【数学】2019届一轮复习北师大版基本初等函数学案
第 7 练 基本初等函数
[明考情]
基本初等函数是函数性质的载体，是高考的命题热点，多以选择题形式出现，中档难度，有
时出现在选择或填空的最后一题.
[知考向]
1.幂、指数、对数的运算与大小比较.
2.基本初等函数的性质.
3.分段函数.
4.基本初等函数的综合应用.
考点一 幂、指数、对数的运算与大小比较
方法技巧 幂、指数、对数的大小比较方法
(1)单调性法；(2)中间值法.
1.已知函数 f(x)＝ 2x，x＜0，
fx－1＋1，x≥0，
则 f(2016)等于( )
A.2014B.4029
2 C.2015D.4035
2
答案 D
解析 f(2016)＝f(2015)＋1＝…＝f(0)＋2016＝f(－1)＋2017＝2－1＋2017＝4035
2 .
2.(2017·呼和浩特一模)已知 a＝
4
3( 2) ，b＝
2
52 ，c＝
1
39 ，则( )
A.b
2
5
，所以 a＝
2
32 >
2
52 ＝b.因为 y＝
2
3x 在(0，＋∞)上
为单调递增函数，所以 a＝
2
32 <
2
33 ＝c，即 b1.
则 x＝log2t＝lgt
lg2
，同理，y＝lgt
lg3
， ＝lgt
lg5.
∴2x－3y＝2lgt
lg2
－3lgt
lg3
＝lgt2lg3－3lg2
lg2×lg3
＝lgtlg9－lg8
lg2×lg3
>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5 ＝2lgt
lg2
－5lgt
lg5
＝lgt2lg5－5lg2
lg2×lg5
＝lgtlg25－lg32
lg2×lg5
<0，
∴2x<5 ，
∴3y<2x<5 .故选 D.
4.(2017·北京海淀区模拟)设 a＝lg2，b＝20.5，c＝cos3π
4
，则 a，b，c 按由小到大的顺序是
__________.
答案 c0 且 a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增
函数，则函数 g(x)＝loga(x＋k)的大致图象是( )
答案 B
解析 由题意得 f(0)＝0⇒k＝1，a>1，
所以 g(x)＝loga(x＋1)为(－1，＋∞)上的增函数，
且 g(0)＝0，故选 B.
7.(2017·银川市兴庆区一模)设函数 f(x)＝ 2x
1＋2x
－1
2
，[x]表示不超过 x 的最大整数，则 y＝[f(x)]
的值域是( )
A.{0，1} B.{0，－1}
C.{－1，1} D.{1，1}
答案 B
解析 ∵f(x)＝1
2
－ 1
2x＋1
，
分析可得－1
2
＜f(x)＜1
2
，
∴[f(x)]＝{0，－1}.
8.若函数 f(x)＝loga(x2－2ax＋3)在区间(2，＋∞)上是增函数，则 a 的取值范围为( )
A. 1，7
4 B.(1，2]
C.(0，1)∪(1，2] D.(0，1)∪ 1，7
4
答案 A
解析 当 0＜a＜1 时，y＝logat 为减函数，t＝x2－2ax＋3 在(2，＋∞)上为增函数，不合题意；
当 a＞1 时，y＝logat 为增函数，
若 t＝x2－2ax＋3 在(2，＋∞)上为增函数，则 1＜a≤2，
又当 x＝2 时，t＝7－4a≥0，
∴a≤7
4.
综上，1＜a≤7
4.
9.已知函数 f(x)＝x－4＋ 9
x＋1
，x∈(0，4)，当 x＝a 时，f(x)取得最小值 b，则函数 g(x)＝a|x+b|
的图象为( )
答案 A
解析 当 x∈(0，4)时，f(x)＝x＋1＋ 9
x＋1
－5≥1(当且仅当 x＝2 时取等号)，
∴a＝2，b＝1.
∴g(x)＝2|x+1|的图象关于直线 x＝－1 对称，
且在[－1，＋∞)上为增函数，故选 A.
10.(2017·钦州一模)已知函数 f(x)＝|lg(x－1)|，若 1＜a＜b 且 f(a)＝f(b)，则 a＋2b 的取值范围
为( )
A.(3＋2 2，＋∞) B.[3＋2 2，＋∞)
C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)
答案 C
解析 由图象易知 b＞2，1＜a＜2，
∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，则 a＝ b
b－1
，
则 a＋2b＝ b
b－1
＋2b＝2b2－b
b－1
＝2b－12＋3b－1＋1
b－1
＝2(b－1)＋ 1
b－1
＋3≥2 2＋3，
当且仅当 b＝ 2
2
＋1 时取等号.
