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文档介绍
专题09+函数模型及其应用-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍
专题09 函数模型及其应用 【高频考点解读】 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。 【热点题型】 热点题型一 一次函数或二次函数模型 例1、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时。研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数。 (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式。 (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值。(精确到1辆/小时)。 (2)依题意并由(1)可得 f(x)= 当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1 200; 当20<x≤200时,f(x)=x(200-x)≤2=, 当且仅当x=200-x,即x=100时, 等号成立。 所以当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值≈3 333。 综上,当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大约为3 333辆/小时。 【提分秘籍】一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查一次函数、二次函数模型。 解决此类问题应注意三点: ①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错; ②确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; ③解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题。 (2)以分段函数的形式考查。 解决此类问题应关注以下三点: ①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解; ②构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏; ③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)。 提醒:(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域。 (2)对构造的较复杂的函数模型,要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解。 【举一反三】 某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元。一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差( ) A.10元 B.20元 C.30元 D.元 解析:设A种方式对应的函数解析式为S=k1t+20, B种方式对应的函数解析式为S=k2t, 当t=100时,100k1+20=100k2, ∴k2-k1=。 当t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=10(元)。 答案:A 热点题型二 函数y=x+模型的应用 例2、某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少? 【提分秘籍】 应用函数y=x+模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=叠加而成的。 (2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+的模型,有时可以将所列函数关系式转化为f(x)=ax+的形式。 (3)利用模型f(x)=ax+求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最值时等号成立的条件。 【举一反三】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。 (1)求k的值及f(x)的表达式。 (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。 解析:(1)由已知条件得C(0)=8,则k=40, 因此f(x)=6x+20C(x)=6x+(0≤x≤10)。 (2)f(x)=6x+10+-10 ≥2-10=70(万元), 当且仅当6x+10=, 即x=5时等号成立。 所以当隔热层厚度为5 cm时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元。 热点题型三 指数函数与对数函数模型 例3.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线。 (1)写出第一次服药后,y与t之间的函数关系式y=f(t); (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗有效。求服药一次后治疗有效的时间是多长? 解析:(1)设y= 当t=1时,由y=4得k=4。 由1-a=4得a=3。则y= (2)由y≥0.25得或解得≤t≤5。因此,服药一次后治疗有效的时间是5-=小时。 【提分秘籍】应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型的应用类型。常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决。 (2)应用指数函数模型时的关键。关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型。 (3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解。 【举一反三】 里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍。 【高考风向标】 【2017山东,理10】已知当时,函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】当时, , 单调递减,且,单调递增,且 ,此时有且仅有一个交点;当时, ,在 上单调递增,所以要有且仅有一个交点,需 选B. 1.【2016高考上海理数】已知,函数. (1)当时,解不等式; (2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求 的取值范围; (3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围. 【答案】(1).(2).(3). 【解析】 (1)由,得, 解得. (2),, 当时,,经检验,满足题意. 当时,,经检验,满足题意. 当且时,,,. 是原方程的解当且仅当,即; 是原方程的解当且仅当,即. 于是满足题意的. 综上,的取值范围为. 因为,所以函数在区间上单调递增,时,【来.源:全,品…中&高*考*网】 有最小值,由,得. 故的取值范围为. 2.【2016年高考北京理数】设函数. ①若,则的最大值为______________; ②若无最大值,则实数的取值范围是________. 【答案】,. 【解析】如图,作出函数与直线的图象,它们的交点是,由,知是函数的极小值点, ①当时,,由图象可知的最大值是; ②由图象知当时,有最大值;只有当时,,无最大值,所以所求的取值范围是. 【2015高考天津,理8】已知函数 函数 ,其中,若函数 恰有4个零点,则的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】由得, 所以, 即 ,所以恰有4个零点等价于方程 有4个不同的解,即函数与函数的图象的4个公共点,由图象可知. 【2015高考浙江,理10】已知函数,则 ,的最小值是 . 【答案】,. 【解析】,当时,,当且仅当时,等 号成立,当时,,当且仅当时,等号成立,故最小值为. 【2015高考四川,理13】某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:)满足函数关系(为自然对数的底数,k、b为常数)。若该食品在0的保鲜时间设计192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是 小时。 【答案】24 【解析】 由题意得:,所以时,. 【2015高考上海,理10】设为,的反函数,则的最大值为 . 【答案】4 【2015高考北京,理14】设函数 ①若,则的最小值为 ; ②若恰有2个零点,则实数的取值范围是 . 【答案】(1)1,(2)或. 【解析】①时,,函数在上为增函数,函数值大于1,在为减函数,在为增函数,当时,取得最小值为1; (2)①若函数在时与轴有一个交点,则,并且当时, ,则,函数与轴有一个交点,所以; ②若函数与轴有无交点,则函数与轴有两个交点,当时与轴有无交点,在与轴有无交点,不合题意;当时,,与轴有两个交点,和,由于,两交点横坐标均满足;综上所述的取值范围或. 【2015高考浙江,理18】已知函数,记是在区间上的最大值. (1) 证明:当时,; (2)当,满足,求的最大值. 【答案】(1)详见解析;(2)3. 【解析】 (1)由,得对称轴为直线,由,得 ,故在上单调,∴,当时,由 ,得,即,当时,由 ,得,即,综上,当时, ;(2)由得,,故,,由,得,当,时,,且在上的最大值为,即,∴的最大值为3. (2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. B. C. D.-1 【答案】D 【解析】设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=-1. (2014·陕西卷)如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为 ( ) 图12 A.y=x3-x B.y=x3-x C.y=x3-x D.y=-x3+x 【答案】A 【高考冲刺】 1.抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%,则至少要抽(参考数据:lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)( ) A.15次 B.14次 C.9次 D.8次 解析:抽n次后容器剩下的空气为(40%)n. 由题意知,(40%)n<0.1%,即0.4n<0.001, ∴nlg0.4<-3, ∴n>=≈7.54, ∴n的最小值为8. 答案:D 2.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况 解析:设该股民购进股票的资金为a,则交易结束后,所剩资金为:a(1+10%)n·(1-10%)n=a·(1-0.01)n=a·0.09n查看更多
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