【数学】2018届一轮复习苏教版集合与其他知识的交汇问题学案

【数学】2018届一轮复习苏教版集合与其他知识的交汇问题学案

专题一 集合、函数与导数 问题一：集合与其他知识的交汇问题 一、考情分析 集合是高中数学的基础知识,也是高老必考内容之一,它渗透到高中数学的各个领域,以简易逻辑、函数、方程、不等式、向量、解析几何等为背景的集合问题在试卷中频频出现,其特点是综合性高．解题时要求首先其集合语言,脱去其外衣,挖掘其本质的数量关系,再利用相关知识解决．江苏高考中专门考集合的题一般是试卷的第一题或第二题,主要考查集合的运算与集合的概念,此外集合与其他知识的交汇问题也会出现在解答题中．‎ 二、经验分享 ‎(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别：‎ ①；②；③；④.‎ ‎(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程的整数解集可表示为.‎ ‎(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．‎ ‎(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.‎ ‎(5)一般 讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．‎ ‎(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．‎ ‎(7)对于复杂的集合与其他知识的交汇问题,首先要看能否化简给定集合,然后看与哪一类知识的交汇,再把集合语言转化为该类知识的表达形式,最后利用有关知识去解决.‎ 三、知识拓展 ‎1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.‎ ‎2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .‎ ‎3．奇数集：.‎ ‎4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域.‎ 四、题型分析 ‎(一) 集合与函数的交汇 集合与函数的交汇问题主要有两类,一是与函数定义域及值域有关的集合运算问题,解决此类一般是先把参与运算的集合化为最简,然后再按集合的运算法则进行运算；另一类是具有某些性质的函数组成一个集合,解决此类问题是理解集合中元素的特征,根据其特征把问题转化为函数问题求解.‎ ‎ 【例1】已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数T,对任意∈R,有成立.‎ ‎（1）函数是否属于集合M？说明理由；‎ ‎（2）设函数且）的图象与的图象有公共点,证明：∈M；（3）若函数∈M ,求实数的取值范围.‎ ‎【分析】抓住集合M元素的特征,集合M是由满足的函数构成．‎ ‎（3）当k=0时,f （x）=0,显然f （x）=0∈M．‎ 当k≠0时,因为f （x）=sinkx∈M,所以存在非零常数T,‎ 对任意x∈R,有f （x＋T）= T f （x）成立,即sin（kx＋kT）= T sinkx．‎ 因为k≠0时,且x∈R,所以kx∈R,kx＋kT∈R,‎ 于是sinkx∈[－1,1],sin（kx＋kT） ∈[－1,1],‎ 故要使sin（kx＋kT） = Tsinkx成立,只有T=±1．‎ 当T＝1时,sin（kx＋k）= sinkx成立,则k=2mp,m∈Z．‎ 当T＝－1时,sin（kx－k）= －sinkx成立,‎ 即sin（kx－k＋p） = sinkx成立,则－k＋p =2mp,m∈Z,即k= －（2m－1） p,m∈Z．综合得,实数k的取值范围是{k | k= mp,m∈Z }．‎ ‎【点评】首先确定集合中的元素是什么,弄清集合元素的特征,然后按集合中元素满足的条件进行再运算．‎ ‎【小试牛刀】【2018届江苏省淮安中学2018届高三数学月考】设函数,集合 ,则如图中阴影部分表示的集合为__________．‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 所以 ,即阴影部分表示的集合为 ‎(二) 集合与数列的交汇 ‎【例2】设集合由满足下列两个条件的数列构成：学！ ‎ ‎①；②存在实数,使（为正整数）.