2019-2020学年河南省天一大联考高一上学期第二次阶段性测试数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省天一大联考高一上学期第二次阶段性测试数学试题（解析版）

2019-2020 学年河南省天一大联考高一上学期第二次阶段性 测试数学试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求得集合 N,再由集合补集与交集的运算即可求解. 【详解】 集合 ,求解得 则由补集运算可得 由交集运算可知 故选:C 【点睛】 本题考查了集合的补集与交集的简单运算,属于基础题. 2．直线 ： 与直线 ： 垂直，则 的值为（ ） A．－1 B．1 C．1 或－1 D．－2 或－1 【答案】B 【解析】根据两直线 ： 与 ： 垂直，则 得到方程，解得即可. 【详解】 解：直线 ： 与直线 ： ，若 ，需 ，解得 . 故选： 【点睛】 本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题.. 3．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为 6 的半圆，则该圆锥的体积为（ ） { }3M x x= < { }2N x y x= = − RM N = { }2 3x x≤ ≤ { }2 3x x< ≤ { }2 3x x< < { }2 3x x≤ < { }2N x y x= = − { }2N x x= ≤ { }2R N x x= > { } { } { }3 2 2 3RM N x x x x x x∩ = < ∩ > = < < 1l 2 ( 1) 4 0x m y− + + = 2l 2 0mx y+ − = m 1l 1 1 1 0A x B y C+ + = 2l 2 2 2 0A x B y C+ + = 1 2 1 2 0A A B B+ = 1l 2 ( 1) 4 0x m y− + + = 2l 2 0mx y+ − = 1 2l l⊥ 2 ( 1) 0m m− + = 1m = B A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面圆的半径为 ，根据侧面展开图的弧长与底面周长相同，求得底 面半径，再由勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式计算可得. 【详解】 解：设圆锥的底面圆的半径为 ，则由题意可得 .所以 ， 所以圆锥的高 .所以该圆锥的体积 . 故选： 【点睛】 本题考查圆锥的体积及侧面展开图的计算，属于基础题.. 4．设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据对指数函数与对数函数的图像与性质,判断出 的范围,即可比较大小. 【详解】 由指数函数与对数函数的图像与性质可知 所以 故选:C 【点睛】 本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,利用中间值法比较大小,属于基础题. 5．下列函数既是偶函数又在区间 上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 9 3π 27 3π 54π 81π r r 12 2 62rπ π= × × 3r = 2 26 3 3 3h = − = 21 3 3 3 9 33V π π= × × × = A 2 1loga e = 1 1 e b e − =    ln 2c = b a c> > c b a> > b c a> > c a b> > , ,a b c 2 1log 0a e = < 1 1 11 e eb ee − =   =  >  0 ln2 1c< = < b c a> > (0, )+∞ ( ) | 1|f x x= + ( ) 1f x x x = + ( ) 2ln 1f xx = + ( ) 4f x x−= 【解析】根据函数解析式,结合偶函数性质及函数的单调性,即可判断选项. 【详解】 对于 A,函数 不是偶函数,所以 A 错误; 对于 B,函数 为奇函数,不是偶函数,所以 B 错误; 对于 C, 为偶函数,但在区间 上是增函数,所以 C 错误; 对于 D, 为偶函数,且在区间 上是减函数,所以 D 正确. 综上可知,正确的为 D 故选:D 【点睛】 本题考查由函数解析式判断函数奇偶性及单调性,属于基础题. 6．下列区间，包含函数 零点的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数单调性,结合零点存在定理,即可判断函数零点所在区间. 