【数学】2019届一轮复习苏教版几何证明选讲学案

【数学】2019届一轮复习苏教版几何证明选讲学案

几何证明选讲 ‎ ‎ ‎【热点深度剖析】‎ ‎1. 江苏近几年的高考，几何证明选讲主要考查相似三角形的判定与性质定理、圆的切线的判定与性质定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理和圆的内接四边形问题等..‎ ‎2. 平行截割定理是平行线等分线段定理的一般情形，是研究相似形最重要和最基本的理论，其证明体现了化归的思想，把它应用在三角形上就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础。本讲的内容在初中已经通过观察、实验和操作的方法初步了解，这里不仅是对初中知识的深化，更侧重于逻辑推理与抽象思维.‎ ‎【最新考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A ‎ B ‎ C ‎ 几何证明 选讲 ‎ 相似三角形的判定与性质定理 ‎ ‎ ‎ ‎√ ‎ ‎ ‎ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.‎ 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.‎ 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.‎ 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.‎ 射影定理 ‎ ‎√ ‎ 圆的切线的判定与性质定理 ‎ ‎ ‎ ‎√ ‎ ‎ ‎ 圆周角定理，弦切角定理 ‎ ‎ ‎ ‎√ ‎ ‎ ‎ 相交弦定理、割线定理、切割线定理 ‎ ‎ ‎ ‎√ ‎ ‎ ‎ 圆内接四边形的判定与性质定理 ‎ ‎ ‎ ‎√ ‎ ‎ ‎ ‎【重点知识整合】‎ ‎1、比例线段有关定理 ‎（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。‎ 推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。‎ 推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。‎ ‎（2）平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。‎ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。‎ ‎2、相似三角形的判定及性质 ‎（1）相似三角形的判定：‎ 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。‎ 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。‎ 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。‎ 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。‎ ‎（2）相似三角形的性质：‎ 性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；‎ 性质:2：相似三角形周长的比等于相似比；‎ 性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。‎ 注：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。‎ ‎3、直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。‎ ‎4、圆周角定理 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。‎ 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。‎ 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。‎ ‎5、圆内接四边形的性质与判定定理 定理1：圆的内接四边形的对角互补。‎ 定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。‎ 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。‎ 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。‎ ‎6、圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。‎ 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。‎ 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。‎ 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。‎ ‎7、弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。‎ ‎8、与圆有关的比例线段（圆幂定理）‎ 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。‎ 割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。‎ 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。‎ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。‎ ‎【应试技巧点拨】‎ 一、1相似三角形的判定与性质的应用 判定两个三角形相似的方法：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的定义．‎ ‎2证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例式或利用中间比求解．‎ ‎3相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等．‎ 二、四点共圆的证明方法 ‎ ‎ （1）求证四边形的一个外角等于与它不相邻的内角；（2）当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补。‎ 三、平面几何中有关角与比例线段问题的求解方法 ‎ （1）与切线有关的角度问题，应考虑应用弦切角的性质定理求解；‎ ‎ （2）与切线有关的比例式或线段问题，应注意利用弦切角，确定三角形相似的条件，若条件不明显需添加辅助线．‎ ‎ （3）与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．‎ ‎ ‎ ‎【考场经验分享】‎ ‎1.目标要求：几何证明选讲主要考查相似三角形的判定与性质定理、圆的切线的判定与性质定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理和圆的内接四边形问题等．‎ ‎2.注意问题：证明过程严密性 ‎3.经验分享：一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．‎ ‎【名题精选练兵篇】‎ ‎1． [选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ 如图，是直角，圆与射线相切于点，与射线相交于两点．求证：平分．‎ ‎ ‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：由是切线，是直角得，因此．半径 得，因此， 即平分．‎ ‎ ‎ ‎2．在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P.‎ 求证：AP·AN＋BP·BM＝AB2.‎ ‎(第21—A题图)‎ ‎【答案】略．‎ ‎【解析】证明：作PE⊥AB于E，‎ 因为AB为直径，‎ 所以∠ANB＝∠AMB＝90°(2分)‎ 所以P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆．(6分)‎ ‎(8分)‎ ‎(1)＋(2)得AB(AE＋BE)＝AP·AN＋BP·BM(9分)‎ 即AP·AN＋BP·BM＝AB2(10分)‎ ‎(第21题A图)‎ ‎3．（选修4—1：几何证明选讲）‎ 如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，，，、为垂足，连接. 若，，求的长.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由弦切角定理得，从而可得，即，因此可得，即，，再由三角形相似得，解出 试题解析：因为与相切于，所以， …………2分 又因为为的直径，所以.‎ 又，所以，所以，所以.…4分 又，，所以.‎ 所以，所以， ……… 6分 又，所以. ………10分 ‎4．如图，四边形 ABDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎ ‎ ‎（2）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB． …………………………………6分 因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC． ………………………7分 由切割线定理得EC2=AEBE，即AB2=AE( AE－AB)，‎ 即AB2+2 AB-4=0，解得AB=. …………………………………10分 ‎5．