【数学】2018届一轮复习北师大版第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入学案

【数学】2018届一轮复习北师大版第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入学案

第1课时　平面向量的线性运算与基本定理 ‎1．向量的有关概念 ‎(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．‎ ‎(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．‎ ‎(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．‎ ‎(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．‎ ‎(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．‎ ‎2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：‎ a＋b＝b＋a；‎ 结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝‎ a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；‎ 的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.‎ ‎4．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎5．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：‎ a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.‎ ‎6．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎7．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(√)‎ ‎(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(×)‎ ‎(3)＝－.(√)‎ ‎(4)向量a－b与b－a是相反向量．(√)‎ ‎(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.(×)‎ ‎(6)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)‎ ‎(7)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(√)‎ ‎(8)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(×)‎ ‎(9)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ‎1a＋μ1b＝λ‎2a＋‎ μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)‎ 考点一　平面向量的概念 命题点 判断有关向量的模、方向、相等、共线、单位向量等概念 ‎[例1]　给出下列命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；‎ ‎③若a＝b，b＝c，则a＝c；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ 第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入大一轮复习　数学(理)A.②③　　　　　　　　B．①②‎ C．③④ D．①④‎ 解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．‎ ‎②正确．∵＝，∴||＝||且∥.‎ 又A，B，C，D是不共线的四点，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形；‎ 反之，若四边形ABCD为平行四边形，‎ 则∥且||＝||，因此，＝.‎ ‎③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，‎ 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，‎ ‎∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.‎ ‎④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.‎ 答案：A ‎[方法引航]　(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.‎ (2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.‎ (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.‎ (4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量.‎ 给出下列命题：‎ ‎①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；‎ ‎②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；‎ ‎③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；‎ ‎④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中错误命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．‎ ‎②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．‎ ‎③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.‎ ‎④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故选C.‎ 答案：C 考点二　平面向量基本定理与线性运算 命题点 ‎1.利用基本定理进行线性运算 ‎2.利用基本定理求参数 ‎3.利用向量线性运算研究几何性质 ‎[例2]　(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　)‎ A.a＋b　　　　　　 B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：如图，＝＋，由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝＋＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b.‎ 答案：B ‎(2)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.‎ 解析：在平行四边形中，有＝＋，因E、F分别为CD、BC的中点，‎ ‎∴＝(＋)，＝(＋)，则＋＝＝，∴＝＋，‎ ‎∴λ＝μ＝，则λ＋μ＝.‎ 答案： ‎(3)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若a＋b＋c＝0，则A＝________.‎ 解析：由G为△ABC的重心知＋＋＝0，则＝－－，因此a ＋b ＋c(－－)＝＋＝0，又，不共线，所以a－c＝b－c＝0，即a＝b＝c.由余弦定理得cos A＝＝＝，又0＜A＜π，所以A＝ ‎.‎ 答案： ‎[方法引航]　用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算.‎ ‎1．在本例(1)中已知条件不变，求用a和b表示．‎ 解：∵ABCD为平行四边形，∴ ‎∴＝(a－b)．‎ 由题意得＝＝＝(a－b)．‎ ‎2．若将本例(2)改为：如图所示，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x·＋y·，则3x－2y＝________.‎ 解析：＝＋＝＋又E为BC的中点．‎ ‎∴＝(＋)＝＋，‎ 根据平面向量的基本定理，知y＝，x＝，‎ 所以3x－2y＝3×－2×＝1.‎ 答案：1‎ ‎3．