人教新课标A版数学高三高考卷 ·05高考理科数学（福建卷）试题及答案

人教新课标A版数学高三高考卷 ·05高考理科数学（福建卷）试题及答案

2005 年高考理科数学 福建卷 试题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利！ 第 I卷（选择题 共 60分） 注意事项： 1．答第 I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1．复数 i z   1 1 的共轭复数是 （ ） A． i 2 1 2 1  B． i 2 1 2 1  C． i1 D． i1 2．已知等差数列 }{ na 中， 1,16 497  aaa ，则 12a 的值是 （ ） A．15 B．30 C．31 D．64 3．在△ABC中，∠C=90°， ),3,2(),1,(  ACkAB 则 k的值是 （ ） A．5 B．－5 C． 2 3 D． 2 3  4．已知直线 m、n与平面  , ，给出下列三个命题： ①若 ;//,//,// nmnm 则 ②若 ;,,// mnnm  则 ③若 .,//,   则mm 其中真命题的个数是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．函数 bxaxf )( 的图象如图，其中 a、b 为常数， 则下列结论正确的是 （ ） A． 0,1  ba B． 0,1  ba 1-1 2 1 xO y C． 0,10  ba D． 0,10  ba 6．函数 )20,0,)(sin(   Rxxy 的部分图象如图，则 （ ） A． 4 , 2   B． 6 , 3   C． 4 , 4   D． 4 5, 4   7．已知 p： ,0)3(:,1|32|  xxqx 则 p是 q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图，长方体 ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2， AD=1，点 E、F、G分别是 DD1、AB、CC1的中 点，则异面直线 A1E与 GF所成的角是（ ） A． 5 15arccos B． 4  C． 5 10arccos D． 2  9．从 6人中选 4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人 游览，每人只游览一个城市，且这 6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案 共有 （ ） A．300种 B．240种 C．144种 D．96种 10．已知 F1、F2是双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角 形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A． 324  B． 13  C． 2 13  D． 13  11．设 bababa  则,62,, 22R 的最小值是 （ ） A． 22 B． 3 35  C．－3 D． 2 7  12． )(xf 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且 0)2( f 在区间（0，6）内解的个数 的最小值是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 第Ⅱ卷（非选择题 共 90分） D 1 C1 B1A1 GE D C BFA 31 1 xO y 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分，把答案填在答题卡的相应位置 13． 6)12( x x  展开式中的常数项是 （用数字作答） 14．非负实数 yx, 满足 yx yx yx 3 ,03 ,02       则 的最大值为 15．若常数 b满足|b|>1，则     n n n b bbb 121lim  . 16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题： 若函数 xxf 2log3)(  的图象与 )(xg 的图象关于____对称，则函数 )(xg =______ （注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）. 三、解答题：本大题共 6小题，共 74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12分） 已知 5 1cossin,0 2  xxx . （I）求 sinx－cosx的值； （Ⅱ）求 xx xxxx cottan 2 cos 2 cos 2 sin2 2 sin3 22   的值. 18．（本小题满分 12分） 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 5 2 2 1 与 ，投中得 1分，投不中得 0分. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望； （Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 19．（本小题满分 12分） 已知函数 bx axxf    2 6)( 的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为 x+2y+5=0. （Ⅰ）求函数 y=f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数 y=f(x)的单调区间. 