【详解】 根据函数解析式可知 在 上为单调递增函数 且 由零点存在定理可知,零点位于 内 故选:C 【点睛】 本题考查了函数零点存在定理的应用.在判断函数零点所在区间时,需先判断函数的单调 性,才能说明函数零点的唯一性,属于基础题. 7．已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中不 正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 ( ) | 1|f x x= + ( ) 1f x x x = + ( ) 2ln 1f xx = + (0, )+∞ ( ) 4 4 1f x x x −= = (0, )+∞ ( ) 1 2ln 3xf x x = − − (0,1) (1,2) (2,3) (3,4) ( ) 1 2ln 3xf x x = − − ( )0, ∞+ ( ) 1 52ln1 01 3 31f = − − = − < ( ) 1 2 7ln 2 ln 2 02 3 62f = − − = − < ( ) 1 2ln3 ln3 1 03 33f = − − = − > (2,3) m n α β γ //α γ //β γ //α β m α⊥ m β⊥ //α β C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【答案】C 【解析】根据线面、面面平行与垂直的判定定理及性质定理即可得解. 【详解】 解：若 ， ，则 ，故 A 正确； 若 ， ，一定有 ，故 B 正确； 若 ， ，则 与 可以平行、相交或者异面，故 C 错误； 若 ， ，则一定有 ，故 D 正确. 故选： 【点睛】 本题考查空间线面关系的判定和性质，属于基础题. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A．12 B． C．8 D． 【答案】D 【解析】根据三视图可知，该几何体是由棱长为 2 的正方体截得的四棱锥 ， 画出直观图，结合图形计算可得. 【详解】 解：由三视图可知，该几何体是由棱长为 2 的正方体截得的四棱锥 .如图所示 ， ， 所以它的表面积为 . //m α //n α //m n m α⊥ n α⊥ //m n //α γ //β γ //α β m α⊥ m β⊥ //α β //m α //n α m n m α⊥ n α⊥ //m n C 8 2 2+ 8 4 2+ S ABCD− S ABCD− 2 2 4ABCDS∴ = × =  2 21 2 2 2 2 22BCS DCSS S∆ ∆= = × × + = 1 22BSA DSA ABCDS S S∆ ∆= = =  2 2 8 4 2ABCD BCSS S∆+ = +  故选： 【点睛】 本题考查空间几何体的三视图以及锥体的表面积计算，属于基础题. 9．设直线 与圆 ： 相交于 ， 两点.若 ，则实数 的值为（ ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【解析】首先将圆的方程配成标准式，由 则 ，即可求出圆心到直线 的距离，再用点到线的距离公式计算可得. 【详解】 解：由 ，得 ，所以圆心为 ，半径为 . 因为 所以 ，那么圆心 到直线 的距离为 ， 即 ，所以 或 . 故选： 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题. 10．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 2 的等边 三角形， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A D 0x y a+ + = C 2 2 2 4 1 0x y x y+ − + + = P Q CP PQ= a 6 1− 6 1− 6 1+ 1 6+ 1 6+ 1 6− CP PQ= | | 2PQ = 2 2 2 4 1 0x y x y+ − + + = 2 2( 1) ( 2) 4x y− + + = (1, 2)− 2 CP PQ= | | 2PQ = (1, 2)C − 0x y a+ + = 32 32 × = |1 2 | 3 2 ad − += = 1 6a = + 1 6− D S ABC− SAB ⊥ SAC SAB∆ 90ASC∠ = ° 2 3SC = BC SAC 3 4 3 8 1 4 1 8 【解析】取 的中点为 ，连接 ， ，由面面垂直的性质得到 平面 ，即可得到 就是直线 与平面 所成的角，再由线面垂直的性质及判 定定理可得 平面 ，即可得到 ，最后由勾股定理及三角函数求得. 