将本例(3)改为：若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3‎ eq o(AC,sup6(→))，则△ABM与△ABC的面积比为________．‎ 解析：设AB的中点为D，由5 ＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.‎ 如图所示．‎ 故C，M，D三点共线，且＝.‎ 所以△ABM与△ABC的面积之比为.‎ 答案： 考点三　平面向量基本定理与坐标运算 命题点 ‎1.已知点的坐标求向量坐标 ‎2.已知向量坐标进行向量坐标运算 ‎[例3]　(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a－b　　　　 B．－a＋b C．－a＋b D.a＋b 解析：根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形，由CD＝1，得CE＝ED＝，则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D，‎ ‎∴＝(－1,0)，＝(－1,1)，＝，令＝λ＋μ，‎ 则有，得，‎ ‎∴＝－a＋b.‎ 答案：B ‎(2)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则‎2a－b＝(　　)‎ A．(5,7)　　　　　　　　 B．(5,9)‎ C．(3,7) D．(3,9)‎ 解析：由a＝(2,4)知‎2a＝(4,8)，‎ 所以‎2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)．‎ 答案：A ‎1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.∵A(1,3)，B(4，－1)，‎ ‎∴＝(3，－4)，∴||＝5，‎ ‎∴与同向的单位向量为＝.‎ ‎2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)则c＝(　　)‎ A．－a＋b B.a－b C.a－b D．－a＋b 解析：选B.设c＝λ‎1a＋λ2b，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，‎ ‎∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝，λ2＝－，‎ 所以c＝a－b.‎ 考点四　向量共线问题 命题点 ‎1.判定向量共线 ‎2.利用向量共线求参数 ‎3.三点共线与向量 ‎[例4]　(1)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)‎ A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)‎ B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)‎ C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)‎ 解析：由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2.‎ 答案：B ‎(2)(2016·高考全国甲卷)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.‎ 解析：∴a＝(m,4)，b=(3，－2)，a∥b，－‎2m－12＝0，所以m＝－6.‎ 答案：－6‎ ‎(3)已知△ABC的三个顶点A，B，C及所在平面内一点P满足＋＋＝ ‎，则点P与△ABC的关系为(　　)‎ A．P在△ABC内部　　　　 B．P在△ABC外部 C．P在边AB上 D．P在边AC上 解析：由＋＋＝＝－，得2＋＝0，∴＝2，即∥，∴C、P、A三点共线．‎ 答案：D ‎[方法引航]　(1)两向量平行的充要条件,若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.‎ (2)三点共线的判断方法,判断三点是否共线，先求由三点组成的任意两个向量，然后再按两向量共线进行判定.‎ ‎1．若在本例(1)中，A，B，C，D的四组向量e1＋e2与e2同向的有哪些．‎ 解：由题意可知A，C，D中都是e1∥e2‎ A组e1＋e2＝(1,2)＝e2，C组e1＋e2＝(3,5)＋(6,10)＝(9,15)＝(6,10)，D组e1＋e2＝0，故与e2同向的有A，C，D.‎ ‎2．已知b＝(3，－2)求使a∥b，且|a|＝13时a的值．‎ 解：设a＝λb＝(3λ，－2λ)‎ ‎∴|a|＝＝＝13，‎ ‎∴|λ|＝13，|λ|＝，∴λ＝±.‎ ‎∴a＝(3，－2)，或a＝－(3，－2)‎ ‎3．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ 解析：选D.＝－＝(a，－1)－(1，－2)＝(a－1,1)，‎ ＝－＝(－b,0)－(1，－2)＝(－b－1,2)，‎ ‎∵A，B，C三点共线，∴∥，‎ ‎∴2(a－1)＝－b－1，∴‎2a＋b＝1.‎ ‎∴＋＝(‎2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋‎ ‎2＝8，‎ 当且仅当＝即‎2a＝b＝时，取等号．‎ ‎[思想方法]‎ 用函数与方程思想求解向量的线性运算 ‎[典例]　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．‎ ‎[解]　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则A(1,0)，B，‎ 设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α)，‎ 由＝x＋y，‎ 得，‎ 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，‎ 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，‎ 又α∈，‎ 所以当α＝时，x＋y取得最大值2.‎ ‎[回顾反思]　根据向量相等，建立实数方程(组)，把变量表示为函数求最值．‎ ‎[高考真题体验]‎ ‎1．(2014·高考广东卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝(　　)‎ A．(－2,1)　　　　　　　　 B．(2，－1)‎ C．(2,0) D．(4,3)‎ 解析：选B.由于a＝(1,2)，b＝(3,1)，于是b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，选B.‎ ‎2．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4) B．(7,4)‎ C．(－1,4) D．(1,4)‎ 解析：选A.设C(x，y)，∵A(0,1)，＝(－4，－3)，‎ ‎∴解得∴C(－4，－2)，又B(3,2)，‎ ‎∴＝(－7，－4)，选A.‎ ‎3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 解析：选A.由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋，故选A.‎ ‎4．(2016·高考北京卷)设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D.取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|‎2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.‎ ‎5．(2015·高考课标全国Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.‎ 解析：由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝.‎ 答案： ‎6．(2015·高考北京卷)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.‎ 解析：由题中条件得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.‎ 答案：　－ 课时规范训练 A组　基础演练 ‎1．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．3‎ C．4 D．6‎ 解析：选B.∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.‎ ‎2．