重庆市南开中学2020届高三上学期教学质量检测数学(文)试题

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重庆市南开中学2020届高三上学期教学质量检测数学(文)试题

重庆南开中学2020级高三第二次教学质量检测考试数学(文科)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。‎ ‎1.若向量,,则与共线的向量是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求 ,根据共线向量的坐标表示求满足条件的向量.‎ ‎【详解】 ‎ 设与平行的向量是,‎ 则 ‎ 即,‎ 满足条件的只有.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,主要考查基本公式,属于基础题型.‎ ‎2.若定义形如“132”这样中间大于两边的数叫凸数,现从用2、3、7三个数组成没有重复数字的三位数中任取一个,则该数为凸数的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求由2、3、7组成没有重复数字的三位数,和凸数的个数,然后求古典概型表示的概率.‎ ‎【详解】由2、3、7组成没有重复数字的三位数有种方法,‎ 其中凸数有种方法,‎ 则该数为凸数的概率为.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查古典概型,属于简单题型.‎ ‎3.能使得复数位于第三象限的是( )‎ A. 为纯虚数 B. 模长为3‎ C. 与互为共轭复数 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析四个选项中的参数,判断是否能满足复数是第三象限的点.‎ ‎【详解】 ‎ 由题意可知,若复数在第三象限,‎ 需满足 ,解得:,‎ A.是纯虚数,则,满足条件;‎ B.,解得:,当不满足条件;‎ C. 与互为共轭复数,则,不满足条件;‎ D.不能满足复数在第三象限,不满足条件.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查复数的运算和几何意义,主要考查基本概念和计算,属于基础题型.‎ ‎4.已知集合,,若,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的图象,可知,可求的取值范围.‎ ‎【详解】若满足,‎ 则需满足 ,‎ 解得:.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查二次函数的图象和不等式的关系,意在考查转化与化归和计算能力,属于基础题型.‎ ‎5.已知向量,满足,,则与的夹角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量数量积的公式求夹角.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ ,‎ ‎ ,.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算公式,主要考查计算能力,属于基础题型.‎ ‎6.已知函数相邻两对称轴的距离为,则以下说法正确的是( )‎ A. B. 函数的一个周期是 C. 函数的一个零点为 D. 函数的图象关于直线对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知,所以 ,,再判断函数性质,确定选项.‎ 详解】由题意可知,故B不正确;‎ ‎,‎ ‎,故A不正确;‎ ‎ ,‎ 当时, ,所以正确;‎ 当,解得: ,,‎ 可知函数的图象不关于对称,故D不正确.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查三角函数解析式的求法和函数性质,意在考查基础知识,属于基础题型.‎ ‎7.等比数列满足,且,,成等差数列,则该数列公比为( )‎ A. B. C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公式,先求,然后再列出,可求出.‎ ‎【详解】 ‎ ‎,‎ 解得:,‎ ‎,,成等差数列,‎ ‎ ,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质和基本量的计算,意在考查计算能力,属于基础题型.‎ ‎8.已知点为所在平面内一点,满足,为中点,点在内(不含边界),若,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由已知可知点是的重心,如图,根据向量的运算可知,则化简为 ,再根据和的范围得到的范围.‎ ‎【详解】如图:‎ ‎,‎ 点是的重心,点是的中点,‎ ‎,‎ ‎, ‎ 当点在内(不含边界),‎ ‎ , ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎, ,‎ ‎ , ,‎ ‎.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查向量的加法和减法以及共线的运算,重点考查转化与化归和化简能力,属于基础题型.‎ ‎9.若中,,,则最大值是( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据向量数量积运算,将原式变形为,再根据 化简,变形为,再求函数的最值.‎ ‎【详解】 ‎ ‎,‎ ‎, ,‎ 原式,‎ ‎,,‎ ‎ ,‎ 原式 ‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ , ‎ ‎,‎ 的最大值是2.‎ 故选:D ‎【点睛】本题向量数量积和三角函数恒等变形和性质,重点考查转化与变形和计算能力,属于中档题型.‎ ‎10.已知,是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左右支分别交于点,,若,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设,根据双曲线的定义可知表示,,中,用余弦定理表示,再表示面积求比值.‎ ‎【详解】根据双曲线定义可知,‎ 设 ,则,‎ ‎ , ,‎ 中,,‎ ‎ ,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和余弦定理解三角形的综合问题,主要考查转化与化归和计算能力,属于中档题型,本题的关键是设,两次用双曲线的定义表示和.‎ ‎11.