【详解】 解：取 的中点为 ，连接 ， .因为 是边长为 2 的等边三角形， 所以 ，且 ， 平面 ， 又因平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ， 所以 就是直线 与平面 所成的角. 又 平面 ，可得 .由 平面 ， 平面 可得 ，又 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以 . 在 中，由 ， ，可得 . 在 中， . 故选： 【点睛】 本题考查直线与平面所成的角，线面垂直的判定及性质的应用，属于难题. 11．已知偶函数 （ 且 ）在 上单调递减，则 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】根据偶函数性质,可求得 ,结合函数的单调性即可求得 的取值范围.通过比较 与 的大小关系,即可比较大小. SA M MC MB BM ⊥ SAC BCM∠ BC SAC SC ⊥ SAB SC SB⊥ SA M MC MB SAB∆ BM SA⊥ 3BM = BM ⊂ SAB SAB ⊥ SAC SAB  SAC SA= BM ⊥ SAC BCM∠ BC SAC MC ⊂ SAC BM MC⊥ BM ⊥ SAC SC ⊂ SAC BM SC⊥ SC SA⊥ SA ⊂ SAB BM ⊂ SAB BM SA M= SC ⊥ SAB SB ⊂ SAB SC SB⊥ Rt SBC∆ 2 3SC = 2SB = 2 2 4BC SC SB= + = Rt MBC∆ 3sin 4 MBBCM BC ∠ = = A ( ) log | |af x bx = − 0a > 1a ≠ ( ,0)−∞ ( )f b a− ( )2 1f a + ( ) ( )2 1f b a f a> +− ( ) ( )2 1f b a f a< +− ( ) ( )2 1f b a f a= +− b a 2 1a + a− 【详解】 因为 为偶函数 所以 ,即 所以 对 恒成立 解得 即 因为偶函数 （ 且 ）在 上单调递减,则 在 上单调递增 所以由对数函数的图像与性质可知 而 所以 故选:B 【点睛】 本题考查了由偶函数的性质求参数,根据函数单调性比较抽象函数的大小关系,综合性较 强,属于中档题. 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据三视图画出直观图，将该四面体嵌入到一个直三棱柱中，四面体的外接球 即直三棱柱的外接球，再将其转化为长方体，则长方体的体对角线为外接球的直径，再 根据球的体积公式计算可得. 【详解】 解：该几何体是一个四面体，画出其直观图，如图中的四面体 .该四面体可以嵌 ( ) log | |af x bx = − ( ) ( )f x f x= − log | | log | |a ax b x b− = − − | | | |x b x b− = − − ( ) ( ),0 0,x∈ −∞ +∞ 0b = ( ) log | |af x x= ( ) log | |af x x= 0a > 1a ≠ ( ,0)−∞ ( ) log | |af x x= ( )0, ∞+ 1a > 2 1 1a a+ > − > ( ) ( ) ( )2 1f a f a f a+ > − = − 8 2 3 π 4 2π 4 3π 8 6π ABCD 入到一个直三棱柱中，四面体的外接球即直三棱柱的外接球.该三棱柱的底面是斜边长 为 2 的等腰直角三角形，三棱柱的高为 2，可以扩展到一个底面是边长为 的正方形， 高为 2 的长方体中，从而求得其外接球半径为 ， 所以外接球体积 . 故选： 【点睛】 本题考查三视图的还原和外接球问题. 二、填空题 13．计算： ______. 【答案】5 【解析】根据指数的性质，对数的运算及对数的性质计算可得. 【详解】 解： . 故答案为： 【点睛】 本题考查指数、对数的运算，属于基础题. 14．设函数 若 ，则 ________. 2 ( ) ( )2 2 21 2 2 2 22r = + + = 34 8 2 3 3V rπ π= = A 6 1log 02 2log 8 lg 25 lg 4 6 9.8+ + + + = 6 1log 02 2log 8 lg25 lg4 6 9.8+ + + + ( )3 2 2 1log 2 lg 25 4 12 = + × + + 3 12 1 52 2 = + + + = 5 ( ) ( ) 1 4 2 , 1, log 2 1 , 1, x x x f x x − <=  − ≥ ( ) 1 2f x = x = 【答案】0 或 【解析】根据分段函数解析式,分段即可求得自变量的值. 