20．（本小题满分 12分） 如图，直二面角 D—AB—E中，四边形 ABCD是边长为 2的正方形，AE=EB，F为 CE 上的点，且 BF⊥平面 ACE. （Ⅰ）求证 AE⊥平面 BCE； （Ⅱ）求二面角 B—AC—E的大小； （Ⅲ）求点 D到平面 ACE的距离. 21．（本小题满分 12分） 已知方向向量为 v=(1, 3 )的直线 l过点（0，－2 3）和椭圆 C： )0(12 2 2 2  ba b y a x 的焦点，且椭圆 C的中心关于直线 l的对称点在椭圆 C的右准线上. （Ⅰ）求椭圆 C的方程； （Ⅱ）是否存在过点 E（－2，0）的直线 m交椭圆 C于点M、N，满足 6 3 4 ONOM cot ∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线 m的方程；若不存在，请说明理由. E x O y 22．（本小题满分 14分） 已知数列{an}满足 a1=a, an+1=1+ na 1 我们知道当 a取不同的值时，得到不同的数列，如 当 a=1时，得到无穷数列： .0,1, 2 1:, 2 1;, 3 5, 2 3,2,1  得到有穷数列时当a （Ⅰ）求当 a为何值时 a4=0； （Ⅱ）设数列{bn}满足 b1=－1, bn+1= )( 1 1   Nn bn ，求证 a取数列{bn}中的任一个数， 都可以得到一个有穷数列{an}； （Ⅲ）若 )4(2 2 3  nan ，求 a的取值范围. 2005 年高考理科数学 福建卷 试题及答案 F E D C BA 参考答案 1． B． 2． A．3． A． 4． C． 5． D． 6． C． 7． A． 8． D． 9． B． 10． D． 11． C． 12． D？． 12．解答：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0 ∵f(x)是以 3为周期，f(2)＝0 ∴f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝0 f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝0 ∵f(－1)＝f(2－3)＝f(2)＝0；f(x)是奇函数，f(－1)＝－f(1)＝0。∴f(1)＝0 f(4)＝f(1＋3)＝f(1)＝0 ∵f(x)是以 3为周期，∴f(1.5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5) 也就是 f(1.5)＝－f(1.5)，即 2f(1.5)＝0, f(1.5)＝0 f(4.5)＝f(1.5＋3)＝0 由此可见，f(x)＝0在区间(0,6)内的解有 7个，分别是：1、2、3、4、5、1.5、4.5 四个选项中都没有正确答案 说明出题者当时忽视了 f(4.5)＝f(1.5)＝0也成立的情况 构造出符合四个条件（1）定义在 R 上；（2）奇函数；（3）周期为 3；（4）f(2) =0的一个函数 f(x)=sin 3 π2 x+sin 3 π4 x，图像如下： f(x)=sin 2 3 x+sin 4 3 x 4.5 654321.51 o y x 只需后面再加上一项 sin2πx，图像如下： 就可以在上一个原有的根不变的的基础上增加四个根： 3 9 15 21, , , , 4 4 4 4 若再增加一项：sin4πx 在前一个原有的根不变的基础上又可以增加四个根： 5 7 17 19, , , , 4 4 4 4 这样符合四个条件 的函数的根就有 15个！ 13． 240 14． 9 15． 1 1b  . 16．① x轴 , 23 log x  ②y轴 , 23 log ( )x  ③原点 , 23 log ( )x   ④ y x直线 , 32x 三、解答题：本大题共 6小题，共 74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12分） 已知 5 1cossin,0 2  xxx . （I）求 sinx－cosx的值； （Ⅱ）求 xx xxxx cottan 2 cos 2 cos 2 sin2 2 sin3 22   的值. 本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、各个象限内三角函数符号的特 点等基本知识，以及推理和运算能力 解法一：（Ⅰ）由 , 25 1coscossin2sin, 5 1cossin 22  xxxxxx 平方得 即 . 25 49cossin21)cos(sin. 25 24cossin2 2  xxxxxx  又 ,0cossin,0cos,0sin,0 2  xxxxx 故 . 5 7cossin  xx （Ⅱ） x x x x xx xx xxxx sin cos cos sin 1sin 2 sin2 costan 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin3 222      125 108) 5 12() 25 12( )sincos2(cossin   xxxx 解法二：（Ⅰ）联立方程       .1cossin , 5 1cossin 22 x xx 由①得 ,cos 5 1sin xx  将其代入②，整理得 ,012cos5cos25 2  xx          . 5 4cos , 5 3sin ,0 2 . 5 4cos 5 3cos x x xxx 或 故 . 