【数学】2019届一轮复习北师大版复数的相关概念理解失误学案

【数学】2019届一轮复习北师大版复数的相关概念理解失误学案

‎ ‎ 专题十一 算法、推理与证明、复数 误区一：复数的相关概念理解失误 一、知识辨析 数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程,同时体现了数学发生、发展的客观需求,复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.在数学发展史上,虚数被认为是“人类意识的创造物”的典型之一,但复数的虚数毕竟是历史上经历很长时间才被数学家接受的,与实数相比较为难以理解.因此,在学习这部分内容时,一些同学由于对复数与实数的异同辨析不清,对相关概念理解不透或错误,加上审题不严,考虑不周,忽视、甚至挖掘一出题中隐含条件,常使解题发生错误..‎ ‎2.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ ‎3.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．‎ 二、典例精析 一、复数的虚部带不带 ‎【例1】【2015届辽宁省大连市第二十高级中学高三上学期期中考试】复数（为虚数单位）的虚部是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【错解】因为,所以正确答案为B.‎ ‎【点评】本题考查了复数的概念,复数的代数运算.在复数的概念中虚部中究竟带不带,是中学生很容易出错的地方,其实所有学生都不会认为这是一个难点,因为复数本身在高考中的要求并不高,学生也认为不难理解,一般考题都以基础题、送分题为主,故思想上有时也不重视,故而产生失误.‎ ‎【牛刀小试】【河北沧州一中校2017届高三11月月考】已知复数,则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因,故应选D.‎ 二、纯虚数的条件不清 ‎【例2】若复数（为虚数单位）是纯虚数,则实数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【错解】由复数（为虚数单位）是纯虚数,得,解得：,故选A．‎ ‎【分析】根据复数为纯虚数的充要条件是：,二者缺一不可,结合本题可得要满足：,进而求出.‎ ‎【解析】由复数（为虚数单位）是纯虚数,得,解得：,故选B．‎ ‎【点评】本题考查了复数的概念,特别是纯虚数的条件.在高考中复数作为一个必考的知识点,而且是一个较易理解、较易得分的知识,中学复习往往一带而过,不是很重视,这对于一些基础不是很好的学生往往会产生一知半解的错误,其中一个复数何时是纯虚数的条件是一个典型,事实上也是各地模考和各省高考常考的一个知识点,应引起复习中的重视.学 = ‎ 解决复数概念问题的方法及注意事项 ‎(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ ‎(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部．‎ ‎【牛刀小试】若 1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R), 2＝3－2i,则“m＝1”是“ 1＝ 2”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由解得m＝－2或m＝1,‎ 所以“m＝1”是“ 1＝ 2”的充分不必要条件．‎ 三、乱用一元二次方程根的判别式 ‎【例3】已知关于x的一元二次方程有实数根,求的取值范围.‎ ‎【错解】由于一元二次方程有实数根,可得判别式：,解得：或.‎ ‎【点评】本题考查了复数的概念和一元二次方程解的情况.对于一元二次方程通过根的判别式来确定根的个数,这是在实数范围内才能成立的,在复数范围内就不适用了,这是很多学生所无法理解的,是中学阶段复数的一个难点,这需要老师的强化和学生的领悟方可解决的问题.‎ ‎【小试牛刀】已知关于x的方程：x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根b．‎ ‎（1）求实数a,b的值．‎ ‎（2）若复数 满足|﹣a﹣bi|﹣2| |=0,求 为何值时,| |有最小值,并求出| |的值．‎ ‎【答案】(1);(2) 当 =1﹣i时,| |有最小值且| |min=．‎ ‎【分析】(1)将实数根代入后,复数为0表示为实部为0,虚部为0,解出与;‎ ‎(2) 先把代入方程,同时设复数,化简方程,根据表达式的几何意义,方程表示圆,‎ 再数形结合,表示为圆上点到原点的距离,求出,得到．‎ ‎【解析】（1）∵b是方程x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的实根, 学 ‎ ‎∴（b2﹣6b+9）+（a﹣b）i=0,‎ ‎∴解之得a=b=3．‎ ‎（2）设 =x+yi（x,y∈R）,由|﹣3﹣3i|=2| |,‎ 得（x﹣3）2+（y+3）2=4（x2+y2）,‎ 即（x+1）2+（y﹣1）2=8,‎ ‎∴ 点的轨迹是以O1（﹣1,1）为圆心,2为半径的圆,如图所示,‎ 如图,‎ 当 点在OO1的连线上时,| |有最大值或最小值,‎ ‎∵|OO1|=半径r=2,‎ ‎∴当 =1﹣i时.| |有最小值且| |min=．‎ 三、迁移运用 ‎1.