【详解】 当 时, .若 ,即 ,解得 ,符合题意 当 时, . 若 ,即 ,所以 则 ,解得 ,符合题意 综上可知,若 时, 或 故答案为: 或 【点睛】 本题考查了分段函数的求值,属于基础题. 15．数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心和垂心（外心是三角形三条 边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高所在直线 的交点）依次位于同一条直线上这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知 的顶 点 ， ，且 ，则 的欧拉线方程为______. 【答案】 【解析】依题意，在 中， ，所以它的外心、重心和垂心都在 的中 垂线上，则 的欧拉线方程即为 的中垂线，首先求出 的中点，再求出 ，最后利用点斜式计算可得. 【详解】 解：由 ， 可得 的中点坐标为 ，再由 ，所 以 的中垂线方程为 ，即 . 又因为 中， ，所以它的外心、重心和垂心都在 的中垂线上，所以 的欧拉线的方程为 . 故答案为： 【点睛】 本题考查直线方程的求法及数学文化，属于基础题. 2log 3 1x < ( ) 12xf x −= ( ) 1 2f x = 12 1 2 x− = 0x = 1x ≥ ( ) ( )4log 2 1xf x = − ( ) 1 2f x = ( )4 1log 2 21x =− 2 1 2x − = 2 3x = 2log 3x= ( ) 1 2f x = 0x = 2log 3x= 0 2log 3 ABC∆ ( 1,2)B − (3,4)C AB AC= ABC∆ 2 5 0x y+ − = ABC∆ AB AC= BC ABC∆ BC BC BCk ( 1,2)B − (3,4)C BC (1,3) 4 2 1 3 ( 1) 2BCk −= =− − BC 3 2( 1)y x− = − − 2 5 0x y+ − = ABC∆ AB AC= BC ABC∆ 2 5 0x y+ − = 2 5 0x y+ − = 16．已知函数 的图象与直线 恰有两个交点，则实数 的取值 范围是________. 【答案】 【解析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结 合图像即可求得 的取值范围. 【详解】 函数 定义域为 当 时, 当 时, 当 时, 画出函数图像如下图所示: 直线 过定点 由图像可知,当 时,与 和 两部分图像各有一个交点; 当 时,与 和 两部分图像各有一个交点. 综上可知,当 时与函数有两个交点 故答案为: 【点睛】 本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题. ( ) 2 1 1x x xf − = − 2y kx= + k ( 4, 1) ( 1,0)− − ∪ − k ( ) 2 1 1x x xf − = − { }1x x ≠ 1x ≤ − ( ) 2 1 11 x xxf x −= = − −− 1 1x− < < ( ) 21 11 x xxf x −= = +− 1 x< ( ) 2 1 11 x xxf x −= = − −− 2y kx= + ( )0,2 1 0k− < < 1x ≤ − 1 1x− < < 4 1− < < −k 1 1x− < < 1 x< ( ) ( )4, 1 1,0k ∈ − − ∪ − ( ) ( )4, 1 1,0− − ∪ − 三、解答题 17．已知集合 为函数 的定义域，集合 为函数 的值域. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，且 ，求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）根据对数性质及二次根式有意义条件,先求得集合 A,由指数的图像与性 质,求得集合 B,即可由集合交集的运算求得 . （Ⅱ）讨论 与 两种情况.根据集合的包含关系,即可求得 的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）由函数 的定义域需满足 解得 ,所以 . 设 ,则 , 所以 , 所以 . 