【数学】2019届一轮复习北师大版 不等关系与不等式学案
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不等关系与不等式
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.
一元二次不等式的解法
会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
二元一次不等式(组)与
简单的线性规划问题
会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
基本不等式
≥(a≥0，b≥0)
了解基本不等式的证明过程.
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
第1讲 不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a
b，ab>0⇒<.
②a<0b>0，0.
④0b>0，m>0，则
①<；>(b－m>0)．
②>；<(b－m>0)．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.( )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )
(5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )
(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
(教材习题改编)设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为( )
A．A≥B B．A＞B
C．A≤B D．A＜B
解析：选B.A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，所以A＞B.故选B.
已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.⇒又当ab>0时，a与b同号，由a＋b>0知a>0，且b>0.
________＋1(填“>”或“<”)．
解析：＝＋1<＋1.
答案：<
下列不等式中恒成立的是__________．
①m－3＞m－5；②5－m＞3－m；③5m＞3m；④5＋m＞5－m.
解析：m－3－m＋5＝2＞0，故①恒成立；
5－m－3＋m＝2＞0，故②恒成立；
5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立；
5＋m－5＋m＝2m，无法判断其符号，故④不恒成立．
答案：①②
比较两个数(式)的大小
[典例引领]
(1)已知a>b>0，m>0，则( )
A.＝
B.>
C.<
D.与的大小关系不确定
(2)若a＝，b＝，比较a与b的大小．
【解】 (1)选C.－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以b－a<0，a＋m>0，所以<0.
即－<0.所以<.
(2)因为a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·
＝＝＝log8 9＞1，
所以a＞b.
若本例(1)的条件不变，试比较与的大小．
解：－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以a－b>0，m(a－b)>0.
(1)当a>m时，a(a－m)>0，
所以>0，
即－>0，
故>.
(2)当an B．m0，b>0)两个代数式的大小．
解：因为＋－(a＋b)＝
＝＝
＝.
又因为a>0，b>0，所以≥0，
故＋≥a＋b.
不等式的性质及应用(高频考点)
不等式的性质是高考的常考内容，题型多为选择题，难度为中档题．
高考对不等式性质的考查主要有以下两个命题角度：
(1)应用性质判断命题真假；
(2)应用性质求代数式的范围．
[典例引领]
角度一 应用性质判断命题真假
(1)(特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 (1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b>0时，由a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.
综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.
(2)因为a＞0＞b，c＜d＜0，
所以ad＜0，bc＞0，
所以ad＜bc，故①错误．
因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，
因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，
所以a(－c)＞(－b)(－d)，
所以ac＋bd＜0，所以＋＝＜0，故②正确．
因为c＜d，所以－c＞－d，
因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，
即a－c＞b－d，故③正确．
因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，
故④正确，故选C.
【答案】 (1)C (2)C
角度二 应用性质求代数式的范围
(整体思想)已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
【解】 因为f(x)过原点，所以设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．
由
得
所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又
所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10，
即f(－2)的取值范围是[6，10]．
(1)判断不等式命题真假的方法
①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或用特值法．常用的推理判断需要利用不等式性质．
②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．
(2)求代数式的取值范围
利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．
[通关练习]
1．(2018·河南百校联盟模拟)设a，b∈R，则“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.当(a－b)a2≥0时，由a2≥0得a－b≥0，即a≥b，反之也成立，故“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的充要条件．
2．若－1b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
1．已知a>b，则下列结论正确的是( )
A．a2>b2 B．ac2>bc2
C.> D．a－1>b－2
解析：选D.因为a>b时，a与b的符号不确定，所以A、C不正确；
当c＝0时，B不正确；对于D，a>b⇒a－1>b－1，
又b－1>b－2，所以a－1>b－2正确．
2．若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2|a＋b|
解析：选D.由题可知by>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
解析：选C.因为x>y>z，
所以3x>x＋y＋z＝0，3z0，z<0，
由得xy>xz.故选C.
5．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；
③若a>b，c>d，则ac>bd；
④若a>b，则>.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.由ac2>bc2知c≠0，c2>0，所以a>b，故①正确；由不等式的同向可加性易知②
正确；对于③，当a＝－1，b＝－4，c＝－2，d＝－3时，acb，但>不成立，故④不正确．
6．(2018·扬州模拟)若a10，
即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
7．已知a，b∈R，则a＜b和＜同时成立的条件是________．
解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，
即＜；若ab＞0，则＞.
所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.
答案：a＜0＜b
8．若α，β满足则α＋3β的取值范围是________．
解析：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)
＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
则解得
因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，
两式相加，得1≤α＋3β≤7.
所以α＋3β的取值范围为[1，7]．
答案：[1，7]
9．设实数a，b，c满足
①b＋c＝6－4a＋3a2，
②c－b＝4－4a＋a2.
试确立a，b，c的大小关系．
解：因为c－b＝(a－2)2≥0，所以c≥b，
又2b＝2＋2a2，所以b＝1＋a2，
所以b－a＝a2－a＋1＝＋>0，
所以b>a，从而c≥b>a.
10．若a>b>0，c.
证明：因为c－d>0.
又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0.
所以0<<.
又因为e<0，所以>.
1．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则( )
A. －＞0
B．sin x－sin y＞0
C. －＜0
D．ln x＋ln y＞0
解析：选C.法一：(通性通法)因为x＞y＞0，选项A，取x＝1，y＝，则－＝1－2＝－1＜0，排除A；选项B，取x＝π，y＝，则sin x－sin y＝sin π－sin ＝－1＜0，排除B；选项D，取x＝2，y＝，则ln x＋ln y＝ln(xy)＝ln 1＝0，排除D.故选C.
法二：(光速解法)因为函数y＝在R上单调递减，且x＞y＞0，所以＜，即－
＜0，故选C.
2．(2017·高考山东卷)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a＋<b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c可得a>c；由b＋c>c＋a可得b>a，于是有c5时，y1y2.
因此当去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
6．已知12
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