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则等于(　　)‎ A．(－2，－4) B．(2,4)‎ C．(6,10) D．(－6，－10)‎ 解析：选A.由于＝(2,3)，＝(4,7)，‎ 所以＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．‎ ‎3．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　)‎ A．(－2,7) B．(－6,21)‎ C．(2，－7) D．(6，－21)‎ 解析：选B.＝3＝3(2－)‎ ‎＝6－3＝(6,30)－(12,9)‎ ‎＝(－6,21)‎ ‎4．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝(　　)‎ A.－ B.＋ C.＋ D.－ 解析：选D.在△CEF中，＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为 BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－，故选D.‎ ‎5．已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于(　　)‎ A．a B．b C．c D．0‎ 解析：选D.∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ‎1c.①‎ 又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ‎2a.②‎ 由①得：b＝λ‎1c－a.‎ ‎∴b＋c＝λ‎1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ‎2a.‎ ‎∴，即，‎ ‎∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.‎ ‎6．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(‎2a＋b)∥(a－mb)，则m＝(　　)‎ A．－ B. C．2 D．－2‎ 解析：选A.∵a＝(1,2)，b＝(－3,0)，‎ ‎∴‎2a＋b＝(－1,4)，a－mb＝(1＋‎3m,2)，‎ 又∵(‎2a＋b)∥(a－mb)，‎ ‎∴－1×2－4(1＋‎3m)＝0，∴m＝－.‎ ‎7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)‎ A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析：选A.由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.‎ ‎8．若a，b为已知向量，且(‎4a－‎3c)＋3(‎5c－4b)＝0，则c＝________.‎ 解析：(‎4a－‎3c)＋3(‎5c－4b)＝0，则a－‎2c＋‎15c－12b＝0，∴‎13c＝12b－a，∴c＝b－a.‎ 答案：b－a ‎9．设向量a，b不共线，且＝k‎1a＋k2b，＝h‎1a＋h2b，若＋＝ma＋nb，则实数m＝________，n＝________.‎ 解析：＋＝(k1＋h1)a＋(k2＋h2)b＝ma＋nb，由平面向量基本定理知m＝k1＋h1，n＝k2＋h2.‎ 答案：k1＋h1　k2＋h2‎ ‎10．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝‎2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．‎ 解析：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝‎2a－b，‎ 所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，‎ v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，‎ 又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，‎ 即10x＝5，解得x＝.‎ 答案： B组　能力突破 ‎1．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，则“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的(　　)‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.若a＝(4,2)，则|a|＝2，且a∥b都成立；‎ 因a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2，知 ‎4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2，‎ ‎∴a＝(4,2)或a＝(－4，－2)．‎ 因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件．‎ ‎2．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为(　　)‎ A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1‎ C．λμ＝－1 D．λμ＝1‎ 解析：选D.∵A、B、C三点共线，‎ ‎∴存在实数t，满足＝t，‎ 即λa＋b＝ta＋μtb，又a，b是不共线的向量，‎ ‎∴，∴λμ＝1.‎ ‎3．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是(　　)‎ A. B. C．－3 D．0‎ 解析：选D.∵＝＝(－)‎ ‎＝－ 又＝r＋s，∴r＝，s＝－，‎ ‎∴r＋s＝0，故选D.‎ ‎4．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．‎ 解析：若点A，B，C能构成三角形，‎ 则向量，不共线．‎ ‎∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.‎ 答案：k≠1‎ ‎5．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：‎ ‎(1)|a＋3b|；‎ ‎(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？‎ 解：(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，‎ 所以a＋3b＝(7,3)，‎ 故|a＋3b|＝＝.‎ ‎(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，‎ 因为ka－b与a＋3b平行，‎ 所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－.‎ 此时ka－b＝(k－2，－1)＝，‎ a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，‎ 即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．‎ 第2课时　平面向量的数量积及应用 ‎1．平面向量的数量积 ‎(1)向量的夹角 ‎①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．‎ ‎②范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.‎ ‎③共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ ‎＝90°，则a与b垂直．‎ ‎(2)平面向量的数量积 ‎①定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.‎ ‎②几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．‎ ‎2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．‎ ‎(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.‎ ‎(2)模：|a|＝＝.‎ ‎(3)夹角：cos θ＝＝.‎ ‎(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.‎ ‎3．平面向量数量积的运算律 ‎(1)a·b＝b·a(交换律)．