5 7cossin  xx （Ⅱ） x x x x xx xx xxxx sin cos cos sin 1sin 2 sin2 cottan 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin3 222      125 108) 5 3 5 42( 5 4) 5 3( )sincos2(cossin   xxxx 18．（本小题满分 12分） 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 5 2 2 1 与 ，投中得 1分，投不中得 0分. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望； （Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 本题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力 解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件 A，“乙投一次命中”为事件 B，则 . 5 3)(, 2 1)(, 5 2)(, 2 1)(  BPAPBPAP 甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为 0、1、2，则ξ概率分布为： ξ 0 1 2 P 10 3 2 1 5 1 3 1 1 90 2 10 2 5 10 E       ① ② 答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为 10 9 . （Ⅱ）“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是“甲、 乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中”的事件 C的对立事件， 而   0 2 0 2 0 2 2 2 1 1 2 3 9 2 2 5 5 100 P C C C                         ∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为   911 100 P C  答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为 91 100 19．（本小题满分 12分） 已知函数 bx axxf    2 6)( 的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为 x+2y+5=0. （Ⅰ）求函数 y=f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数 y=f(x)的单调区间. 本题考查函数的单调性，导数的运用等知识，考察运用数学知识、分析问题和解决问题的能 力 解：由函数 f(x)的图像在点 M（ -1，  1f  ）处的切线的方程为 x+2y+5=0,知       11 2 1 5 0, 1 2, ' 1 2 f f f          即 ，         2 22 2 6 ' , a x b x ax f x x b            2 6 2 1 2 ,1 2 6 1 3 21 a b a a b a b b                解得 ，∴   2 2 6 3 xf x x    （II）     2 22 2 12 6' 3 x xf x x      ，  ' 0 3 2 3f x x   由 得到3-2 3 ； 由  ' 0f x  得到， 3 2 3 3 2 3x x   或 所以函数 f(x) 在 ( ,3 2 3), (3 2 3, )    上单调递减，在 (3 2 3,3 2 3)  上单调递 增 20．（本小题满分 12分） 如图，直二面角 D—AB—E中，四边形 ABCD是边长为 2的正 方形，AE=EB，F为 CE上的点，且 BF⊥平面 ACE. （Ⅰ）求证 AE⊥平面 BCE； F E D C BA （Ⅱ）求二面角 B—AC—E的大小； （Ⅲ）求点 D到平面 ACE的距离. 本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识，考察空间想象能力，逻辑思 维能力和运算能力 （I） , ,BF ACE BF AE   平面 D-AB-E ABCD ABE 二面角 为直二面角， 平面 平面 ， BC AB BC ABE BC ,AE    又 ， 平面 ， BF BCE BF BC=B BCEAE  又 平面 ， ， 平面 。 （II）连结 AC、BD交于 G，连结 FG，∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面 ACE， ∴FG⊥AC，∠FGB为二面角 B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面 BCE，∴AE⊥EB， 又 AE=EB，AB=2，AE=BE= 2 ， 在直角三角形 BCE中，CE= 2 2 2 2 26, 6 3 BC BEBC BE BF CE       在正方形中，BG= 2 ，在直角三角形 BFG 中， 2 63sin 32 BFFGB BG     ∴二面角 B-AC-E为 6arcsin 3 （III）由（II）可知，在正方形 ABCD 中，BG=DG，D到平面 ACB 的距离等于 B 到平面 ACE 的距离，BF⊥平面 ACE，线段 BF 的 长度就是点 B到平面 ACE的距离，即为 D到平面 ACE的距离所 以 D到平面的距离为 2 2 3 33  另法：过点 E作 ABEO  交 AB于点 O. OE=1. ∵二面角 D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面 ABCD. 