【数学】2019届一轮复习北师大版 坐标系与参数方程 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 坐标系与参数方程 学案

专题七 选修4系列 第一讲 坐标系与参数方程(选修4－4)‎ 高考导航 ‎1．考查极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化．‎ ‎2．借助极坐标方程、参数方程考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系.‎ ‎1．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎[解] (1)由消去α，得C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由ρsin＝2，得ρsinθ＋ρcosθ－4＝0，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝ ‎＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈ )时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎[解] (1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)．‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．‎ 联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．‎ 故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.‎ 考点一 极坐标方程及其应用 ‎1．直角坐标与极坐标的互化公式 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则 ‎2．几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.‎ ‎(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ.‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asinθ.‎ ‎3．几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.‎ ‎(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a.‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b.‎ ‎[解] (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程 ρ＝4cosθ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积 S＝|OA|·ρA·sin∠AOB ‎＝4cosα· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎ 解决极坐标问题应关注的两点 ‎(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决．‎ ‎(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利．‎ ‎ [对点训练]‎ ‎(2017·太原模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ ‎[解] (1)由ρcos＝1，‎ 得ρ＝1.因为 所以C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y＝2.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，所以N.‎ ‎(2)由(1)可知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为，‎ 则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．‎ 考点二 参数方程及其应用 ‎1．圆的参数方程 以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．‎ ‎2．椭圆的参数方程 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．‎ ‎3．直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．‎ 角度1：参数方程与普通方程的互化 ‎ [解] (1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝8；‎ 当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ 角度2：直线参数方程中参数几何意义的应用 ‎【例2－2】 (2017·湖南省五市十校高三联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C：(θ为参数)相交于不同的两点A，B.‎ ‎(1)若α＝，求线段AB的中点的直角坐标；‎ ‎(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|·|PB|的值．‎ ‎[思维流程] ‎ ‎[解] (1)由曲线C：(θ为参数)，可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.‎ 当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝6，所以线段AB的中点对应的t＝＝3，‎ 故线段AB的中点的直角坐标为.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得 ‎(cos2α－sin2α)t2＋6tcosα＋8＝0，‎ 则|PA|·|PB|＝|t1t2|‎ ‎＝＝，‎ 由已知得tanα＝2，故|PA|·|PB|＝.‎ ‎ 解决参数方程问题的3个要点 ‎(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．‎ ‎(2)把普通方程化为参数方程的关键是选准参数，注意参数的几何意义及变化范围．‎ ‎(3)直线参数方程为(α为倾斜角，t为参数)，其中|t|＝|PM|，P(x，y)为动点，M(x0，y0)为定点，在解决与点P有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用．‎ ‎ [对点训练]‎ ‎1．[角度1](2017·湖南岳阳一模)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求曲线C和直线l的普通方程；‎ ‎(2)直线l与曲线C交于B，D两点，当|BD|取到最小值时，求a的值．‎ ‎[解] (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)，消去参数θ，得曲线C的普通方程为：x2＋(y－3)2＝9，其圆心C(0,3)，半径r＝3.‎ 直线l的参数方程为(t为参数)，消去参数t可得：x－ay＋a＋1＝0.‎ ‎(2)由直线l经过定点P(－1,1)，此点在圆的内部，‎ 因此当CP⊥l时，|BD|取到最小值，‎ 则kCP·kl＝×kl＝－1，解得kl＝－.‎ ‎∴＝－，解得a＝－2.‎ ‎2．[角度2]已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)．‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．‎ ‎[解] (1)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ.因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)将代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4，得(tcosα－1)2＋(tsinα)2＝4，化简得t2－2tcosα－3＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由根与系数的关系，得 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，‎ 故4cos2α＝1，解得cosα＝±.‎ 因为直线的倾斜角α∈[0，π)，所以α＝或.‎ 考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用 ‎1．‎ 对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．‎ ‎2．对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷．‎ ‎[思维流程] ‎ ‎(1)→―→ ‎(2)―→―→―→ ‎[解] (1)由题意知，曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆，‎ 直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.‎ 由直线l与圆C只有一个公共点，可得＝a，‎ 解得a＝1，a＝－3(舍)．‎ 所以a＝1.‎ ‎(2)曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆，且∠AOB＝，由正弦定理得＝2a，所以|AB|＝a.‎ 又|AB|2＝3a2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|·cos ‎≥|OA|·|OB|，‎ 所以S△OAB＝|OA|·|OB|sin≤×3a2×＝，‎ 所以△OAB面积的最大值为.‎ ‎ 解决极坐标与参数方程问题的关键 ‎(1)会转化——把直线与圆的参数方程转化为普通方程时，要关注参数的取值范围的限定，还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式．‎ ‎(2)懂技巧——利用参数及其几何意义，结合关系式寻找关于参数的方程或函数．‎ ‎[对点训练]‎ 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ‎(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．‎ ‎[解] (1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0.‎ 曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3.‎ ‎(2)∵曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，‎ 即x2＋＝1，‎ ‎∴曲线C上的点的坐标可表示为(cosα，sinα)．‎ ‎∴d＝＝ ‎＝.∵2sin＋3≥1>0，‎ ‎∴d的最小值为＝，d的最大值为＝.‎ ‎∴≤d≤，即d的取值范围为.‎