所以 . （Ⅱ）由于 , 若 ,则需 ,解得 ； 若 ,则需 解得 . A ( ) 2 1log (1 ) 1 f x x x = − + + B ( ) 223 3x xg x −= − A B { | 1 1 2 }C x a x a= − < < − ( )C A B⊆  a { }| 1 0B x xA − <= ≤ 1 ,2  +∞  A B C = ∅ C ≠ ∅ a ( )f x 1 0, 1 0, x x − >  + > 1 1x− < < { }| 1 1A x x= − < < 22t x x= − 22 ( ,1]t x x= − ∈ −∞ 3 (0,3]t ∈ { }| 3 0}B y y= − < ≤ { }| 1 0B x xA − <= ≤ ( )C A B⊆  C = ∅ 1 1 2a a− ≥ − 2 3a ≥ C ≠ ∅ 2 ,3 1 1, 1 2 0, a a a  <  − ≥ −  − ≤  1 2 2 3a≤ < 综上,实数 的取值范围为 . 【点睛】 本题考查了函数定义域的求法,指数函数值域的求法,由集合的包含关系求参数,属于基 础题. 18．已知函数 . （Ⅰ）设 ，用定义证明：函数 在 上是增函数； （Ⅱ）若函数 ，且 在区间 上有零点，求实数 的取 值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）任取 ,且 ,代入解析式可求得 ,变形 后即可判断函数的单调性. （Ⅱ）先判断出函数 与 的单调性,即可根据零点存在定理求得 的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）证明:由题意得 . 任取 ,且 , 则 . 因为 ,且 , 所以 , , , 所以 , 所以函数 在 上是增函数. （Ⅱ）由题意 的定义域为 .由（Ⅰ）知, 在 上单调 递增, a 1 ,2  +∞  ( ) 2 1log 1 xx xf −= + ( ) 1 1x x xh −= + ( )h x ( 1, )− +∞ ( ) ( ) 2xg x f x m= + + ( )g x (3,5) m 2log 3 33 7m− < < − 1 2, ( 1, )x x ∈ − +∞ 1 2x x< ( ) ( )2 1h x h x− ( )f x ( )g x m ( ) 1 1 2 1 1 x x x xh x − + −= =+ + 21 1 x = − + 1 2, ( 1, )x x ∈ − +∞ 1 2x x< ( ) ( )2 1 2 21 1h x h x x  − = − +  1 21 1 x  − − +  1 2 2 2 1 1x x = −+ + ( ) ( )( )2 1 1 2 2 1 1 x x x x −= + + 1 2, ( 1, )x x ∈ − +∞ 1 2x x< 2 1 0x x− > 1 1 0x + > 2 1 0x + > ( ) ( )2 1 0h x h x− > ( )h x ( 1, )− +∞ ( )f x ( , 1) (1, )−∞ − +∞ ( )f x (1, )+∞ 所以 在 上单调递增. 因为 在区间 上有零点, 所以 所以 . 【点睛】 本题考查了利用定义判断函数的单调性,由函数单调性及零点取值范围判断参数的取值 情况,属于基础题. 19．已知圆 经过 ， 两点，且圆心 在直线 上. （Ⅰ）求圆 的标准方程； （Ⅱ）若直线 ： 与圆 相交于 ， 两点，求 的面积. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）2 【解析】（Ⅰ）设圆的方程为 ，依题意得到方程组，解得即可. （Ⅱ）联立直线与圆的方程求出交点坐标，再根据面积公式计算可得. 【详解】 （Ⅰ）设圆的方程为 .则圆心坐标为 由题意得 解得 所以圆 的方程为 ，标准方程为 . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，圆 的圆心为 ，半径 . 联立 解得 或 不妨设 ， . 因为直线 的斜率为 0，直线 的斜率不存在，所以 . ( ) ( ) 2xg x f x m= + + (3,5) ( )g x (3,5) 3 2 5 2 2 3 1(3) log 2 7 0,3 1 5 1(5) log 2 log 3 33 0,5 1 g m m g m m − = + + = + < + − = + + = − + + > + 2log 3 33 7m− < < − C (2,1)A (0,3)B C 2 3 5 0x y− + = C l 3y x= + C M N CMN∆ 2 2( 2) ( 3) 4− + − =x y 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = ,2 2 D E − −   5 2 0, 9 3 0, 3 5 0,2 D E F E F ED   + + + =  + + =  − + + = 4, 6, 9. D E F = −  = −  = C 2 2 4 6 9 0x y x y+ − − + = 2 2( 2) ( 3) 4− + − =x y C (2,3)C 2r = 2 2 3, ( 2) ( 3) 4, y x x y = +  − + − = 0, 3 x y =  = 2, 5. x y =  = (0,3)M ( )2,5N CM CN CM CN⊥ 所以 . 