- 2021-06-11 发布 |
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文档介绍
重庆市南开中学2020届高三上学期教学质量检测数学(文)试题
重庆南开中学2020级高三第二次教学质量检测考试数学(文科) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。 1.若向量,,则与共线的向量是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求 ,根据共线向量的坐标表示求满足条件的向量. 【详解】 设与平行的向量是, 则 即, 满足条件的只有. 故选:C 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,主要考查基本公式,属于基础题型. 2.若定义形如“132”这样中间大于两边的数叫凸数,现从用2、3、7三个数组成没有重复数字的三位数中任取一个,则该数为凸数的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求由2、3、7组成没有重复数字的三位数,和凸数的个数,然后求古典概型表示的概率. 【详解】由2、3、7组成没有重复数字的三位数有种方法, 其中凸数有种方法, 则该数为凸数的概率为. 故选:C 【点睛】本题主要考查古典概型,属于简单题型. 3.能使得复数位于第三象限的是( ) A. 为纯虚数 B. 模长为3 C. 与互为共轭复数 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分析四个选项中的参数,判断是否能满足复数是第三象限的点. 【详解】 由题意可知,若复数在第三象限, 需满足 ,解得:, A.是纯虚数,则,满足条件; B.,解得:,当不满足条件; C. 与互为共轭复数,则,不满足条件; D.不能满足复数在第三象限,不满足条件. 故选:A 【点睛】本题考查复数的运算和几何意义,主要考查基本概念和计算,属于基础题型. 4.已知集合,,若,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象,可知,可求的取值范围. 【详解】若满足, 则需满足 , 解得:. 故选:B 【点睛】本题考查二次函数的图象和不等式的关系,意在考查转化与化归和计算能力,属于基础题型. 5.已知向量,满足,,则与的夹角为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量数量积的公式求夹角. 【详解】 , , ,. 故选:B 【点睛】本题考查向量数量积的运算公式,主要考查计算能力,属于基础题型. 6.已知函数相邻两对称轴的距离为,则以下说法正确的是( ) A. B. 函数的一个周期是 C. 函数的一个零点为 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知,所以 ,,再判断函数性质,确定选项. 详解】由题意可知,故B不正确; , ,故A不正确; , 当时, ,所以正确; 当,解得: ,, 可知函数的图象不关于对称,故D不正确. 故选:C 【点睛】本题考查三角函数解析式的求法和函数性质,意在考查基础知识,属于基础题型. 7.等比数列满足,且,,成等差数列,则该数列公比为( ) A. B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据公式,先求,然后再列出,可求出. 【详解】 , 解得:, ,,成等差数列, , , . 故选:D 【点睛】本题主要考查等比数列的性质和基本量的计算,意在考查计算能力,属于基础题型. 8.已知点为所在平面内一点,满足,为中点,点在内(不含边界),若,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先由已知可知点是的重心,如图,根据向量的运算可知,则化简为 ,再根据和的范围得到的范围. 【详解】如图: , 点是的重心,点是的中点, , , 当点在内(不含边界), , , , , , , , . 故选:A 【点睛】本题考查向量的加法和减法以及共线的运算,重点考查转化与化归和化简能力,属于基础题型. 9.若中,,,则最大值是( ) A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据向量数量积运算,将原式变形为,再根据 化简,变形为,再求函数的最值. 【详解】 , , , 原式, ,, , 原式 , , , 的最大值是2. 故选:D 【点睛】本题向量数量积和三角函数恒等变形和性质,重点考查转化与变形和计算能力,属于中档题型. 10.已知,是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左右支分别交于点,,若,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先设,根据双曲线的定义可知表示,,中,用余弦定理表示,再表示面积求比值. 【详解】根据双曲线定义可知, 设 ,则, , , 中,, , , . 故选:B 【点睛】本题考查双曲线的定义和余弦定理解三角形的综合问题,主要考查转化与化归和计算能力,属于中档题型,本题的关键是设,两次用双曲线的定义表示和. 11.