‎ ‎⑴在只有项的有限数列,中,其中；‎ ‎；试判断数列,是否为集合的元素；‎ ‎⑵设是各项为正的等比数列,是其前项和,,,证明数列；并写出的取值范围；‎ ‎【分析】求解此题的关键是理解中集合的数列所满足的两个条件 ‎【解析】⑴对于数列,取,显然不满足集合的条件①,‎ 故不是集合中的元素,对于数列,当时,‎ 不仅有,,,而且有,‎ 显然满足集合的条件①②,故是集合中的元素．‎ ‎【小试牛刀】【2018届高三南京市联合体学校调研测试】已知 ‎ 记为集合中所有元素之和 ‎（1）求的值；（2）求 （用表示）‎ ‎【答案】（1）32；（2）.‎ ‎【解析】（1）中元素有4个：‎ ‎,其和为32,‎ ‎ ‎ ‎（2）先证明： ‎ ‎ ‎ 要使集合中元素 ‎ 从而可任意取或,由乘法原理知：‎ 的值共有个,同样的值也共有个 从而集合中元素除了这一项外,其余项恰好正负相消,于是集合中所有元素的和 为： .‎ ‎(三) 集合与排列组合的交汇 涉及集合的子集个数问题时,常与排列组合联系在一起 ‎【例3】设,在集合的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较 大元素相加,和记为,较小元素之和记为．‎ ‎ （1）当时,求的值；‎ ‎ （2）求证：对任意的, 为定值．‎ ‎【分析】（1）写出n=3时,集合{1,2,3}的所有元素个数为2的子集,计算a,b即可； （2）对任意的n≥3,n∈N , ,利用组合数的性质可得=,又,所以． 从而为定值.‎ ‎【解析】（1）当时,集合的所有元素个数为2的子集为： , ,‎ ‎,所以, ． ‎ ‎【点评】若集合A中含有n个元素,则集合A的r元子集个数为 ‎ ‎【小试牛刀】【2017届江苏省南通市年高考数学全真模拟】从集合中,抽取三个不同的元素构成子集.‎ ‎（1）求对任意的满足的概率；‎ ‎（2）若成等差数列,设其公差为,求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎【解析】（1）由题意知基本事件数为,‎ 而满足条件,即取出的元素不相邻,‎ 则用插空法,有种可能, ‎ 故所求事件的概率.‎ ‎（2）分析成等差数列的情况；‎ 的情况有7种: , , , , , , ；‎ 的情况有5种： , , , , ；‎ 的情况有3种： , , ；‎ 的情况有1种： .‎ 故随机变量的分布列如下：学！ ‎ 因此, .‎ ‎ (四) 集合与解析几何的交汇 曲线是由满足某种条件的点组成的集合,由集合的运算得出曲线之间具有的某种特殊位置关系,进而转化为解析几何知识求解．‎ ‎【例4】已知,则________.‎ ‎【分析】首先分析集合是除去点的直线,集合表示过定点的直线,等价于两条直线平行或者直线过,进而列方程求的值．‎ ‎【解析】由若,则①：点在直线上,即；②：直线与直线平行,∴,‎ ‎∴或.‎ ‎【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键．‎ ‎【小试牛刀】已知集合,若,使得成立,则实数b的取值范围是___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得,直线过点,故当时,,‎ ‎,则时,,使得成立．‎ ‎ (五) 集合与简易逻辑的交汇 命题的真假、充分条件与必要条件、集合的包含关系是统一的,可以互相转化．‎ ‎【例5】命题：实数满足,其中,命题：实数满足 或,且 是的必要不充分条件,求的取值范围.‎ ‎【分析】首先将命题包含的对象组成的集合表示,将必要不充分条件转化为集合的包含关系,进而利用集合知识解决．‎ ‎ ‎ ‎【点评】利用充分条件、必要条件求参数的取值范围,往往通过转化为集合的包含关系,利用维恩图或者数轴数形结合求解．‎ ‎【小试牛刀】已知P＝{x|x2－8x－20≤0},S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．‎ ‎(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件,若存在,求出m的范围；‎ ‎(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,若存在,求出m的范围．‎ ‎【解析】(1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10,∴P＝{x|－2≤x≤10},‎ ‎∵x∈P是x∈S的充要条件,∴P＝S,‎ ‎∴∴ 这样的m不存在．‎ ‎(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P.‎ ‎∴∴m≤3.