‎ ‎(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．‎ ‎4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)‎ ‎(3)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.(×)‎ ‎(4)两向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(×)‎ ‎(5)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(×)‎ ‎(6)(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)‎ ‎(7)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(×)‎ ‎(8)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形．(×)‎ ‎(9)因|e|＝1，故a·e＝e·a＝1.(×)‎ ‎(10)在△ABC中，与的夹角为内角B.(×)‎ 考点一　平面向量数量积的运算 命题点 ‎1.用数量积的定义运算数量积 ‎2.用坐标计算数量积 ‎3.用向量的射影计算数量积 ‎[例1]　(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)‎ A．－16　　　　　　　　　　　 B．－8‎ C．8 D．16‎ 解析：法一：·＝(－)·(－)＝－·＋2＝16.‎ 法二：∵在方向上的投影是AC，∴·＝||2＝16.‎ 答案：D ‎(2)(2017·河北石家庄质检)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则·的最大值为________．‎ 解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则E，设F(x，y)，则，·＝2x＋y，‎ 令z＝2x＋y，当z＝2x＋y过点C(2,1)时，·取最大值.‎ 答案： ‎[方法引航]　根据平面向量的数量积的定义计算几何图形中的数量积a·b，有以下几种思路：‎ (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算.‎ (2)第一，根据图形之间的关系，用模和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b；第二，根据平面向量的数量积的定义进行计算求解.‎ (3)若有垂直条件，可建立直角坐标系，用坐标计算.‎ ‎1．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.因为＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，且·＝－，∴[(1－λ)－](λ－)＝－，‎ ‎∴(1－λ)λ·－λ2－(1－λ)2＋·＝－.‎ ‎∴(λ－λ2)2×2cos 60°－4λ－4(1－λ)＋2＝－ ‎△ABC是等边三角形，所以得4λ2－4λ＋1＝0，解得λ＝，故选A.‎ ‎2．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．‎ 解析：法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)， ‎＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.‎ 因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，‎ 故·的最大值为1.‎ 法二：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，‎ ‎∴·＝||·1＝1，‎ 当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，∴(·)max＝||·1＝1.‎ 答案：1　1‎ 考点二　平面向量的夹角与垂直问题 命题点 ‎1.求向量的夹角 ‎2.研究向量的垂直 ‎[例2]　(1)(2016·高考全国丙卷)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A．30°　　　　　　　　 B．45°‎ C．60° D．120°‎ 解析：由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝＝＝ ‎，则∠ABC＝30°.‎ 答案：A ‎(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ 解析：由⊥知·＝0，‎ 即·＝(λ＋)·(－)‎ ‎＝(λ－1)·－λ2＋2‎ ‎＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.‎ 答案： ‎1．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选D.由题意可做图如下，设＝b，＝a，结合向量的几何意义可知∠ABD＝∠CAB＝，‎ 故向量a＋b与a－b的夹角为与的夹角π.‎ ‎2．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(‎2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)‎ A．－ B．0‎ C．3 D. 解析：选C.因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以‎2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)．因为(‎2a－3b)⊥c，‎ 所以(‎2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.‎ 考点三　平面向量的模及其应用 命题点 ‎1.利用数量积求模 ‎2.求模的最值 ‎[例3]　(1)(2017·河北衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|‎4a－b|＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．6‎ C．2 D．12‎ 解析：|‎4a－b|2＝‎16a2＋b2－‎8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12.‎ ‎∴|‎4a－b|＝2.‎ 答案：C ‎(2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是________．‎ 解析：设D(x，y)，则(x－3)2＋y2＝1，＋＋＝(x－1，y＋)，故|＋＋|＝，|＋＋|的最大值即为圆(x－3)2＋y2＝1上的点到点(1，－)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心到点(1，－)的距离加上圆的半径，即＋1＝＋1，最小值为－1＝－1，故取值范围为[－1，＋1]．‎ 答案：[－1，＋1]‎ ‎[方法引航]　利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝ (a·a).‎ (2)|a±b|＝.‎ (3)若|a|＝r，a＝(x，y)则x2＋y2＝r2.‎ ‎1．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝‎2a＋2b，＝‎2a－6b，D为BC中点，则||等于(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．4‎ C．6 D．8‎ 解析：选A.因为＝(＋)＝(‎2a＋2b＋‎2a－6b)＝‎2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.‎ ‎2．(2017·山西四校联考)已知向量p＝(2，－1)，q＝(x,2)，且p⊥q，则|p＋λq|的最小值为________．‎ 解析：p·q＝(2，－1)·(x,2)＝2x－2＝0，从而x＝1，‎ ‎∴p＋λq＝(2，－1)＋λ(1,2)＝(2＋λ，2λ－1)，|p＋λq|＝＝≥，∴最小值为.‎ 答案： ‎[易错警示]‎ 数量积的正负与向量夹角关系不清 ‎[典例]　已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若向量λa＋b与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．