1-1-1正弦定理）

1-1-1正弦定理）

备课资料 一、知识总结 1.判断三角形解的方法 “已知两边和其中一边的对角”解三角形,这类问题分为一解、二解和无解三种情况.一方面,我 们可以利用课本上的几何图形加以理解,另一方面,也可以利用正弦函数的有界性进行分析. 设已知 A、B、A,则利用正弦定理 a AbB sinsin  , 如果 sinB＞1,则问题无解. 如果 sinB＝1,则问题有一解; 如果求出的sinB＜1,则可得B的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角 形有关性质进行判断. 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设 BC＝A, CA＝B,AB＝C,作 AD⊥BC,垂足为 D. 则 Rt△ADB 中, AB ADB sin , ∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S△ABC= BacADa sin2 1 2 1  . 同理,可证 S△ABC= AbcCab sin2 1sin2 1  . ∴ S△ABC= BacAbcCab sin2 1sin2 1sin2 1  . ∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以 ABC,可得 b B a A c C sinsinsin  . 即 C c B b A a sinsinsin  . 3.利用正弦定理进行边角互换 对于三角形中的三角函数,在进行恒等变形时,常常将正弦定理写成 A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC 或 sinA= R cCR bBR a 2sin,2sin,2  .（R 为△ABC 外接圆半 径） 这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换,我们将在以后具体应用. 二、典型例题 1．若△ABC 中(A2+B2)sin(A-B)=(A2-B2)sinC,则△ABC 是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 分析:运用正弦定理 A=2RsinA,B=2RsinB 以及结论 sin2A-sin2B =sin(A+B)sin(A-B), 由（A2+ B2）sin(A-B) = (A2- B2)sinC, ∴(sin2A+sin2B)sin(A-B) =(sin2A-sin2B)sinC=sin(A+B)·sin(A-B)·sinC. 若 sin(A-B)= 0,则 A = B. 若 sin(A-B)≠0,则 sin2A+sin2B=sin2CA2+B2=C2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案选 D. 2.在△ABC 中,A=45°，B∶C = 4∶5，最大边长为 10，求角 B、C,外接圆半径及面积 S. 分析：由 A+B+C=180°及 B∶C=4∶5,可得 B=4K,C=5K， 则 9K=135°，故 K=15°.那么 B=60°，C =75°. 由正弦定理 )26(575sin2 10 R , 由面积公式 32575sinsin22 1sin2 1  ABRcAbcS . 点评：求面积时 B 未知但可转化为 B=2RsinB,从而解决问题. 3.在△ABC 中,已知 A=30°，A、B 分别为角 A、B 对边，且 A=4，B=4 3 ，解此三角形. 分析：由正弦定理知 2 3sinsin 34 30sin 4 sinsin  BBB b A a . 那么 B1=60°，C1=90°，C1=8 或 B2=120°，C2=30°，C2=4. 点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角，如图可以看出满足条件的三角形有 2 个. 4.已知△ABC 的三个内角成等差数列并且 tanA·tanC =2+ 3 ,（1）求 A、B、C 的度数;（2） 若 AB 边上的高 CD=4 3 ,求三边 A、B、C 的长． 分析：（1）由 2B=A+C，得 B=60°，则 A+C=120°， 32coscos sinsin32tantan   CA CACA . 即(2+3)COsA·COsC-sinA·sinC=0  (1+ 3 )COsA·COsC+ (COsA·COsC-sinA·sinC)=0  (1+ 3 )· 2 1 ［COs(A+C)+COs(A-C)］+COs(A+C)=0  2 31 ［- 2 1 +COs(A-C)］+COs(A+C)=0.∴COs(A-C)= 2 3 . 得|A-C|=30°.又∵A+C=120°.∴A=45°,C=75°或 A=75°,C=45°. （2）如图,若 A＜B＜C,由正弦定理得 A=8，B=4 6 ，C=BCOsA+ACOsB=4( 3 +1). 同理，若 A＞B＞C 时，则 A=4(3+1)，B=46,，C =8. 点评：这类具有一定综合性的题目，恒等变形有一定的技巧.由三个角成等差得 A+C=120°, 恒等变形的目标就是寻找 A 与 C 的关系，用恒等变形的方法的观点对条件等式进行转化． 此题还可以由 tanA·tanC =2+ 3 求出 tanA+tanC =3+ 3 ，运用韦达定理解出 tanA 和 tanC, 这对综合能力的训练大有益处．