已知为定义在上的奇函数,当时,,以下列命题: ①当时, ②的解集为 ③函数共有2个零点 ④,都有 其中正确命题个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据奇函数,求时,函数的解析式,然后再判断②③④,再判断④时, 转化为成立. 【详解】①设, 是奇函数, ,①不成立; ②当时, ,解得:; 当时, ,解得:, 综上:不等式的解集是,故②正确; ③由②可知有两个零点,分别是和, 是上的奇函数, , 有3个零点,分别是. 故③不正确; ④当时,, ,当时,, 当时,,单调递增, 当时,,单调递减, 当时,取得最大值,, 是奇函数,的最小值是, , ,都有,故④正确. 故正确的有②④. 故选:B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性,求函数的解析式,并判断分段函数的性质,本题的关键是①式的正确判断,根据函数的奇偶性求函数的解析式时,求的解析式,那就需设,再根据函数的奇偶性,求的解析式,本题的易错点是③,函数的零点个数,不要忘记. 12.已知点为外接圆的圆心,角,,所对的边分别为,,,且,若,则当角取到最大值时的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由意在可知,代入数量积的运算公式求,再根据正弦定理说明时,也取得最大值,最后求面积. 【详解】 , ,, ,且, 当时,时,也取得最大值, 此时, , . 故选:A 【点睛】本题考查向量数量积和面积公式,意在考查转化与变形和分析问题,解决问题的能力,本题的关键是根据正弦定理,且,说明时,也取得最大值,后面的问题迎刃而解. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.幂函数在上为减函数,则实数的值为______. 【答案】-3 【解析】 【分析】 由已知可知,,然后依次验证是否满足条件. 【详解】由已知可知, 解得:或, 当时,,在上是增函数,故不成立; 当时,,在上为减函数,成立 故答案为:-3 【点睛】本题考查根据幂函数的性质求参数,属于简单题型. 14.已知等差数列满足,则值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 等差数列的性质可知求,再根据求值. 【详解】由等差数列的性质可知 , , , . 【点睛】本题考查等差数列的性质求值,意在考查转化与变形,属于基础题型. 15.已知,且,,,则,,的大小关系是______. 【答案】 【解析】 【分析】 依次做出,,三个函数的图象,由图象可知,,的大小关系. 【详解】 ,, 依次做出,,三个函数的图象, 由图象可知,, , . 故答案为: 【点睛】本题考查求函数零点并比较大小,主要考查了数形结合和转化与化归,本题的关键是首先将函数变形为,,然后再通过图象求零点大小. 16.已知夹角为的向量,满足,,若,,则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据提示,可建立如图表示的坐标系,表示向量模的几何意义,再根据数形结合表示向量模的最小值. 【详解】根据已知可建立如图坐标系,,,,, 则,,, 设, , , 点的轨迹是以为圆心,的圆, , , , 即点的轨迹方程是, 表示两点间距离,如图, 的最小值是圆心到直线的距离减半径, 圆心到直线的距离是, 的最小值是. 故答案为: 【点睛】本题考查向量模最小值,意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力,属于中档题型,本题的关键是将向量的模转化为直线与圆的位置关系. 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知数列的前项和为,且,. (1)求证:为等比数列,并求的通项公式; (2)若,求的前项和. 【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】 (1)当时,构造,两式相减得到,再通过构造得到,并且验证满足; (2)根据(1)可知,由数列形式可知用分组转化法求和. 【详解】(1)由得:,两式相减得: ,即,∴, 由,令得,而,故, 所以为首项是2,公比是2的等比数列,故,. (2), ∴. 【点睛】本题考查已知数列的前项和,求,和数列求和,本题属于基础题型,但第一问需注意的取值范围,只能说明数列从第2项起是等比数列,还需验证首项满足,这点需注意. 18.已知向量,,设函数. (1)求的单调增区间; (2)设函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,求函数的值域. 【答案】(1),.(2) 【解析】 【分析】 (1)首先化简函数,然后令,求函数的单调递增区间; (2)首先化简,然后求的范围,再求的值域. 【详解】(1)由题,,∴, ∴, 令,∴, 所以函数的单调增区间为,. (2)由题可得, 故, 因为,∴,∴,∴. 【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质,意在考查转化与化归和计算能力,本题的关键利用降幂公式和辅助角公式恒等变形,所以需熟练掌握三角函数的变形公式. 19.如图所示,正三棱柱中,,,分别为,的中点. (1)求证:平面; (2)若三棱锥的体积为,求该三棱柱底面边长. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)要证明线面平行,需证明线线平行,分别取,中点,,连接,,,证明四边形是平行四边形,即可证明; (2)因为是的中点,所以,利用体积转化求底面边长. 【详解】(1)法1:分别取,中点,,连接,,, 则,,∴,且, ∴为平行四边形,∴且平面, 平面,所以平面; 法2:取中点,连接,,则可得,,从而可证得:平面平面,且平面, 所以平面; (2)设该三棱柱底面边长为,由正三棱柱可知,点到平面的距离为, 而,, ∴,所以三棱柱底面边长为. 【点睛】本题考查线面平行的判断和根据体积求边长,证明线面平行的关键是线线平行,一般可根据条件构造平行四边形,或是中位线证明证明线线平行,第二问不管是求体积还是根据体积求参数,一般都需要体积转化. 20.已知,为椭圆:的左、右焦点,离心率为,且椭圆的上顶点到左、右顶点的距离之和为. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点的直线交椭圆于,两点,若以为直径的圆过,求直线的方程. 【答案】(1)(2):. 【解析】 【分析】 (1)由已知可知和,再根据,求椭圆方程; (2)分斜率和两种情况讨论,当时,设直线: ,与椭圆方程联立,得到根与系数的关系,,,若满足条件有,写成坐标表示的形式,求. 【详解】(1)设椭圆的焦距为,椭圆的离心率为,所以,即,又,所以,由椭圆的上顶点到椭圆的左、右顶点的距离之和为,所以,即,解得,所以,故椭圆的标准方程为. (2)由(1)知,.设,. 若直线斜率为0时,弦为椭圆长轴,故以为直径的圆不可能过,所以不成立; 若直线斜率不为0时,设直线:,代入椭圆方程得: ,易知且,. 故以为直径的圆过,则有, ∴ ,∴. 综上可知,:. 【点睛】本题考查椭圆方程和直线与椭圆位置关系的综合问题,第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单,在解决圆锥曲线与动直线问题中,韦达定理,弦长公式都是解题的基本工具. 21.已知函数,. (1)若函数存在单调增区间,求实数的取值范围; (2)若,为函数的两个不同极值点,证明:. 【答案】(1)(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)由已知可知,若满足条件,即有解,转化为有解,即,设,利用导数求函数的最大值; (2)由已知可知 ,整理为,再通过分析法将需要证明的式子转化为,若,可变形为,设,即证成立, 若,即证. 【详解】(1)由题函数存在增区间,即需有解,即有解, 令,,且当时,, 当时,, 如图得到函数大致图象,故当, ∴时,函数存在增区间; (2)法1:,为函数的两个不同极值点知,为的两根, 即,, ∴,① ∴②,要证,即证,由①代入, 即证:,, 将②代入即证:③ 且由(1)知, 若,则③等价于,令,, 即证成立, 而, ∴在单调递增,∴当时, ∴,所以得证; 若,则③等价于,令,, ,显然成立. 法2:要证,又由(1)知,, 当时,要证上式成立,即证,易知显然成立; 当时,,故只需,即证,也即证, 由于时单调递增,故即证,而, 只需证,成立,令, 只需证在时成立, 而,故在单调递增, 所以,故原不等式得证. 【点睛】本题考查了导数研究函数性质,不等式的综合性问题,意在考查化归和转化和分类讨论的思想,属于难题,本题的难点是第二问极值点偏移问题,利用分析法将所需要证明的式子转化,再根据已知条件代入参数,转化为证明,再通过构造为的不等式恒成立的问题. 22.已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴所在直线为轴建立直角坐标系.过点作倾斜角为的直线交曲线于,两点. (1)求曲线的直角坐标方程,并写出直线的参数方程; (2)过点的另一条直线与关于直线对称,且与曲线交于,两点,求证:. 【答案】(1),(为参数)(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)根据转化公式,直接转化,并且根据公式直接写成直线的参数方程; (2)直线的参数方程代入(1)的曲线方程;利用的几何意义表示 再根据对称求的参数方程,同理可得,再证明结论. 【详解】(1)由得,∴为曲线的直角坐标方程, 由作倾斜角为的直线的参数方程为(为参数). (2)将直线的参数方程代入的直角坐标方程得: ,显然,设,两点对应的参数分别为,, 则,∴, 由于直线与关于对称,可设直线的参数方程为(为参数)与曲线的直角坐标方程联立同理可得:, ∴,故得证. 【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程的转化,以及用直线参数方程解决直线与圆锥曲线相交的线段长度问题,意在考查转化与化归和计算能力,属于中档题型. 23.已知函数,. (1)若函数的最小值为,求实数的值; (2)当时,函数图象恒在函数图象的上方,求的取值范围. 【答案】(1)或者.(2)或. 【解析】 【分析】 (1),再根据最小值相等,求参数的值;(2)由题意可知不等式等价于,转化为或恒成立的问题,求参数的取值范围. 【详解】(1)由(当且仅当介于-1与之间时取等号) ∴,∴或者. (2)由题意,等价于,当时恒成立,即, ,∴或,当时恒成立, 由,∴,∴, 由,∴,∴, 综上,实数的取值范围是或. 【点睛】本题考查不等式含绝对值三角形不等式求最值,恒成立问题求参数范围,意在考查转化与变形,第二问的关键是分离出或恒成立,即转化为函数最值问题. 查看更多