已知为定义在上的奇函数,当时,,以下列命题:‎ ‎①当时, ②的解集为 ‎③函数共有2个零点 ④,都有 其中正确命题个数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据奇函数,求时,函数的解析式,然后再判断②③④,再判断④时,‎ 转化为成立.‎ ‎【详解】①设, ‎ 是奇函数,‎ ‎,①不成立;‎ ‎②当时, ,解得:;‎ 当时, ,解得:,‎ 综上:不等式的解集是,故②正确;‎ ‎③由②可知有两个零点,分别是和,‎ 是上的奇函数, ,‎ 有3个零点,分别是.‎ 故③不正确;‎ ‎④当时,,‎ ‎,当时,,‎ 当时,,单调递增,‎ 当时,,单调递减,‎ 当时,取得最大值,,‎ 是奇函数,的最小值是,‎ ‎ ,‎ ‎,都有,故④正确.‎ 故正确的有②④.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查根据函数的奇偶性,求函数的解析式,并判断分段函数的性质,本题的关键是①式的正确判断,根据函数的奇偶性求函数的解析式时,求的解析式,那就需设,再根据函数的奇偶性,求的解析式,本题的易错点是③,函数的零点个数,不要忘记.‎ ‎12.已知点为外接圆的圆心,角,,所对的边分别为,,,且,若,则当角取到最大值时的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由意在可知,代入数量积的运算公式求,再根据正弦定理说明时,也取得最大值,最后求面积.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ ,,‎ ‎,且,‎ 当时,时,也取得最大值,‎ 此时, ,‎ ‎.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查向量数量积和面积公式,意在考查转化与变形和分析问题,解决问题的能力,本题的关键是根据正弦定理,且,说明时,也取得最大值,后面的问题迎刃而解.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.幂函数在上为减函数,则实数的值为______.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可知,,然后依次验证是否满足条件.‎ ‎【详解】由已知可知, ‎ 解得:或,‎ 当时,,在上是增函数,故不成立;‎ 当时,,在上为减函数,成立 故答案为:-3‎ ‎【点睛】本题考查根据幂函数的性质求参数,属于简单题型.‎ ‎14.已知等差数列满足,则值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等差数列的性质可知求,再根据求值.‎ ‎【详解】由等差数列的性质可知 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质求值,意在考查转化与变形,属于基础题型.‎ ‎15.已知,且,,,则,,的大小关系是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次做出,,三个函数的图象,由图象可知,,的大小关系.‎ ‎【详解】 ,, ‎ 依次做出,,三个函数的图象,‎ 由图象可知,, ,‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查求函数零点并比较大小,主要考查了数形结合和转化与化归,本题的关键是首先将函数变形为,,然后再通过图象求零点大小.‎ ‎16.已知夹角为的向量,满足,,若,,则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据提示,可建立如图表示的坐标系,表示向量模的几何意义,再根据数形结合表示向量模的最小值.‎ ‎【详解】根据已知可建立如图坐标系,,,,,‎ 则,,,‎ 设,‎ ‎,‎ ‎,‎ 点的轨迹是以为圆心,的圆,‎ ‎,‎ ‎ , ,‎ 即点的轨迹方程是,‎ 表示两点间距离,如图,‎ 的最小值是圆心到直线的距离减半径,‎ 圆心到直线的距离是,‎ 的最小值是.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查向量模最小值,意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力,属于中档题型,本题的关键是将向量的模转化为直线与圆的位置关系.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知数列的前项和为,且,.‎ ‎(1)求证:为等比数列,并求的通项公式;‎ ‎(2)若,求的前项和.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时,构造,两式相减得到,再通过构造得到,并且验证满足;‎ ‎(2)根据(1)可知,由数列形式可知用分组转化法求和.‎ ‎【详解】(1)由得:,两式相减得:‎ ‎,即,∴,‎ 由,令得,而,故,‎ 所以为首项是2,公比是2的等比数列,故,.‎ ‎(2),‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查已知数列的前项和,求,和数列求和,本题属于基础题型,但第一问需注意的取值范围,只能说明数列从第2项起是等比数列,还需验证首项满足,这点需注意.‎ ‎18.已知向量,,设函数.‎ ‎(1)求的单调增区间;‎ ‎(2)设函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,求函数的值域.‎ ‎【答案】(1),.(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先化简函数,然后令,求函数的单调递增区间;‎ ‎(2)首先化简,然后求的范围,再求的值域.‎ ‎【详解】(1)由题,,∴,‎ ‎∴,‎ 令,∴,‎ 所以函数的单调增区间为,.‎ ‎(2)由题可得,‎ 故,‎ 因为,∴,∴,∴.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质,意在考查转化与化归和计算能力,本题的关键利用降幂公式和辅助角公式恒等变形,所以需熟练掌握三角函数的变形公式.‎ ‎19.如图所示,正三棱柱中,,,分别为,的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若三棱锥的体积为,求该三棱柱底面边长.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要证明线面平行,需证明线线平行,分别取,中点,,连接,,,证明四边形是平行四边形,即可证明;‎ ‎(2)因为是的中点,所以,利用体积转化求底面边长.