【点睛】 本题考查待定系数法求圆的方程、直线与圆的位置关系，属于中档题. 20．如图，在长方体 中， ， ，点 为 的 中点，点 是 的中点. （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）求点 到平面 的距离. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）首先证明 平面 ，再连接 ，可证 平面 ，即可 得证. （Ⅱ）连接 ， ，由三角形的三边关系得到 ，同理可证 ， 即可得到 平面 ，则点 到平面 的距离即线段 的长. 【详解】 解：（Ⅰ）由题意可得 ，且 ，所以四边形 是平行四边形. 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 . 所以 平面 . 如图，连接 ，则 ，且 ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 . 21 1| || | 22 2CMNS CM CN r∆ = = = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB AD= = 1 2AA = P 1DD Q 1CC 1 //QBD PAC 1B PAC 3 1 //QD PAC PQ //QB PAC 1PB 1CB 1PB PC⊥ 1PB PA⊥ 1PB ⊥ PAC 1B PAC 1PB 1//CQ PD 1CQ PD= 1CQD P 1 //QD CP 1QD ⊄ PAC PC ⊂ PAC 1 //QD PAC PQ //PQ AB PQ AB= PQBA //QB PA QB ⊄ PAC PA ⊂ PAC 所以 平面 . 而 ，且 平面 ， 平面 ， 所以平面 平面 . （Ⅱ）如图，连接 ， ，易得 ， ， ， 所以 ，所以 是直角三角形，且 . 同理 . 又 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 所以点 到平面 的距离即线段 的长，所以点 到平面 的距离为 . 【点睛】 本题考查空间平行关系的证明、点到平面距离的计算，属于中档题. 21．某公司的电子新产品未上市时，原定每件售价 100 元，经过市场调研发现，该电子 新产品市场潜力很大，该公司决定从第一周开始销售时，该电子产品每件售价比原定售 价每周涨价 4 元，5 周后开始保持 120 元的价格平稳销售，10 周后由于市场竞争日益激 烈，每周降价 2 元，直到 15 周结束，该产品不再销售. （Ⅰ）求售价 （单位：元）与周次 （ ）之间的函数关系式； （Ⅱ）若此电子产品的单件成本 （单位：元）与周次 之 间的关系式为 ， ， ，试问：此电子产品第几周的单件销售利润 （销售利润 售价 成本）最大？ 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）第10 周 【解析】（Ⅰ）根据题意,结合分段情况即可求得解析式. （Ⅱ）根据售价解析式及成本解析式,先表示出利润的函数解析式.结合二次函数性质即 //QB PAC 1QB QD Q= QB ⊂ 1QBD 1QD ⊂ 1QBD 1 //QBD PAC 1PB 1CB 2PC = 1 3PB = 1 5B C = 2 2 2 1 1PC PB B C+ = 1PB C∆ 1PB PC⊥ 1PB PA⊥ PA PC P= PA ⊂ PAC PC ⊂ PAC 1PB ⊥ PAC 1B PAC 1PB 1B PAC 3 ( )f t t *t N∈ ( )h t ( ) 21 ( 7) 1008h tt − − += [1,15]t ∈ ( )f x *t N∈ = − ( ) 100 4 , [1,5], 120, [6,10], 140 2 , [11,15], t t f t t t t + ∈ = ∈  − ∈ ( )*t N∈ 可求得最大值及对应的时间. 