0≤x≤3，所以当x=1时，ymax=7(15分)
答：应投入甲商品1万元、投入乙商品2万元，共获得最大利润7万元.(16分)
【解析】对甲乙分别投入x，3-x(万元)，根据经验公式，可建立利润函数，利用换元法转化为二次函数，采用配方法可求函数的最值．
本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查利用函数模型解决实际问题，关键是利用经验公式建立利润函数关系．
2. 如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90∘，∠ADC=135∘，AB=5，CD=22，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
【答案】(12分)
解：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，
S表面=S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面
=π×52+π×(2+5)×5+π×2×22
=(42+60)π．
V=V圆台-V圆锥=
13π(r12+r1r2+r22)h-13πr2h'
=13π(25+10+4)×4-13π×4×2=1483π
【解析】四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，S表面=S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面，V=V圆台-V圆锥，进而得到答案．
本题考查的知识点是旋转体，圆台和圆锥的体积和表面积，难度中档．
3. 已知函数f(x)=2-(13)x,x≤012x2-x+1,x>0
(1)当x≤0时，解不等式f(x)≥-1；
(2)写出该函数的单调区间；
(3)若函数g(x)=f(x)-m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围．
【答案】解：(1)当x≤0时，f(x)=2-(13)x≥-1，
解得x≥-1，
综上，-1≤x≤0，
故解集为[-1,0]；
(2)函数f(x)的图象如右图，
函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，
单调增区间是(-∞,0)及(1,+∞)；
(3)作出直线y=m，
函数g(x)=f(x)-m恰有3个不同零点等价于
函数y=m与函数f(x)的图象恰有三个不同公共点．
由函数f(x)=2-(13)x,x≤012x2-x+1,x>0
又f(0)=1，f(1)=12，
∴m∈(12,1)．
【解析】(1)由x≤0时的函数表达式，通过指数函数的单调性解出不等式即可；
(2)画出函数f(x)的图象，通过图象观察即可；
(3)作出直线y=m，函数g(x)=f(x)-m恰有3个不同零点等价于函数y=m与函数f(x)的图象恰有三个不同公共点.由图象观察即可得到．
本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性，以及函数的图象交点个数，注意运用数形结合的思想方法，是迅速解题的关键．
1. 已知函数f(x)=2x-12x+1，f(x)在R上是单调递增的函数．
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．
(2)对于任意x∈[-2,2]，不等式f(x2+m+6)+f(-2mx)>0恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=2x-12x+1，其定义域为R，
有f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-(2x-12x+1)=-f(x)，
则函数f(x)为奇函数；
(2)由(1)的结论，f(x)为R上的奇函数，
则f(x2+m+6)+f(-2mx)>0⇒f(x2+m+6)>-f(-2mx)⇒f(x2+m+6)>f(2mx)，
又由f(x)在R上是单调递增的函数，则有x2+m+6>2mx，在x∈[-2,2]恒成立
即x2-2mx+m+6>0，在x∈[-2,2]恒成立，
设g(x)=x2-2mx+m+6，则等价为g(x)min>0即可．
即g(x)=x2-2mx+m+6=(x-m)2-m2+m+6，
当m≤-2，则函数g(x)的最小值为g(-2)=5m+10>0，得m>-2，不成立，
当-20，得-20，可得-20，在x∈[-2,2]恒成立，设g(x)=x2-2mx+m+6，则等价为g(x)min>0即可.利用二次函数闭区间上的最值求解即可得答案．
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，属于综合题．