‎ 综上,可知m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件．‎ ‎(六) 集合与不等式的交汇 集合的元素就是不等式的解,通过解不等式,从而确定集合元素的范围,转化为集合的运算处理．‎ ‎【例3】已知全集,集合,‎ ‎, 若,则实数的值为 .‎ ‎【分析】集合元素是不等式的解,故首先解不等式得,利用集合运算得实数的值 ‎【解析】由题意,则,由得,解得．‎ ‎【点评】集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．‎ ‎【小试牛刀】【2018届常熟中学高三10月阶段性抽测（一）】已知集合, .‎ ‎（1）当时,求；‎ ‎（2）若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 或.‎ ‎【解析】（1）集合,‎ 当时, ,‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵∴.‎ ‎1°当,即,即时, 成立,符合题意；‎ ‎2°当,即,即时,由,有,得；‎ 综上： 或.‎ 五、迁移运用 ‎1.【2018届常州市高三上武进区高中数学期中】已知, ,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 即答案为 ‎2. 若集合,则中有　　　　个元素 ‎【答案】6‎ ‎【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由得,‎ ‎3．【2018届江苏省如东高级中学高三上学期期中】已知全集为,且集合, ,则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】, ‎ ‎4．已知,是两个向量集合,则___________________.‎ ‎【答案】A ‎【解析】,由,得,所以,．‎ ‎5.已知集合A＝｛（x,y）｜｝,B＝｛（x,y）｜｝,设集合M＝｛（x1＋x2,y1＋y2）｜｝,则集合M中元素的个数为 ．‎ ‎【答案】59‎ 考点：集合中的元素个数问题．‎ ‎6.设集合是实数集的子集,如果点满足：对任意,都存在,使得 ‎,那么称为集合的聚点．则在下列集合中①；②；③ ；④整数集．‎ 以0为聚点的集合有 ．（请写出所有满足条件的集合的编号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ 试题分析：①中,集合中的元素是极限为1的数列,除了第一项0之外,其余的都至少比0大,∴在的时候,不存在满足得的x,∴0不是集合的聚点；‎ ‎②集合,对任意的a,都存在（实际上任意比a小得数都可以）,使得,‎ ‎∴0是集合的聚点；‎ ‎③集合中的元素是极限为0的数列,对于任意的,存在,使,‎ ‎∴0是集合的聚点；‎ ‎④对于某个,比如,此时对任意的,都有或者,也就是说不可能,从而0不是整数集Z的聚点．‎ 故②③．‎ ‎7．若数列满足（为常数,,）,则称数列为等方差数列,为公方差,已知正数等方差数列的首项,且,,成等比数列,‎ ‎,设集合,取的非空子集,若的元素都是整数,则为“完美子集”,那么集合中的完美子集的个数为 ．‎ ‎【答案】63‎ ‎8.设M为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数λ和向量∈M,都有,则称M为“点射域”,在此基础上给出下列四个向量集合：①{（x,y）|y≥x2}；②{（x,y）|}；③{（x,y）|x2+y2﹣2y≥0}；④{（x,y）|3x2+2y2﹣12＜0}．其中平面向量的集合为“点射域”的序号是　　．‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】根据“点射域”的定义,可得向量时,与它共线的向量M也成立,‎ 对于①,M={（x,y）|y≥x2}表示终点在抛物线y≥x2上及其张口以内的向量构成的区域,‎ 向量=（1,1）∈M,但3=（3,3）∉M,故它不是“点射域”；‎ 对于②,M={（x,y）|},可得任意正实数λ和向量∈M,都有M,故它是“点射域”；‎ 对于③,M={（x,y）|x2+y2﹣2y≥0},表示终点在圆x2+y2﹣2y=0上及其外部的向量构成的区域,‎ 向量=（0,2）∈M,但=（0,1）∉M,故它不是“点射域”；‎ 对于④,M={（x,y）|3x2+2y2﹣12＜0},表示终点在椭圆+=1内部的向量构成的区域,‎ 向量=（1,1）∈M,但3=（3,3）∉M,故它不是“点射域”．