- 2021-06-11 发布 |
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文档介绍
高中数学人教a版选修2-2(课时训练):1.6 微积分基本定理
1.6 微积分基本定理 [学习目标] 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分. [知识链接] 1.导数与定积分有怎样的联系? 答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念,运用它们之间的联系,我们 可以找出求定积分的方法,求导数与定积分是互为逆运算. 2.在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示? 答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知: 图(1)中 S=错误!f(x)dx, 图(2)中 S=-错误!f(x)dx, 图(3)中 S=错误!f(x)dx-错误!f(x)dx. [预习导引] 1.微积分基本定理 如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x),那么 错误!f(x)dx=F(b)-F(a). 2.函数 f(x)与其一个原函数的关系 (1)若 f(x)=c(c 为常数),则 F(x)=cx; (2)若 f(x)=xn(n≠-1),则 F(x)= 1 n+1·xn+1; (3)若 f(x)=1 x ,则 F(x)=ln_x(x>0); (4)若 f(x)=ex,则 F(x)=ex; (5)若 f(x)=ax,则 F(x)= ax ln a(a>0 且 a≠1); (6)若 f(x)=sin x,则 F(x)=-cos_x; (7)若 f(x)=cos x,则 F(x)=sin_x. 要点一 求简单函数的定积分 例 1 计算下列定积分 (1)错误!3dx; (2)错误!(2x+3)dx; (3)错误!-1(4x-x2)dx; (4)错误!(x-1)5dx. 解 (1)因为(3x)′=3, 所以 错误!3dx=(3x)|2 1 =3×2-3×1=3. (2)因为(x2+3x)′=2x+3, 所以错误!(2x+3)dx=(x2+3x)|2 0 =22+3×2-(02+3×0)=10. (3)因为 2x2-x3 3 ′=4x-x2, 所以错误!-1(4x-x2)dx= 2x2-x3 3 |3 -1 = 2×32-33 3 - 2×-12--13 3 =20 3 . (4)因为 1 6 x-16 ′=(x-1)5, 所以 错误!1(x-1)5dx =1 6(x-1)6|2 1 =1 6(2-1)6-1 6(1-1)6 =1 6. 规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤: ①求 f(x)的一个原函数 F(x); ②计算 F(b)-F(a). (2)注意事项: ①有时需先化简,再求积分; ②f(x)的原函数有无穷多个,如 F(x)+c,计算时,一般只写一个最简单的,不再加任意常数 c. 跟踪演练 1 求下列定积分: (1)∫π 20(3x+sin x)dx; (2)错误!1 ex-1 x dx. 解 (1)∵ 3 2x2-cos x ′=3x+sin x, ∴∫π 20(3x+sin x)dx= 3 2x2-cos x |π 2 0 = 3 2 × π 2 2-cos π 2 - 3 2 ×0-cos 0 =3π2 8 +1; (2)∵(ex-ln x)′=ex-1 x , ∴错误!1(ex-1 x)dx=(ex-ln x)|2 1 =(e2-ln 2)-(e-0) =e2-e-ln 2. 要点二 求较复杂函数的定积分 例 2 求下列定积分: (1)错误!1 x(1- x)dx; (2)∫π 202cos2x 2dx; (3)错误!1(2x+ 1 x )dx. 解 (1)∵ x(1- x)= x-x, 又∵ 2 3x3 2 -1 2x2 ′= x-x. ∴错误!1 x(1- x)dx= 2 3x3 2 -1 2x2 |4 1 = 2 3 ×43 2 -1 2 ×42 - 2 3 -1 2 =-17 6 . (2)∵2cos2x 2 =1+cos x,(x+sin x)′=1+cos x, ∴原式=∫π 20(1+cos x)dx=(x+sin x)|π 2 0 =π 2 +1. (3)∵ 2x ln 2 +2 x ′=2x+ 1 x , ∴错误!1(2x+ 1 x )dx= 2x ln 2 +2 x |4 1 = 24 ln 2 +2 4 - 2 ln 2 +2 = 14 ln 2 +2. 规律方法 求较复杂函数的定积分的方法: (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数,当原函数 不易求时,可将被积函数适当变形后求解,具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函 数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差. (2)确定积分区间,分清积分下限与积分上限. 跟踪演练 2 计算下列定积分: (1)∫π 30(sin x-sin 2x)dx; (2)错误!ex(1+ex)dx. 解 (1)sin x-sin 2x 的一个原函数是-cos x+ 1 2cos 2x,所以∫π 30(sin x-sin 2x)dx = -cos x+1 2cos 2x |π 3 0 = -1 2 -1 4 - -1+1 2 =-1 4. (2)∵ex(1+ex)=ex+e2x, ∴ ex+1 2e2x ′=ex+e2x, ∴错误!ex(1+ex)dx=错误!(ex+e2x)dx = ex+1 2e2x |ln 2 0 =eln 2+1 2e2ln 2-e0-1 2e0 =2+1 2 ×4-1-1 2 =5 2. 要点三 定积分的简单应用 例 3 已知 f(a)=错误!0(2ax2-a2x)dx,求 f(a)的最大值. 解 ∵ 2 3ax3-1 2a2x2 ′=2ax2-a2x, ∴错误!0(2ax2-a2x)dx= 2 3ax3-1 2a2x2 |1 0 = 2 3a-1 2a2, 即 f(a)=2 3a-1 2a2=-1 2 a2-4 3a+4 9 +2 9 =-1 2 a-2 3 2+2 9 , ∴当 a=2 3 时,f(a)有最大值2 9. 规律方法 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系,可以通过积分构造新的函数,进而 对这一函数进行性质、最值等方面的考查,解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪演练 3 已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f′(0)=0,错误!0f(x)dx=-2,求 a、b、c 的值. 解 由 f(-1)=2,得 a-b+c=2. ① 又 f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0, ② 而 错误!0f(x)dx=错误!0(ax2+bx+c)dx= 1 3ax3+1 2bx2+cx |1 0 =1 3a+1 2b+c, ∴1 3a+1 2b+c=-2, ③ 由①②③式得 a=6,b=0,c=-4. 要点四 求分段函数的定积分 例 4 计算下列定积分: (1)若 f(x)= x2 x≤0 cos x-1 x>0 ,求∫π 2-1f(x)dx; (2)错误!0|x2-4|dx. 解 (1)∫π 2-1f(x)dx=错误!-1x2dx+∫π 20(cos x-1)dx, 又∵ 1 3x3 ′=x2,(sin x-x)′=cos x-1 ∴原式=1 3x3|0 -1 +(sin x-x)|π 2 0 = 0+1 3 + sinπ 2 -π 2 -(sin 0-0) =4 3 -π 2. (2)∵|x2-4|= x2-4 x≥2 或 x≤-2, 4-x2 -2查看更多