（几何证明选讲，本题满分10分）如图,圆是的外接圆,点是劣弧的中点,连结并延长,与以为切点的切线交于点,求证:.‎ ‎ ‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：由弦切角定理得,因此～，从而，又等弧对等弦，所以,即. ‎ 试题解析：证明：连结，因为为圆的切线，‎ 所以, ‎ 又是公共角，所以～， ……………5分 所以 ,‎ ‎ 因为点是劣弧的中点,所以,即. ……………10分 ‎6．选修4-1:几何证明选讲 ‎ (本小题满分10分)‎ ‎ 如图，0是△ABC的外接圆，AB = AC，延长BC到点D，使得CD = AC，连结AD交O于点E.求证:BE平分ABC ‎ ‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：证明BE平分ABC就是证明，可利用等弦对等角，，因为，所以，，从而 试题解析：因为，所以．………………………………………………2分 因为，所以．……………………………………………4分 因为，所以．………………………………………6分 因为， ………………………………………8分 所以，即平分．………………………………………10分 考点：等弦对等角 ‎7．（选修4—1：几何证明选讲）‎ 如图，已知点为的斜边的延长线上一点，且与的外接圆相切，过点作的垂线，垂足为，若，，求线段的长.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 考点：切割线定理 ‎8．（本小题满分10分，几何证明选讲）‎ 如图，与圆相切于点，是的中点，过点引圆的割线，与圆相交于点，连结．‎ 求证：．‎ ‎ ‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ ‎ ‎ 考点：切割线定理 ‎9．选修4-１：几何证明选讲（本小题满分10分）‎ 如图，过圆O外一点P作圆O的切线PA，切点为A，连结OP与圆O交于点C，过C作AP的算线，垂足为D，若PA＝12cm，PC＝6cm，求CD的长。‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由切割线定理得 AP = PC × (PC + 2r ) 解得 r=9．再根据OA∥CD得，从而CD 试题解析：设⊙O 半径为 r，由切割线定理得 AP = PC × (PC + 2r )‎ 即12 = 6 ´ (6 + 2r ) ，解得 r=9．…………………………………………4 分 连结 OA，则有 OA ^ AP ，‎ 又 CD ^ AP ，所以 OA∥CD．…………………………………………7 分 所以,即 CD cm．………………10 分 考点：切割线定理 ‎10．选修4—1：几何证明选讲 ‎ 已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是的平分线，是下半圆的中点.‎ 求证：直线PC经过点.‎ ‎ ‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ ‎ ‎ 考点：等弧对应等角 ‎11．如图，，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点，若， ，求的长.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：相交弦定理的直接应用.‎ 试题解析：为中点，，， ………5分 又，由，得. ………10分 ‎12．如图，点为锐角的内切圆圆心，过点作直线的垂线，垂足为，圆与边相切于点．若，求的度数．‎ ‎ ‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：可判断四点共圆，得，问题转化为求的度数，而，从而问题得以解决.‎ 试题解析：由圆与边相切于点，得，因为，得，‎ 所以四点共圆,所以． ……………………………………5分 又， ‎ 所以，由，得．……………10分 ‎13.如图，MN为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A，B，C，D，E，求证：AB·CD = BC·DE．‎ ‎ ‎ ‎【答案】详见解析 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等,得，利用等量代换，得到结合要证的结论，将转化为变形即得结论.‎ 试题解析：证明:由相交弦定理,得 ‎……………3分 即……………6分 也即 ‎……………10分 ‎14如图,已知与圆相切于点,直径,连接交于点 ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求证:.‎ ‎ ‎ ‎【答案】证明:(Ⅰ)解法一: ‎ ‎∵PA与圆O相切于点A,∴ ‎ ‎∵BC是圆O的直径,∴ ‎ ‎∴∵,∴ [来源:]‎ 又∵∴ ‎ ‎∴PA=PD ‎ 解法二: ‎ 连接OA ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【名师原创测试篇】‎ ‎1.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。‎ ‎ （I）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎ （II）若的值.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分 ‎∴OD//AE 又AE⊥DE …………………………………3分 ‎∴OE⊥OD，又OD为半径 ‎ ‎∴DE是的⊙O切线 ………………………5分 ‎ （II）解：过D作DH⊥AB于H， ‎ 则有∠DOH=∠CAB ‎ ‎ …………6分 设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，‎ ‎ ‎ 由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x ……………8分 又由△AEF∽△DOF 可得 ‎ ……………………………………………………10分 ‎2.如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.‎ ‎(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;‎ ‎(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解析：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,所以 ‎∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,‎ 故∠EFA=∠CFE=90°.‎ 所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.‎ (2) 连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.‎ ‎3.如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，点F在DG的延长线上，且DG=GF．求证：‎ ‎（1）D、E、C、F四点共圆； ‎ ‎（2）GE⊥AB．‎ ‎．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）延长GE交AB于H． ∵GD=GC=GF，∴点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心． ∴GE=GC，∴∠GCE=∠GEC． 又∵∠GCE+∠3=90°，∠1=∠3， ∴∠GEC+∠3=90°，∴∠AEH+∠1=90°， ∴∠EHA=90°，即GE⊥AB．‎ ‎4.如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：‎ ‎ (1)AC·BD＝AD·AB；‎ ‎ (2)AC＝AE.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解析：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.‎ 从而＝，即AC·BD＝AD·AB.‎ ‎(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD.‎ 又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而＝，即AE·BD＝AD·AB.‎ 由结合(1)的结论知，AC＝AE.‎ ‎5.如图,的半径垂直于直径,为上一点,的延长线交于点, 过点的切线交的延长线于点.‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1)连结ON.因为PN切⊙O于N,所以, ‎ ‎ ‎ 所以. ‎ 因为,所以. ‎ 因为于O,所以, ‎ 所以,所以. ‎ 所以 ‎ ‎(2),,. ‎ 因为, ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