∵b＞2，
∴a＋2b＝ b
b－1
＋2b＞6.
考点三 分段函数
方法技巧 (1)分段函数求函数值：先范围，再代入.
(2)分段函数在整个定义域上的单调性：一定要注意定义域的分界点处函数值的大小关系.
11.已知函数 f(x)＝
1
2 x，x≥4，
fx＋1，x＜4，
则 f(2＋log23)的值为( )
A. 1
24B. 1
12C.1
6D.1
3
答案 A
解析 因为 2＋log23＜4，所以 f(2＋log23)＝f(3＋log23)，而 3＋log23＞4，所以 f(2＋log23)
＝
2 23 log 3 log 31 1 1
2 8 2
= ＝1
8
×1
3
＝ 1
24.
12.已知函数 f(x)＝ x2＋4x＋3，x≤0，
3－x，x＞0，
则方程 f(x)＋1＝0 的实根的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
答案 C
解析 依题意得当 x≤0 时，x2＋4x＋3＋1＝0，
解得 x＝－2；当 x＞0 时，3－x＋1＝0，得 x＝4.
因此原方程的实根的个数是 2.
13.已知函数 f(x)＝
ax2－x－1
4
，x≤1，
logax－1，x＞1
是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是( )
A.
1
4
，1
2 B.
1
4
，1
2 C. 0，1
2 D.
1
2
，1
答案 B
解析 由对数函数的定义，可得 a＞0，且 a≠1.
又函数 f(x)在 R 上单调，而二次函数 y＝ax2－x－1
4
的图象开口向上，
所以函数 f(x)在 R 上单调递减，
故有
0＜a＜1，
1
2a
≥1，
a×12－1－1
4
≥loga1－1，
解得1
4
≤a≤1
2.
14.(2017·北京海淀区模拟)已知函数 f(x)＝ x＋1，x≤0，
log2x，x>0，
则函数 y＝f(f(x))＋1 的零点个数
为________.
答案 4
解析 当 y＝f(f(x))＋1＝0 时，f(f(x))＝－1，所以 f(x)＝－2 或 f(x)＝1
2
，本题转化为上述方程
有几解，当 f(x)＝－2 时，x＝－3 或 x＝1
4
；当 f(x)＝1
2
时，x＝－1
2
或 x＝ 2，所以共有四个解，
因此零点个数为 4.
15.已知函数 f(x)＝ x2＋1，x≥0，
1，x＜0，
则满足不等式 f(1－x2)＞f(2x)的 x 的取值范围是
________.
答案 (－1， 2－1)
解析 由题意知， 1－x2＞0，
2x＜0
或 1－x2＞2x，
2x≥0，
解得－1＜x＜0 或 0≤x＜ 2－1.
所以所求 x 的取值范围为(－1， 2－1).
考点四 基本初等函数的综合应用
要点重组 函数 y＝ax 和 y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称.
方法技巧 基本初等函数与不等式的交汇问题是高考的热点，突破此类问题在于准确把握函
数的图象和性质.
16.已知函数 f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在 f(a)＝g(b)，则实数 b 的取值范围为( )
A.[1，3] B.(1，3)
C.[2－ 2，2＋ 2] D.(2－ 2，2＋ 2)
答案 D
解析 函数 f(x)＝ex－1 的值域为(－1，＋∞)，g(x)＝－x2＋4x－3 的值域为(－∞，1]，若存
在 f(a)＝g(b)，则需 g(b)＞－1，即－b2＋4b－3＞－1，所以 b2－4b＋2＜0，解得 2－ 2＜b
＜2＋ 2.
17.已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2|x－m|－1(m 为实数)为偶函数.记 a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c
＝f(2m)，则 a，b，c 的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
答案 C
解析 由 f(x)＝2|x－m|－1 是偶函数，得 m＝0，则 f(x)＝2|x|－1.当 x∈[0，＋∞)时，f(x)＝2x－1
单调递增，又 a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，且 0＜log23＜log25，则 f(0)＜f(log23)
＜f(log25)，即 c＜a＜b，故选 C.