【详解】 （Ⅰ）当 时, ； 当 时, ； 当 时, . 所以 . （Ⅱ）由于单件电子产品的销售利润 售价 成本,即单件销售利润 , 所以,当 时, . 此时 单调递增,所以当 时, 取得最大值 . 当 时, . 当 时, 取得最大值 . 当 时, . 当 时, 取得最大值 20. 综上,该电子产品第 10 周时单件销售利润最大. 【点睛】 本题考查了分段函数在实际问题中的应用,利润问题的最值求法,二次函数的性质应用, 属于基础题. 22．已知圆 ： ，圆 ： . （Ⅰ）设直线 被圆 所截得的弦的中点为 ，判断点 与圆 的位置关系； （Ⅱ）设圆 被圆 截得的一段圆弧（在圆 内部，含端点）为 ，若直线 ： 与圆弧 只有一个公共点，求实数 的取值范围. [1,5]t ∈ ( ) 100 4f t t= + [6,10]t ∈ ( ) 120f t = [11,15]t ∈ ( ) 120 2( 10)f t t= − − 140 2t= − ( ) 100 4 , [1,5], 120, [6,10], 140 2 , [11,15], t t f t t t t + ∈ = ∈  − ∈ ( )*t N∈ = − ( ) ( ) ( )g t f t h t= − [1,5]t ∈ ( ) 21100 4 ( 7) 1008t tg t = + + − − 21 9 49 8 4 8t t= + + 21 ( 9) 48 t= + − ( )g t 5t = ( )g t 164 8 [6,10]t ∈ ( ) 21120 ( 7) 1008g t t= + − − 21 ( 7) 208 t= − + 10t = ( )g t 169 8 [11,15]t ∈ ( ) 21140 2 ( 7) 1008t tg t = − + − − 21 15 369 8 4 8t t= − + 21 ( 15) 188 t= − + 11t = ( )g t 1C 2 2( 3) 4x y− + = 2C 2 23 9 2 4x y − + =   2 2y x= 1C P P 2C 2C 1C 1C Ω l ( 4)y k x= − Ω k 【答案】（Ⅰ）点 在圆 上.（Ⅱ） 或 . 【解析】（Ⅰ）将直线方程代入圆的方程，消去 ，得到 ，则 ，从而得到 的横坐标为 2，再代入直线方程求出 的坐标，即可判断点与 圆 的位置关系； （2）设 和 的交点为 ， ，直线 恒过的定点为 ，求出两圆的交点坐标， 分直线 与圆 相切时，与直线 与圆弧 相交两种情况计算可得. 【详解】 解：（1）将 代入圆 的方程可得 . 设此方程的两实根分别为 ， ，则 . 所以点 的横坐标为 2，从而可得 . 因为 ，所以点 在圆 上. （Ⅱ）如图，因为直线 ： ， 解得 ，即直线恒过的定点 为 . 设 和 的交点为 ， ，直线 恒过的定点为 . 由 解得 ， . 所以 ， . （ⅰ）当直线 与圆 相切时. 由 可得 . 令 ，则 . P 2C 2 5 2 5 7 7k− < < 3 4k = ± y 23 12 10 0x x− + = 1 2 4x x+ = P P 2C 1C 2C A B l (4,0)Q l 2C l Ω 2 2y x= 1C 23 12 10 0x x− + = 1x 2x 1 2 4x x+ = P ( )2, 2P ( )2 23 92 22 4  − + =   P 2C l ( 4)y k x= − 4 0 0 x y − =  = 4 0 x y =  = (4,0) 1C 2C A B l (4,0)Q 2 2 2 2 ( 3) 4, 3 9 ,2 4 x y x y  − + =  − + =   5 3x = 2 5 3y = ± 5 2 5,3 3A       5 2 5,3 3B  −    l 2C 2 2 ( 4), 3 9 ,2 4 y k x x y = −  − + =   ( ) ( )2 2 2 21 3 8 16 0k x k x k+ − + + = ( ) ( )22 2 23 8 64 1 0k k k∆ = + − + = 3 4k = ± 此时解得 ，切点在圆弧 上，符合题意. （ⅱ）当直线 与圆弧 相交时，由图可知，要使交点只有一个，则 在 和 之 间. 因为 ， ， 所以 . 综上所述， 的取值范围是 或 . 【点睛】 本题考查圆的方程与性质、圆与直线圆与圆的位置关系，属于中档题. 12 5 5 3x = > Ω l Ω l QA QB 2 5 2 53 5 743 QAk = = − − 2 5 2 53 5 743 QBk − = = − 2 5 2 5 7 7k− < < k 2 5 2 5 7 7k− < < 3 4k = ±