设 D到平面 ACE的距离为 h， ,ACDEACED VV   . 3 1 3 1 EOShS ACDACB   AE 平面 BCE， .ECAE  . 3 32 62 2 1 122 2 1 2 1 2 1        ECAE EODCAD h ∴点 D到平面 ACE的距离为 . 3 32 解法二： G F E D C B A O （Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）以线段 AB 的中点为原点 O，OE 所在直线为 x轴，AB 所在直线为 y轴，过 O 点平行于 AD的直线为 z轴，建立空间直角坐标系 O—xyz，如图. AE 面 BCE，BE面 BCE， BEAE  ， 在 ABOABAEBRt 为中 ,2,  的中点， ).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(.1 CEAOE  ).2,2,0(),0,1,1(  ACAE 设平面 AEC 的一个法向量为 ),,( zyxn  ， 则            .022 ,0 ,0 ,0 xy yx nAC nAE 即 解得      , , xz xy 令 ,1x 得 )1,1,1( n 是平面 AEC的一个法向量. 又平面 BAC的一个法向量为 )0,0,1(m ， . 3 3 3 1 |||| ,),cos(    nm nmnm ∴二面角 B—AC—E的大小为 . 3 3arccos （III）∵AD//z轴，AD=2，∴ )2,0,0(AD ， ∴点 D到平面 ACE的距离 .3 3 2 3 2 || ||,cos|||    n nADnADADd 21．（本小题满分 12分） 已知方向向量为 v=(1, 3 )的直线 l过点（0，－2 3）和椭圆 C： )0(12 2 2 2  ba b y a x 的焦点，且椭圆 C的中心关于直线 l的对称点在椭圆 C的右准线上. （Ⅰ）求椭圆 C的方程； （Ⅱ）是否存在过点 E（－2，0）的直线 m 交椭圆 C 于 点M、N，满足 6 3 4 ONOM cot∠MON≠0（O为原点） 若存在，求直线 m的方程；若不存在，请说明理由. 本题考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的 基本方法和综合解题能力 M F E D C B A y x O z E x O y （I）解法一：直线 323:  xyl ， ① 过原点垂直 l的直线方程为 xy 3 3  ， ② 解①②得 . 2 3 x ∵椭圆中心（0，0）关于直线 l的对称点在椭圆 C的右准线上， .3 2 32 2  c a ∵直线 l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）. .2,6,2 22  bac 故椭圆 C的方程为 .1 26 22  yx ③ 解法二：直线 333:  xyl . 设原点关于直线 l对称点为（p，q），则         .13 32 2 3 2 p q pq 解得 p=3. ∵椭圆中心（0，0）关于直线 l的对称点在椭圆 C的右准线上， .3 2  c a ∵直线 l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）. .2,6,2 22  bac 故椭圆 C的方程为 .1 26 22  yx ③ （II）解法一：设M（ 11, yx ），N（ 22 , yx ）. 当直线 m 不垂直 x轴时，直线 )2(:  xkym 代 入③，整理得 ,061212)13( 2222  kxkxk , 13 612, 13 12 2 2 212 2 21      k kxx k kxx , 13 )1(62 13 6124) 13 12(14)(1|| 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 21 2         k k k k k kkxxxxkMN 点 O到直线MN的距离 21 |2| k kd   N M E xO ,cot6 3 4 MONONOM  即 ,0 sin cos6 3 4cos||||     MON MONMONONOM ,6 3 4||.6 3 2,6 3 4sin||||   dMNSMONONOM OMN 即 ).13(6 3 41||64 22  kkk 整理得 . 3 3, 3 12  kk 当直线 m垂直 x轴时，也满足 6 3 2 OMNS . 故直线 m的方程为 , 3 32 3 3  xy 或 , 3 32 3 3  xy 或 .2x 经检验上述直线均满足 0ONOM . 所以所求直线方程为 , 3 32 3 3  xy 或 , 3 32 3 3  xy 或 .2x 解法二：设M（ 11, yx ），N（ 22 , yx ）. 当直线 m不垂直 x轴时，直线 )2(:  xkm 代入③，整理得 ,061212)13( 2222  kxkxk , 13 12 2 2 21   k kxx ∵E（－2，0）是椭圆 C的左焦点， ∴|MN|=|ME|+|NE| = . 13 )1(6262) 13 12( 6 22)()()( 2 2 2 2 212 2 1 2      k k k kaxx a cx c aex c ae 以下与解法一相同. 