‎ ‎[正解]　依题意，(λa＋b)·(a＋λb)＝λa2＋λb2＋(λ2＋1)a·b＞0，即4λ2＋18λ＋4＞0，由此解得λ＞或λ＜.注意到当λa＋b与a＋λb同向共线时，λ＝1，(λa＋b)·(a＋λb)＞0.因此，所求的实数λ的取值范围是λ＞或λ＜ 且λ≠1.‎ ‎[答案]　∪∪(1，＋∞)‎ ‎[易误]　此题易忽略λ＝1时，有λa＋b与a＋λb同向．‎ ‎[警示]　向量数量积正负与向量夹角是钝角、锐角不等价，如：m·n＞0时，其〈m，n〉可为锐角，也可为0，m·n＜0，其〈m，n〉可为钝角，也可为π.此类题要考虑m与n共线情况．‎ 即：(1)向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且向量a，b不共线．‎ ‎(2)向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且向量a，b不共线．‎ ‎[高考真题体验]‎ ‎1．(2016·高考全国甲卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A．－8　　　　　　　　　 B．－6‎ C．6 D．8‎ 解析：选D.由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D.‎ ‎2．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(‎2a＋b)·a＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ 解析：选C.a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(‎2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.‎ ‎3．(2016·高考全国乙卷)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.‎ 解析：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2得a⊥b，则m＋2＝0，所以m＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋ ‎)，则与的夹角为________．‎ 解析：＝(＋)，∴O为BC的中点，即BC为直径，∴∠BAC＝，∴〈·〉＝.‎ 答案： ‎5．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.‎ 解析：以A为原点，AB为x轴．AD为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，‎ 则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，∴＝(1,2)，＝(－2,2)，‎ ‎∴·＝(1,2)·(－2,2)＝－2＋4＝2.‎ 答案：2‎ ‎6．(2012·高考课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|‎2a－b|＝，则|b|＝________.‎ 解析：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，‎ ‎∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|，‎ ‎|‎2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.‎ 答案：3 课时规范训练 A组　基础演练 ‎1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(‎2a－b)·b＝(　　)‎ A．－1　　　　　　　　　　 B．0‎ C．1 D．2‎ 解析：选B.(‎2a－b)·b＝‎2a·b－b2＝2|a|·|b|·cos〈a，b〉－|b|2＝2×1×1×cos 60°－1＝0.‎ ‎2．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　)‎ A．2 B. C．0 D．－ 解析：选B.a·b＝|a||b|cos ，则3＋m＝2··.(＋m)2＝9＋m2，解得m＝.‎ ‎3．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)‎ A. B. C．2 D．10‎ 解析：选B.∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝.‎ ‎4．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.|a＋2b|2＝a2＋‎4a·b＋4b2＝1＋4×＋4＝3，∴|a＋2b|＝.‎ ‎5．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则a·b等于(　　)‎ A．－10 B．－6‎ C．0 D．6‎ 解析：选A.由a∥b得2x＝－4，x＝－2，‎ 故a·b＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.‎ ‎6．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.‎ 解析：由a＝(－2，－6)，得|a|＝2，则a·b＝|a||b|cos 60°＝2··＝10.‎ 答案：10‎ ‎7．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.‎ 解析：∵m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，‎ 又(m＋n)⊥(m－n)，‎ ‎∴(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝0，‎ 从而λ＝－3.‎ 答案：－3‎ ‎8．在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________．‎ 解析：已知A＝，由题意得||||cos ＝tan，||||＝，所以△ABC的面积S＝||||sin＝××＝.‎ 答案： ‎9．已知向量a＝(4,5cos α)，b＝(3，－4tan α)，α∈，a⊥b，求：‎ ‎(1)|a＋b|；‎ ‎(2)cos的值．‎ 解：(1)因为a⊥b，所以a·b＝4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，‎ 解得sin α＝.‎ 又因为α∈，‎ 所以cos α＝，tan α＝＝，‎ 所以a＋b＝(7,1)，‎ 因此|a＋b|＝＝5.‎ ‎(2)cos＝cos αcos－sin αsin ‎＝×－×＝.‎ ‎10．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量m＝(2sin B，－)，n＝(cos 2B,2cos2－1)，且m∥n.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．‎ 解：(1)m∥n⇒2sin B·＋cos 2B＝0⇒sin 2B＋cos 2B＝0⇒2sin＝0(B为锐角)‎ ‎⇒2B＝⇒B＝.‎ ‎(2)cos B＝⇒ac＝a2＋c2－4≥‎2ac－4⇒ac≤4.‎ S△ABC＝a·c·sin B≤×4×＝.‎ B组　能力突破 ‎1．已知△ABC中，·＋2＝0，则△ABC的形状是(　　)‎ A．钝角三角形　　　　　　 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 解析：选D.·＋2＝0化为·(＋)＝0，即·＝0，所以⊥.‎ 所以△ABC为直角三角形．‎ 又根据条件，不能得到||＝||.‎ ‎2．已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O.若||＝||，且2＋＋＝0，则·等于(　　)‎ A. B．2 C. D．3‎ 解析：选D.因为2＋＋＝0，所以(＋)＋(＋)＝0，即＋＝0，所以O为BC 的中点，故△ABC为直角三角形，∠A为直角，又|OA|＝|AB|，则△OAB为正三角形，||＝，||＝1，与的夹角为30°，由数量积公式可知选D.‎ ‎3．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，则在方向上的投影为(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D．3‎ 解析：选C.如图，设D为BC的中点，由＋＋＝0，‎ 得＝2，‎ ‎∴A、O、D共线且||＝2||，‎ 又O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线，‎ ‎∴||＝||＝||＝2，||＝1，‎ ‎∴||＝，∴在方向上的投影为.