‎ 综上所述,满足是“点射域”的区域只有②‎ ‎ 9.【2018届东台安丰中学高三第一次月考】已知函数的值域为,函数的定义域为．‎ ‎（1）若,求实数的取值范围；‎ ‎（2）,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】∵,‎ ‎∴,函数的值域为,故.‎ 由得,所以函数的定义域为,故.‎ ‎（1）∵,‎ ‎∴,解得.‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎（2）∵,∴,‎ ‎∴,解得.‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎10．【2018届江苏省南京市金陵中学高三上学期10月考】已知, ,‎ ‎（1）若,求；‎ ‎（2）若,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）若, , ‎ ‎（2）又,,‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎11．【2018届江苏省东台市创新学校高三9月月考】已知函数的定义域为集合A,B={x|x＜a或x＞a+1}‎ ‎（1）求集合A； （2）若A⊆B,求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）A=（﹣∞,﹣1]∪（2,+∞）．（2）（﹣1,1]．‎ ‎【解析】（1）由,得：,解得：x≤﹣1或x＞2,‎ 所以A=（﹣∞,﹣1]∪（2,+∞）．‎ ‎（2）A=（﹣∞,﹣1]∪（2,+∞）,B={x|x＜a或x＞a+1}因为A⊆B,所以,解得：﹣1＜a≤1,所以实数a的取值范围是（﹣1,1]．‎ ‎12．【2017届江苏省南京师范大学附属中学高三高考模拟】已知数集具有性质对任意的,使得成立.‎ ‎（1）分别判断数集与是否具有性质,并说明理由；‎ ‎（2）求证： ；‎ ‎（2）若,求的最小值.‎ ‎【答案】（1）不具有（2）见解析（3）.‎ ‎（3）由（2）可知,又,所以 ‎,‎ 所以,构成数集,经检验具有性质,故的最小值为.‎ ‎13．【2017届江苏省苏北三市高三年级第三次模拟】已知集合,对于集合的两个非空子集, ,若,则称为集合的一组“互斥子集”．记集合的所有“互斥子集”的组数为 (视与为同一组“互斥子集”)．‎ ‎（1）写出, , 的值；‎ ‎（2）求．‎ ‎【解析】（1）, , ． ‎ ‎（2）解法一：设集合中有k个元素, ．‎ 则与集合互斥的非空子集有个． ‎ 于是 ． ‎ 因为,‎ ‎,[ : ]‎ 所以．‎ 解法二：任意一个元素只能在集合, , 之一中,‎ 则这个元素在集合, , 中,共有种； ‎ 其中为空集的种数为, 为空集的种数为,‎ 所以, 均为非空子集的种数为, ‎ 又与为同一组“互斥子集”,‎ 所以．‎ ‎14．【2017届江苏省南通市年高考数学全真模拟】若数列和的项数均为,则将数列和的距离定义为.‎ ‎（1）求数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离.‎ ‎（2）记为满足递推关系的所有数列的集合,数列和为中的两个元素,且项数均为.若, ,数列和的距离小于2016,求的最大值. ‎ ‎（3）记是所有7项数列（其中, 或）的集合, ,且中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证： 中的元素个数小于或等于16.‎ ‎【解析】（1）由题得数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离为7.‎ ‎（2）设,其中且. ‎ 由,‎ 得, , , ,….‎ 所以, ,….‎ 因此集合中的所有数列都具有周期性,且周期为4.‎ 所以数列中, , , , ,‎ 数列中, , , , .‎ 因为,‎ 所以项数越大,数列和的距离越大.‎ 因为,‎ 而 ,‎ 因此,当时, . ‎ 故的最大值为3455.‎ 因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3,‎ 所以在与中, 至少有3个成立.‎ 不妨设, , .‎ 由题意得, 中一个等于0,另一个等于1.‎ 又因为或1,所以和中必有一个成立.‎ 同理得： 和中必有一个成立, 和中必有一个成立,‎ 所以“ 中至少有两个成立”和“ 中至少有两个成立”中必有一个成立.‎ 故和中必有一个成立,这与题意矛盾.‎ 所以中的元素个数小于或等于16.‎