【数学】2019届一轮复习北师大版等差数列、等比数列学案

【数学】2019届一轮复习北师大版等差数列、等比数列学案

专题三 数列 第一讲 等差数列、等比数列 高考导航 对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解．‎ ‎2．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题．‎ ‎3．对等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节.‎ ‎1．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )‎ A．100 B．99 C．98 D．97‎ ‎[解析] 设{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得解得an＝a1＋(n－1)d＝n－2，∴a100＝100－2＝98.故选C.‎ ‎[答案] C ‎2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )‎ A．－24 B．－3 C．3 D．8‎ ‎[解析] 设等差数列{an}的公差为d，依题意得a＝a2·a6，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2或d＝0(舍去)，又a1＝1，∴S6＝6×1＋×(－2)＝－24.故选A.‎ ‎[答案] A ‎3．(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.‎ ‎[解析] ∵an＋1＝2Sn＋1，∴a2＝2S1＋1，即S2－a1＝‎2a1＋1，又∵S2＝4，∴4－a1＝‎2a1＋1，解得a1＝1.‎ 又an＋1＝Sn＋1－Sn，‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1.‎ 解法一：Sn＋1＝3Sn＋1，由S2＝4，可求出S3＝13，S4＝40，S5＝121.‎ 解法二：Sn＋1＝3Sn＋1，则Sn＋1＋＝3.又S1＋＝，∴是首项为，公比为3的等比数列，‎ ‎∴Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，‎ ‎∴S5＝＝121.‎ ‎[答案] 1 121‎ ‎4．(2017·绵阳三诊)已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项．‎ ‎(1)求证：数列{S}为等差数列；‎ ‎(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解析] (1)证明：由题意知2Sn＝an＋，‎ 即2Snan－a＝1.①‎ 当n＝1时，由①式可得S1＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入①式得 ‎2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1，‎ 整理得S－S＝1.‎ ‎∴{S}是首项为1，公差为1的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知S＝n，则Sn＝，‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝－.‎ ‎∴bn＝＝＝(－1)n(＋)．‎ 当n为奇数时，Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝－；‎ 当n为偶数时，Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝.‎ ‎∴{bn}的前n项和Tn＝(－1)n.‎ 考点一 等差、等比数列的基本运算 ‎1．等差数列的通项公式及前n项和公式 an＝a1＋(n－1)d；‎ Sn＝＝na1＋d.‎ ‎2．等比数列的通项公式及前n项和公式 an＝a1qn－1(q≠0)；‎ Sn＝ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎[解析] 等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5，‎ 又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，‎ 得d＝4，故选C.‎ ‎[答案] C ‎2．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎[解析] 由题意可知，由上到下灯的盏数a1，a2，a3，…，a7构成以2为公比的等比数列，∴S7＝＝381，∴a1＝3.故选B.‎ ‎[答案] B ‎3．(2017·湖北省武汉市武昌区高三调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝‎3a2＋2，S4＝‎3a4＋2，则a1＝( )‎ A．－2 B．－1 C. D. ‎[解析] 由S2＝‎3a2＋2，S4＝‎3a4＋2得a3＋a4＝‎3a4－‎3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝，将q＝代入S2＝‎3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1，故选B.‎ ‎[答案] B ‎4．(2017·东北三校联考)已知等差数列{an}满足a2＝3，a5＝9，若数列{bn}满足b1＝3，bn＋1＝abn，则{bn}的通项公式为________．‎ ‎[解析] 由题意可得等差数列{an}的公差d＝＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝2n－1，则bn＋1＝abn＝2bn－1，bn＋1－1＝2(bn－1)，又因为b1－1＝2，所以数列{bn－1}是首项为2、公比为2的等比数列，所以bn－1＝2n，bn＝2n＋1.‎ ‎[答案] bn＝2n＋1‎ ‎ 等差(比)数列的运算注意两点 ‎(1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素．‎ ‎(2)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．