解法三：设M（ 11, yx ），N（ 22 , yx ）. 设直线 2:  tyxm ，代入③，整理得 .024)3( 22  tyyt , 3 2, 3 4 221221      t yy t tyy . )3( 2424 3 8) 3 4(4)(|| 22 2 2 2 2212121        t t tt tyyyyyy N M E xO y ,cot6 3 4 MONONOM  即 ,0 sin cos6 3 4cos||||     MON MONMONONOM .6 3 2,6 3 4sin||||  OMNSMONONOM   |||| 2 1 21 yyOESSS OENOEMOMN . )3( 2424 22 2   t t ∴ 22 2 )3( 2424   t t = 6 3 2 ，整理得 .3 24 tt  解得 ,3t 或 .0t 故直线 m的方程为 , 3 32 3 3  xy 或 , 3 32 3 3  xy 或 .2x 经检验上述直线方程为 .0ONOM 所以所求直线方程为 , 3 32 3 3  xy 或 , 3 32 3 3  xy 或 .2x 22．（本小题满分 14分） 已知数列{an}满足 a1=a, an+1=1+ na 1 我们知道当 a取不同的值时，得到不同的数列，如 当 a=1时，得到无穷数列： .0,1, 2 1:, 2 1;, 3 5, 2 3,2,1  得到有穷数列时当a （Ⅰ）求当 a为何值时 a4=0； （Ⅱ）设数列{bn}满足 b1=－1, bn+1= )( 1 1   Nn bn ，求证 a取数列{bn}中的任一个数， 都可以得到一个有穷数列{an}； （Ⅲ）若 )4(2 2 3  nan ，求 a的取值范围. 本题主要考查数列不等式的基础知识，考察逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力 （I）解法 1： 1 4 3 2 1 1 1 1 1 21 , , 0, 1, , ; 1 2 3n n n n a a a a a a a a a                  解法 2： 1 1 2 3 4 4 1 1 2 1 3 2 2, 1 , . , , 0, 1 1 3n n a a aa a a a a a a a a a a a                   （II） 1 1 1 1, 1, { } , 1n n n n n n n b b a b b a b b b         若 取数列 的一个数 即 , 1 3 2 1 2 1 1 1 1 11 1 , 1 1 , ,n n n n b a b a b a b             2则a 1 1 1 11, 1 0n n n a b a a          所以数列{ }na 只能有 n项为有穷数列 （III）解法一：因为         1 1 1 1 1 3 11 2 1 2 23 32 4 5 5 2 532 223 2 2 2 n n n n n n a aa n n n a n a a                             所以   4 3 3 3 3 22 4 2 2 0 2 2 2 2 1n aa n a a a              这就是所求的取值范围 解法二： 1 1 2 3 4 5 6 1 1 2 1 3 2 5 3 8 5, 1 , . , , , , 1 2 1 3 2 5 3n n a a a a aa a a a a a a a a a a a a a                     为运算方便，引入 Fibonacci 数列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233… 令 0 1 2 3 4 5 61, 1, 2, 3, 5, 8, 13,F F F F F F F        当 n＞1 时，Fn+2- Fn+1 ＝ Fn，而 0 1 1F F  容易观察得到 1 2 2 3 n n n n n F a Fa F a F         4n  特别地，   4 3 3 3 3 22 4 2 2 0 2 2 2 2 1n aa n a a a                5 3 3 3 5 32 4 2 2 0 2 2 2 3 2n aa n a a a              所以，当 0a  时，对于 6n  ， 由    1 2 2 3 3 32 6 2 6 2 2 n n n n n F a Fa n n F a F              2 3 1 2 2 33 3 2 2 4 4n n n n n nF a F F a F F a F           2 3 1 2 1 2 2 3 3 3 2 2 2 2 4 4 n n n n n n n n F a F F a F F a F F a F                 3 2 1 2 2 3 2 1 3 2 (2 3 ) 2 4 (4 2 ) n n n n n n n n F F F F a F F F F a                 3 4 3 2 4 3 2 3 2 (2 ) 2 2 (2 2 ) n n n n n n n n F F F F a F F F F a                 5 4 3 4 5 4 ( ) 2 2 n n n n n n F F F F a F F a              6 5 5 4 n n n n F F a F F a          恒成立；所以 0a  所以  3 2 4 0 2 na n a     这就是所求的取值范围