18.设 a，b，c 分别是方程 2x＝ 1
2
log x ，
1
2 x＝ 1
2
log 2x ，
1
2 x＝log2x 的实数根，则( )
A.c＜b＜a B.a＜b＜c
C.b＜a＜c D.c＜a＜b
答案 C
解析 因为 2a＝ 1
2
log a ＞0，所以 0＜a＜1.因为
1
2 b＝ 1
2
log 2b ＝－b＞0，所以 b＜0.因为
1
2 c
＝log2c＞0，所以 1＜c＜2.所以 b＜0＜a＜1＜c.
19.已知 f(x)＝
1＋x
x
，x＜0，1
2
log x
，x＞0， 则 f(x)≥－2 的解集是( )
A.
－∞，－1
3 ∪[4，＋∞) B.
－∞，－1
3 ∪(0，4]
C.
－1
3
，0 ∪[4，＋∞) D.
－1
3
，0 ∪(0，4]
答案 B
解析 当 x＜0 时，f(x)≥－2，即1＋x
x
≥－2，可转化为 1＋x≤－2x，得 x≤－1
3
；当 x＞0 时，
f(x)≥－2，即 1
2
log x ≥－2，可转化为 1 1
2 2
log log 4x≥ ，解得 0＜x≤4.
综上可知不等式的解集为 －∞，－1
3 ∪(0，4].
20.(2017·原创押题预测)已知 f(x)＝ lnx，x>0，
－x2－ax，x≤0，
若方程 f(x)＝x＋a 有 2 个不同的实
根，则实数 a 的取值范围是________________.
答案 {a|a＝－1 或 0≤a<1 或 a>1}
解析 当直线 y＝x＋a 与曲线 y＝lnx 相切时，设切点为(t，lnt)，则切线斜率 k＝(lnx)′|x＝t
＝1
t
＝1，
所以 t＝1，切点为(1，0)，代入 y＝x＋a，得 a＝－1.
又当 x≤0 时，f(x)＝x＋a⇔(x＋1)(x＋a)＝0，
所以①当 a＝－1 时，lnx＝x＋a(x>0)有 1 个实根，
此时(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有 1 个实根，满足题意；
②当 a<－1 时，lnx＝x＋a(x>0)有 2 个实根，
此时(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有 1 个实根，不满足题意；
③当 a>－1 时，lnx＝x＋a(x>0)无实根，此时要使(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有 2 个实根，应有－
a≤0 且－a≠－1，即 a≥0 且 a≠1，
综上得实数 a 的取值范围是{a|a＝－1 或 0≤a<1 或 a>1}.
1.(2017·安徽宿州一模)函数 f(x)＝ 2
ex －2x2 的图象大致为( )
答案 A
解析 因为 f(－x)＝ 2( )e x －2(－x)2＝f(x)，
所以函数 y＝f(x)是偶函数.
当 x>0 时，f′(x)＝ 2
2 exx －4x＝2x(
2
ex －2)，
若 x∈(0， ln2)，f′(x)<0，函数 y＝f(x)单调递减；
若 x∈( ln2，＋∞)，f′(x)>0，函数 y＝f(x)单调递增，
则 f(x)min＝f( ln2)＝2－2ln2>0，
结合图象的对称性可知，故选 A.
2.如果函数 y＝a2x＋2ax－1(a>0 且 a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是 14，则 a 的值为( )
A.1
3B.1C.3D.1
3
或 3
答案 D
解析 令 ax＝t，则 y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当 a>1 时，因为 x∈[－1，1]，所以 t∈
1
a
，a ，
又函数 y＝(t＋1)2－2 在
1
a
，a 上单调递增，
所以 ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得 a＝3(负值舍去)；
当 02，
ex，－2≤x≤2，
f－x，x<－2，
则 f(－2016)等于
( )
A.e2B.eC.1D.1
e
答案 B
解析 f(－2016)＝f(2016)＝f(6)＝f(1)＝e.
4.(2017·揭东区校级月考)函数 y＝ 2 2e x x (0≤x＜3)的值域是( )
A.(0，1] B.(e－3，e]C.[e－3，1] D.[1，e]
答案 B
解析 ∵y＝ 2 22 ( 1) 1e ex x x (0≤x＜3)，
当 0≤x＜3 时，－3＜－(x－1)2＋1≤1，
∴e－3＜ 2( 1) 1e x ≤e1，即 e－3＜y≤e，
∴函数 y 的值域是(e－3，e].