‎ ‎【易错提醒】 等比数列前n项和公式中若不确定q是否等于1应分q＝1或q≠1两种情况讨论．‎ 考点二 等差、等比数列的性质 ‎[对点训练]‎ ‎1．(2017·广州六校联考)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，S11＝，则a12的值是( )‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎[解析] 因为a7＋a9＝‎2a8＝16，所以a8＝8.‎ 因为S11＝＝＝‎11a6＝，所以a6＝，则d＝＝，所以a12＝a8＋4d＝15，故选A.‎ ‎[答案] A ‎2．(2017·太原模拟)已知等比数列{an}满足a1＝，a‎3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )‎ A．2 B．1 C. D. ‎[解析] 由等比数列的性质，得a‎3a5＝a＝4(a4－1)，‎ 解得a4＝2.又a1＝，所以q3＝＝8，即q＝2，‎ 故a2＝a1q＝×2＝.‎ ‎[答案] C ‎3．(2017·合肥模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝1，S10＝3，则S15的值是________．‎ ‎[解析] ∵数列{an}是等比数列，∴S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，∴(S10－S5)2＝S5·(S15－S10)，4＝1×(S15－3)，得S15＝7.‎ ‎[答案] 7‎ ‎[探究追问] 3题中条件不变，如何求S100的值？‎ ‎[解析] 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S5＝1，S10＝3，所以S100可表示为等比数列1,2,4，…的前20项和，故S100＝＝220－1.‎ ‎[答案] 220－1‎ 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．‎ 考点三 等差、等比数列的判定与证明 ‎1．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法 ‎(1)利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；‎ ‎(2)利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．‎ ‎2．证明数列{an}是等比数列的两种基本方法 ‎(1)利用定义，证明(n∈N*)为一常数；‎ ‎(2)利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2)．‎ ‎[解] (1)证明：由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，‎ 有a1＋a2＝‎4a1＋2，a2＝‎3a1＋2＝5，‎ ‎∴b1＝a2－‎2a1＝3.‎ 由Sn＋1＝4an＋2①‎ 知当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2②‎ ‎①－②得an＋1＝4an－4an－1，‎ ‎∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)‎ 又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，‎ ‎∴{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．‎ ‎(2)由(1)可得bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，‎ ‎∴－＝，‎ ‎∴数列是首项为，公差为的等差数列．‎ ‎∴＝＋(n－1)×＝n－，‎ an＝(3n－1)·2n－2.‎ ‎ 等差、等比数列的判定与证明应注意的两点 ‎(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式，但不能作为证明方法．‎ ‎(2)＝q和a＝an－1an＋1(n≥2)都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．‎ ‎ [对点训练]‎ 若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：成等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解] (1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，‎ 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，‎ 又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)由(1)可得＝2n，∴Sn＝，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－ ‎＝＝－.‎ 当n＝1时，a1＝不适合上式．‎ 故an＝ 热点课题11 函数与方程思想在数列中的应用 ‎ [感悟体验]‎ ‎1．(2017·西安统测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝13，S3＝S11，则Sn的最大值为( )‎ A．49 B．28‎ C．－49或－28 D．28或49‎ ‎[解析] 由S3＝S11，可得‎3a1＋3d＝‎11a1＋55d，把a1＝13代入得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根据二次函数性质，知当n＝7时，Sn最大，且最大值为49.‎ ‎[答案] A ‎2．(2017·河南郑州二中期末)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项的和，则(n∈N*)的最小值为( )‎ A．4 B．3 C．2－2 D. ‎[解析] ∵a1＝1，a1、a3、a13成等比数列，‎ ‎∴(1＋2d)2＝1＋12d.得d＝2或d＝0(舍去)‎ ‎∴an＝2n－1，‎ ‎∴Sn＝＝n2，‎ ‎∴＝.令t＝n＋1，‎ 则＝t＋－2≥6－2＝4当且仅当t＝3，‎ 即n＝2时，∴的最小值为4.故选A.‎ ‎[答案] A