‎ ‎【详解】(1)法1:分别取,中点,,连接,,,‎ 则,,∴,且,‎ ‎∴为平行四边形,∴且平面,‎ 平面,所以平面;‎ 法2:取中点,连接,,则可得,,从而可证得:平面平面,且平面,‎ 所以平面;‎ ‎(2)设该三棱柱底面边长为,由正三棱柱可知,点到平面的距离为,‎ 而,,‎ ‎∴,所以三棱柱底面边长为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判断和根据体积求边长,证明线面平行的关键是线线平行,一般可根据条件构造平行四边形,或是中位线证明证明线线平行,第二问不管是求体积还是根据体积求参数,一般都需要体积转化.‎ ‎20.已知,为椭圆:的左、右焦点,离心率为,且椭圆的上顶点到左、右顶点的距离之和为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过点的直线交椭圆于,两点,若以为直径的圆过,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)(2):.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知可知和,再根据,求椭圆方程;‎ ‎(2)分斜率和两种情况讨论,当时,设直线:‎ ‎,与椭圆方程联立,得到根与系数的关系,,,若满足条件有,写成坐标表示的形式,求.‎ ‎【详解】(1)设椭圆的焦距为,椭圆的离心率为,所以,即,又,所以,由椭圆的上顶点到椭圆的左、右顶点的距离之和为,所以,即,解得,所以,故椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)由(1)知,.设,.‎ 若直线斜率为0时,弦为椭圆长轴,故以为直径的圆不可能过,所以不成立;‎ 若直线斜率不为0时,设直线:,代入椭圆方程得:‎ ‎,易知且,.‎ 故以为直径的圆过,则有,‎ ‎∴‎ ‎,∴.‎ 综上可知,:.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程和直线与椭圆位置关系的综合问题,第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单,在解决圆锥曲线与动直线问题中,韦达定理,弦长公式都是解题的基本工具.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)若函数存在单调增区间,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若,为函数的两个不同极值点,证明:.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知可知,若满足条件,即有解,转化为有解,即,设,利用导数求函数的最大值;‎ ‎(2)由已知可知 ,整理为,再通过分析法将需要证明的式子转化为,若,可变形为,设,即证成立,‎ 若,即证.‎ ‎【详解】(1)由题函数存在增区间,即需有解,即有解,‎ 令,,且当时,,‎ 当时,,‎ 如图得到函数大致图象,故当,‎ ‎∴时,函数存在增区间;‎ ‎(2)法1:,为函数的两个不同极值点知,为的两根,‎ 即,,‎ ‎∴,①‎ ‎∴②,要证,即证,由①代入,‎ 即证:,,‎ 将②代入即证:③‎ 且由(1)知,‎ 若,则③等价于,令,,‎ 即证成立,‎ 而,‎ ‎∴在单调递增,∴当时,‎ ‎∴,所以得证;‎ 若,则③等价于,令,,‎ ‎,显然成立.‎ 法2:要证,又由(1)知,,‎ 当时,要证上式成立,即证,易知显然成立;‎ 当时,,故只需,即证,也即证,‎ 由于时单调递增,故即证,而,‎ 只需证,成立,令,‎ 只需证在时成立,‎ 而,故在单调递增,‎ 所以,故原不等式得证.‎ ‎【点睛】本题考查了导数研究函数性质,不等式的综合性问题,意在考查化归和转化和分类讨论的思想,属于难题,本题的难点是第二问极值点偏移问题,利用分析法将所需要证明的式子转化,再根据已知条件代入参数,转化为证明,再通过构造为的不等式恒成立的问题.‎ ‎22.已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴所在直线为轴建立直角坐标系.过点作倾斜角为的直线交曲线于,两点.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程,并写出直线的参数方程;‎ ‎(2)过点的另一条直线与关于直线对称,且与曲线交于,两点,求证:.‎ ‎【答案】(1),(为参数)(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据转化公式,直接转化,并且根据公式直接写成直线的参数方程;‎ ‎(2)直线的参数方程代入(1)的曲线方程;利用的几何意义表示 ‎ 再根据对称求的参数方程,同理可得,再证明结论.‎ ‎【详解】(1)由得,∴为曲线的直角坐标方程,‎ 由作倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).‎ ‎(2)将直线的参数方程代入的直角坐标方程得:‎ ‎,显然,设,两点对应的参数分别为,,‎ 则,∴,‎ 由于直线与关于对称,可设直线的参数方程为(为参数)与曲线的直角坐标方程联立同理可得:,‎ ‎∴,故得证.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程的转化,以及用直线参数方程解决直线与圆锥曲线相交的线段长度问题,意在考查转化与化归和计算能力,属于中档题型.‎ ‎23.已知函数,.‎ ‎(1)若函数的最小值为,求实数的值;‎ ‎(2)当时,函数图象恒在函数图象的上方,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或者.(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1),再根据最小值相等,求参数的值;(2)由题意可知不等式等价于,转化为或恒成立的问题,求参数的取值范围.‎ ‎【详解】(1)由(当且仅当介于-1与之间时取等号)‎ ‎∴,∴或者.‎ ‎(2)由题意,等价于,当时恒成立,即,‎ ‎,∴或,当时恒成立,‎ 由,∴,∴,‎ 由,∴,∴,‎ 综上,实数的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题考查不等式含绝对值三角形不等式求最值,恒成立问题求参数范围,意在考查转化与变形,第二问的关键是分离出或恒成立,即转化为函数最值问题.‎ ‎ ‎
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