【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检】若复数满足（是虚数单位）,则复数的共轭复数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,得,所以,故选B．‎ ‎2.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断考试】设是虚数单位,则复数的虚部为（ ）‎ A． B． 4 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,其虚部为,故选D．‎ ‎3.【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试】已知是虚数单位,若复数在复平面内对应的点在第四象限,则实数的值可以是（ ）‎ A．-2 B．‎1 ‎‎ C．2 D．3 学 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,对应点在第四象限,故,A选项正确.‎ ‎4. 【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试】已知复数,则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】,虚部为.‎ ‎5. 【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称,若.是虚数单位,则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知有复数,所以,虚部为,选D.‎ ‎6. 【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考数学（理）试题】复数满足,则等于（ ）‎ A．1 B． C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,故,故应选B.‎ ‎7. 【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】设复数满足（其中为虚数单位）,则的模为（ ）‎ ‎ A．1 B． C． D．3 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,故选A.‎ ‎8. 【河南省开封市2017届高三上学期10月月考】 复数 满足（1-i） =m+i （m∈R, i为虚数单位）,在复平面上 对应的点不可能在 ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎:【答案】D ‎【解析】,复平面上 对应的点不可能在第四象限. ‎ ‎9.【贵州遵义市2017届高三第一次联考】已知复数,若,则复数的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】,选B.‎ ‎10.【重庆八中2017届高三上学期二调】复平面内,复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由,则对应的点在第二象限,故选B.‎ ‎11.【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测】已知,是虚数单位.若与互为共轭复数,则（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】,所以互为共轭复数为,即,所以,故选D.学 ！ ‎ ‎12．【2016届河北省武邑中学高三上学期测试】已知为虚数单位,,若是纯虚数,则的值为（ ）‎ A．或 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为＝为纯虚数,所以且,所以,故选C．‎ ‎13．【2016届云南师范大学附属中学高三月考】设i是虚数单位,复数是纯虚数,则实数a=（ ）‎ A．-2 B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】是纯虚数,且,,故选D．‎ ‎14.已知复数 满足,则 的虚部为( ) A、i B、－‎1 ‎C、1 D、－i ‎【答案】C ‎【解析】由已知,1＋ ＝(1－ )i,则 ＝＝i,虚部为1‎ ‎15．对于非零复数,以下有四个命题 ‎①‎ ‎②‎ ‎③若,则.‎ ‎④若则.则一定为真的有（ ）‎ A、②④ B、①③ C、①② D、③④‎ ‎【答案】A ‎16．下列四个命题：‎ ‎①满足的复数只有1,I;‎ ‎②若a,b是两个相等的实数,则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数;‎ ‎③| +|=2| |;‎ ‎④复数 R的充要条件是 =;‎ 其中正确的有（ ）‎ ‎(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 ‎【答案】B ‎【解析】对于① =1,可判断错误；对于②找出反例a=b=0不满足题意,判定错误；③若 =i,则其不正确；对于④ = ,则其虚部为0,故正确．故可得答案．‎ 解答：解：对于①有： =1,±i不满足,可判断错误；‎ ‎②（a-b）+（a+b）i=2ai,∴a=b≠0时,（a-b）+（a+b）i是纯虚数,错误；‎ ‎③若 =i,则其不正确；‎ 对于④ =,则其虚部为0,故正确；‎ 故答案为④．‎ 故选B．‎