‎ ‎4．已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．‎ 解析：由a·b＜0，即2λ－3＜0，解得λ＜，由a∥b得：‎ ‎6＝－λ，即λ＝－6.因此λ＜，且λ≠－6.‎ 答案：(－∞，－6)∪ ‎5．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ 解：(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，‎ ‎|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，‎ 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.‎ 又x∈，从而sin x＝，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ‎＝sin 2x－cos 2x＋ ‎＝sin＋.‎ 当x＝∈时，sin取最大值1.‎ 所以f(x)的最大值为.‎ 第3课时　数系的扩充与复数的引入 ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的定义 形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.‎ ‎(2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)‎ ‎(3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r ‎≥0，a、b∈R)．‎ ‎2．复数的几何意义 ‎(1)复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．‎ ‎(2)实轴、虚轴 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．‎ ‎(3)复数的几何表示 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量.‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：‎ ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎(3)复数乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.‎ ‎4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时复数z为纯虚数．(×)‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(×)‎ ‎(3)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)‎ ‎(4)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.(×)‎ ‎(5)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(×)‎ ‎(6)两个复数的积与商一定是虚数．(×)‎ ‎(7)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．(√)‎ ‎(8)复数z＝3－2i对应点的坐标为(3，－2i)．(×)‎ ‎(9)对应的复数就是点B对应的复数．(×)‎ ‎(10)虚数可以构成等比数列且通项公式、前n项的公式都适合．(√)‎ 考点一　复数的概念 命题点 ‎1.复数的分类问题：实数、虚数、纯虚数 ‎2.共轭复数问题 ‎3.复数的模问题 ‎ [例1]　(1)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝‎0”‎是“复数a＋为纯虚数”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若ab＝0，则当a＝1，b＝0时，a＋是实数，不是纯虚数，若a＋是纯虚数，由a＋＝a－bi知a＝0，b≠0，∴ab＝0，因此“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．‎ 答案：B ‎(2)(2016·高考全国甲卷)设复数z满足z＋i＝3－i，则＝(　　)‎ A．－1＋2i B．1－2i C．3＋2i D．3－2i 解析：由z＋i＝3－i得z＝3－2i，所以＝3＋2i.‎ 答案：C ‎(3)(2016·高考全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 解析：因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，‎ 又∵x，y∈R所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，选B.‎ 答案：B ‎[方法引航]　有关复数的概念问题，一般涉及到复数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数等，解决时，一定先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定其实部和虚部.‎ ‎1．本例(1)中“ab＝‎0”‎是2为实数的什么条件？‎ 解：2＝(a－bi)2＝a2－b2－2abi 若ab＝0，2为实数，反之成立．‎ 所以ab＝0是2为实数的充要条件．‎ ‎2．若本例(2)改为设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则＝(　　)‎ A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i 解析：选B.(z－2i)(2－i)＝5，则z＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.∴＝2－3i.‎ ‎3．本例(3)改为已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则|(a＋bi)2|＝________.‎ 解析：由复数相等可得a＝2，b＝－1，则(2－i)2＝3－4i.‎ ‎∴|(a＋bi)2|＝|3－4i|＝5.‎ 答案：5‎ 考点二　复数的代数运算 命题点 ‎1.直接根据复数的运算法则进行运算 ‎2.利用待定系数求复数 ‎[例2]　(1)(2016·高考全国丙卷)若z＝1＋2i，则＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B．－1‎ C．i D．－i 解析：＝＝i.‎ 答案：C ‎(2)i为虚数单位，2＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．i D．－i 解析：2＝＝＝－1.‎ 答案：B ‎(3)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则(a＋bi)·i2的共轭复数是________．‎ 解析：∵(a＋i)(1＋i)＝bi(a，b∈R)，∴(a－1)＋(a＋1)i＝bi，∴解得 ‎∴(a＋bi)·i2＝(1＋2i)·(－1)＝－1－2i.‎ 因此(a＋bi)·i2的共轭复数为－1＋2i.‎ 答案：－1＋2i ‎(4)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z·i＋2＝2z，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝‎2a＋2bi，由复数相等的条件得得∴z＝1＋i.‎ 答案：A ‎[方法引航]　(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.‎ (2)记住以下结论，可提高运算速度，‎ ‎①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).‎ ‎1．若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则·＝________.‎ 解析：∵z＝1＋2i，∴＝1－2i，‎ 所以·＝z·＋1＝5＋1＝6.‎ 答案：6‎ ‎2．若复数z满足|z|－zi＝3＋i，求z.‎ 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)∴－(a＋bi)·i＝3＋i ‎∴ ‎∴a＝－1，＝3－b，∴1＋b2＝9－6b＋b2，∴b＝ ‎∴z＝－1＋i.