5.(2017·河东区模拟)函数 f(x)＝|x－2|－lnx 在定义域内零点的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
答案 C
解析 由题意，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，由函数零点的定义，f(x)在(0，＋∞)内的零
点即是方程|x－2|－lnx＝0 的根.
令 y1＝|x－2|，y2＝lnx(x＞0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象.
由图得两个函数图象有两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点.
6.(2017·南宁适应性测试)已知函数 f(x)＝
5·
1
2 2x，－1≤x<1，
1＋4
x2
，x≥1，
设 m>n≥－1，且 f(m)＝
f(n)，则 m·f( 2m)的最小值为( )
A.4B.2C. 2D.2 2
答案 D
解析 当－1≤x<1 时，f(x)＝5·
1
2 2x∈
5
4
，20 ，f(0)＝5；当 x≥1 时，f(x)＝1＋4
x2
≤5，f(4)＝
5
4
，1≤m<4.m·f( 2m)＝m＋2
m
≥2 2，当且仅当 m＝ 2时取等号，故选 D.
7.已知函数 f(x)＝ ex＋a，x≤0，
2x－1，x＞0
(a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围
是( )
A.(－∞，－1) B.(－∞，0)C.(－1，0) D.[－1，0)
答案 D
解析 当 x＞0 时，f(x)＝2x－1.令 f(x)＝0，解得 x＝1
2
；当 x≤0 时，f(x)＝ex＋a，此时函数 f(x)
＝ex＋a 在(－∞，0]上有且仅有一个零点，等价转化为方程 ex＝－a 在(－∞，0]上有且仅有
一个实根，而函数 y＝ex 在(－∞，0]上的值域为(0，1]，所以 0＜－a≤1，解得－1≤a＜0.
故选 D.
8.(2017·武汉模拟)若函数 f(x)＝aex－x－2a 有两个零点，则实数 a 的取值范围是( )
A.
－∞，1
e B. 0，1
e C.(－∞，0) D.(0，＋∞)
答案 D
解析 函数 f(x)＝aex－x－2a 的导函数 f′(x)＝aex－1，
当 a≤0 时，f′(x)≤0 恒成立，函数 f(x)在 R 上单调，不可能有两个零点；
当 a＞0 时，令 f′(x)＝0，得 x＝ln1
a
，函数在 －∞，ln 1
a 上单调递减，在 ln1
a
，＋∞ 上单
调递增，
∴f(x)的最小值为 f ln 1
a ＝1－ln1
a
－2a＝1＋lna－2a.
令 g(a)＝1＋lna－2a(a＞0)，则 g′(a)＝1
a
－2.
当 a∈ 0，1
2 时，g(a)单调递增，
当 a∈
1
2
，＋∞ 时，g(a)单调递减，
∴g(a)max＝g
1
2 ＝－ln2＜0，
∴f(x)的最小值 f ln 1
a ＜0，函数 f(x)＝aex－x－2a 有两个零点.
综上，实数 a 的取值范围是(0，＋∞).
9.已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)
2 3n nx (n∈ )的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，
那么 n 的值为__________.
答案 1
解析 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，
解得 n＝1 或 n＝－3，经检验，只有 n＝1 符合题意.
10.已知函数 f(x)＝ 2x－1，x＞0，
－x2－2x，x≤0，
若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，则实数 m 的取值
范围是________.
答案 (0，1)
解析 画出 f(x)＝ 2x－1，x＞0，
－x2－2x，x≤0
的图象，如图，
由于函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，结合图象得 0＜m＜1，
即 m∈(0，1).
11.已知函数 f(x)＝lnx－x－a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为__________.
答案 (－∞，－1)
解析 函数 f(x)＝lnx－x－a 的零点即关于 x 的方程 lnx－x－a＝0 的实根，将方程化为 lnx＝
x＋a，令 y1＝ln x，y2＝x＋a，由导数知识可知，当两曲线相切时有 a＝－1.若函数 f(x)＝lnx
－x－a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为(－∞，－1).
12.(2017·江西七校联考)函数 f(x)＝ 1
2－x
的图象与函数 g(x)＝2sinπ
2x(0≤x≤4)的图象的所有交
点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则 f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝______.
答案 1
2
解析 如图，画出函数 f(x)和 g(x)在[0，4]上的图象，
可知有 4 个交点，并且关于点(2，0)对称，所以 y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所
以 f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝1
2
＋0＝1
2.