‎ 考点三　复数的几何意义 命题点 ‎1.求复数对应点的象限位置 ‎2.求点对应的复数 ‎[例3]　(1)若a，b∈R，i是虚数单位，且a＋(b－1)i＝1＋i，则对应的点在(　　)‎ A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由a＋(b－1)i＝1＋i，a，b∈R，‎ 得a＝1且b－1＝1，所以a＝1，且b＝2.‎ 因此＝＝＝2－i.‎ ‎∴复数对应点(2，－1)在第四象限．‎ 答案：D ‎(2)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)‎ A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 解析：因为＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.‎ 答案：D ‎[方法引航]　因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.‎ ‎1．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数 的点是(　　)‎ A．E B．F C．G D．H 解析：选D.由题图知复数z＝3＋i，‎ ‎∴＝＝＝＝2－i.‎ ‎∴表示复数的点为H.‎ ‎2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)‎ A．－5 B．5‎ C．－4＋i D．－4－i 解析：选A.∵z1＝2＋i在复平面内的对应点为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，‎ 则z2的对应点的坐标为(－2,1)，即z2＝－2＋i，‎ ‎∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.‎ ‎[易错警示]‎ 复数代数运算的转化方法——实数化 ‎[典例1]　(2015·高考课标卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)‎ A．－1　　　　　　　　 B．0‎ C．1 D．2‎ ‎[解析]　∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，‎ ‎∴‎4a＋(a2－4)i＝－4i.‎ ‎∴解得a＝0.故选B.‎ ‎[答案]　B ‎[典例2]　(2015·高考江苏卷)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．‎ ‎[解析]　法一：z2＝3＋4i＝4＋4i＋i2＝(2＋i)2，‎ 所以z＝2＋i或z＝－2－i，‎ 即|z|＝＝.‎ 法二：令z＝a＋bi(a，b∈R)，‎ z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i.‎ 由两复数相等的判定条件知 ∴或，‎ 所以z＝2＋i或z＝－2－i，‎ 即|z|＝＝.‎ 法三：|z2|＝|3＋4i|＝5.‎ 又∵|z2|＝|z|2＝5，∴|z|＝.‎ ‎[答案]　 ‎[回顾反思]　‎ 求解复数问题，就是利用复数相等转化为实数问题，典例2中的方法一采用了配方法，方法三利用了模的性质|z1·z2|＝|z1|·|z2|，||＝，|z2|＝|z|2.‎ 课时规范训练 A组　基础演练 ‎1．(2016·高考四川卷)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　 B．2‎ C．2i D．2＋2i 解析：选C.(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.‎ ‎2．(2016·高考北京卷)复数＝(　　)‎ A．i B．1＋i C．－i D．1－i 解析：选A.＝＝＝i.‎ ‎3．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)‎ A．5 B. C．3 D. 解析：选A.因为z＝2－i，所以＝2＋i ‎∴z·＝(2－i)(2＋i)＝4－i2＝5.‎ ‎4．若复数的实部与虚部相等，则实数b等于(　　)‎ A．3 B．1‎ C. D．－ 解析：选A.依题意得 ＝＝，‎ ‎∴＝，解得b＝3.‎ ‎5．设复数z＝＋i，则＝(　　)‎ A．z B. C．－z D．－ 解析：选D.由题意得，＝－i，‎ ‎∴＝＝＝＝－＋i ‎＝－.‎ ‎6．已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为(　　)‎ A．1 B．i C. D．0‎ 解析：选A.由＝＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其虚部为1.‎ ‎7．复数z＝(i为虚数单位)，则|z|等于(　　)‎ A．25 B. C．5 D. 解析：选C.z＝＝－4－3i，‎ 所以|z|＝＝5.‎ ‎8．复数的共轭复数是(　　)‎ A．－i B.i C．－i D．i 解析：选C.法一：∵＝＝＝i，‎ ‎∴的共轭复数为－i.‎ 法二：∵＝＝＝i.‎ ‎∴的共轭复数为－i.‎ ‎9．若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝‎1”‎是“z1＝z‎2”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选A.由，解得m＝－2或m＝1，‎ 所以“m＝1”是“z1＝z‎2”‎的充分不必要条件．‎ ‎10．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：选D.由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D.‎ B组　能力突破 ‎1．i是虚数单位，若z(i＋1)＝i，则|z|等于(　　)‎ A．1 B. C. D. 解析：选C.由题意知z＝＝＝，|z|＝，故选C.‎ ‎2．已知集合M＝，i是虚数单位，Z为整数集，则集合Z∩M中的元素个数是(　　)‎ A．3 B．2‎ C．1 D．0‎ 解析：选B.由已知得M＝{i，－1，－i,2}，Z为整数集，‎ ‎∴Z∩M＝{－1,2}，即集合Z∩M中有2个元素．‎ ‎3．i是虚数单位，复数＝________.‎ 解析：＝＝＝1－i.‎ 答案：1－i ‎4．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________.‎ 解析：由已知得，a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.‎ 答案：3＋4i ‎5．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：z＝(‎3m－2)＋(m－1)i，其对应点(‎3m－2，m－1)，在第三象限内，故‎3m－2＜0且m－1＜0，∴m＜.‎ 答案：m＜ ‎6．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.‎ 解析：法一：根据题意z＝＝－＋i，‎ 则＝－－i，所以z·＝·＝＋＝.‎ 法二：z·＝|z|2＝2＝ ‎＝＝＝.‎ 答案： 专题测试三　平面向量 ‎(时间90分钟，满分100分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．给出下列命题：‎ ‎①零向量的长度为零，方向是任意的；‎ ‎②若a，b都是单位向量，则a＝b；‎ ‎③向量与向量相等；‎ ‎④若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线．‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ A．①　　　　　　　　　　 B．②‎ C．①③ D．①④‎ 解析：选A.本题考查向量的基本概念．根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可以不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；与互为相反向量，故③错误；方向相同或相反的向量为共线向量，由于与无公共点，所以A，B，C，D四点不一定共线，故④错误．‎ ‎2.在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝(　　)‎ A.b－c B.c－b C.b＋c D.b＋c 解析：选C.因为＝2，所以－＝2(－)，得3＝＋2＝c＋2b，即＝c＋b.‎ ‎3．设向量a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)‎ A．(－15,12) B．－11‎ C．－1 D．－3‎ 解析：选D.本题考查向量数量积的坐标运算．依题意知，a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，∴a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)．∵c＝(3,2)，∴(a＋2b)·c ‎＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.‎ ‎4．在锐角三角形ABC中，已知||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．4 D．－4‎ 解析：选A.由题意得·AB·AC·sin A＝，即×4×1×sin A＝，故sin A＝.因为A为锐角，所以A＝60°，所以·＝||·||·cos A＝4×1×cos 60°＝2.‎ ‎5．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选D.由已知条件可得λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．因为向量λa＋b与a－2b垂直，所以(λa＋b)·(a－2b)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.‎ ‎6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝(　　)‎ A.＋ B．－－ C．－＋ D.－ 解析：选D.因为点E是CD的中点，所以＝.‎ 因为点F是BC的中点，所以＝＝－.所以＝＋＝－.‎ ‎7．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，‎ 即b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理得cos C＝，又0＜C＜π，∴C＝.‎ ‎8．已知非零向量a，b，使得|a－b|＝|a|＋|b|成立的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．a∥b B．a＋2b＝0‎ C.＝ D．a＝b 解析：选B.|a－b|＝|a|＋|b|成立，其充要条件是向量a，b共线且方向相反．当a＋2b＝0时，a＝－2b，|a－b|＝|a|＋|b|成立；反之，不成立．‎ ‎9．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝(　　)‎ A．－8 B．8‎ C．－8或8 D．6‎ 解析：选B.由题意知a·b＝2×5cos θ＝－6，解得cos θ＝－.由0≤θ≤π，得sin θ＝.所以|a×b|＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×＝8.‎ ‎10．已知O为平面上的一个定点，A，B，C是该平面上不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是(　　)‎ A．以AB为斜边的直角三角形 B．以BC为斜边的直角三角形 C．以BC为底边的等腰三角形 D．以AB为底边的等腰三角形 解析：选C.本题考查平面向量的数量积及应用．由题意知(－)·(＋－2)＝·(＋)＝0.如图所示，取点D为线段BC的中点，则＋＝2，所以AD⊥BC，即AD是BC的中垂线，所以AB＝AC，即△ABC是以BC为底边的等腰三角形．‎ ‎11．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于(　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ 解析：选A.∵|a|＝|b|＝1，a·b＝－，∴向量a，b的夹角为120°.如图所示，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c，∠AOB＝120°，所以∠ACB＝60°，∴∠AOB＋∠ACB＝180°，∴A，O，B，C四点共圆，不妨设为圆M.‎ ‎∵＝b－a，∴2＝a2－‎2a·b＋b2＝3，‎ ‎∴||＝，由正弦定理可得△AOB的外接圆即圆M的直径2R＝＝2，∴当||为圆M的直径时，|c|取得最大值2.‎ ‎12．给出下列命题：‎ ‎①对于任意两个向量a，b，均有|a|－|b|＜|a|＋|b|；‎ ‎②对于任意两个向量a，b，a－b与b－a是相反向量；‎ ‎③在△ABC中，＋－＝0；‎ ‎④在四边形ABCD中，(＋)－(＋)＝0；‎ ‎⑤在△ABC中，－＝.‎ 以上命题中所有真命题的序号是(　　)‎ A．①②③ B．②④⑤‎ C．②③④ D．②③‎ 解析：选D.①中，当b＝0时，|a|－|b|＝|a|＋|b|，∴该命题不是真命题；②中，∵(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝(a－a)＋(b－b)＝0，∴该命题是真命题；③中，∵＋－＝－＝0，∴该命题是真命题；④中，∵＋＝，＋＝，∴(＋)－(＋)＝－＝＋≠0，∴该命题不是真命题；⑤中，∵－＝＋＝≠，∴该命题不是真命题．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上．)‎ ‎13．已知向量a＝(3,4)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b，则tan 2α＝________.‎ 解析：∵a∥b，∴3cos α－4sin α＝0，∴tan α＝，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝.‎ 答案： ‎14．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.‎ 解析：由已知条件可得ma＋nb＝(‎2m,‎3m)＋(－n,2n)＝(‎2m－n,‎3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵ma＋nb与a－2b共线，∴＝，即n－‎2m＝‎12m＋8n，∴＝－.‎ 答案：－ ‎15．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ 解析：因为＝＋＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·＝||2－||2－·＝2，又||＝8，||＝5，所以·＝22.‎ 答案：22‎ ‎16．已知向量a与向量b的夹角为120°，若(a＋b)⊥(a－2b)，且|a|＝2，则b在a上的投影为________．‎ 解析：本题考查平面向量数量积的几何意义．‎ 因为向量b与向量a的夹角为120°，所以b在a上的投影为|b|cos 120°＝－|b|，问题转化为求|b|.因为(a＋b)⊥(a－2b)⇔(a＋b)·(a－2b)＝0⇔2|b|2－|b|－4＝0，故|b|＝(负值舍去)．所以b在a上的投影为－.‎ 答案：－ 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知|a|＝4，|b|＝3，(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)若c＝ta＋(1－t)b，且b·c＝0，求t及|c|.‎ 解：(1)由(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61，得a·b＝－6，‎ ‎∴cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎(2)∵b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2‎ ‎＝－15t＋9＝0，∴t＝，‎ ‎∴|c|2＝2＝，∴|c|＝.‎ ‎18．(本小题满分10分)设向量m＝(cos α，1)，n＝(sin α，2)，且m∥n，其中α∈.‎ ‎(1)求sin α；‎ ‎(2)若sin(α－β)＝，β∈，求cos β.‎ 解：(1)∵m∥n，∴2cos α＝sin α.‎ 又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋sin2α＝1，∴sin2α＝.‎ ‎∵α∈，∴sin α＞0，∴sin α＝.‎ ‎(2)∵α∈，β∈，∴－＜α－β＜.‎ ‎∵sin(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.‎ 又sin α＝，∴cos α＝.‎ ‎∴cos β＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝.‎