【数学】2019届一轮复习北师大版 概率统计 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 概率统计 学案

‎ 概率统计 知识精讲·‎ ‎·‎ 一、概率与随机变量 ‎1一．随机事件 ‎（1）分类：随机事件、必然事件、不可能事件 ．‎ ‎（2）事件间的关系：互斥事件、对立事件 ‎2．事件间的运算 ‎（1）并事件（和事件）：‎ 当和互斥时，事件的概率满足加法公式：‎ ‎（、互斥）；且有．‎ ‎（2）交事件（积事件）‎ 二、古典概型与几何概型 ‎1．古典概型 ‎（1）古典概型的两大特点：‎ 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；‎ 每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎（2）古典概型的概率计算公式：‎ ‎；‎ ‎2．几何概型 ‎．‎ 三．条件概率 ‎1．定义：设和为两个事件，，那么，在“已发生”的条件下，发生的条件概率.读作发生的条件下发生的概率．‎ ‎2．．对任意两个事件，若，则有. ‎ ‎3．条件概率的性质：‎ ‎（1）条件概率具有概率的性质，任何时间的条件概率都在和之间，即；‎ ‎（2）如果和是两个互斥，则．‎ 四．事件的独立性 ‎1．如果与相互独立，那么， ，与都是相互独立的．‎ ‎2．推广：如果事件相互独立，那么．‎ ‎·三点剖析·‎ ‎·‎ 考试内容 要求层次 事件与概率 随机事件的概率 了解 随机事件的运算 理解 两个互斥事件的概率加法公式 掌握 事件与概率 古典概型 理解 几何概型 理解 ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一：简单随机抽样 例1.1.1 要考察某种品牌的450颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将450颗种子按001，002，…，450进行编号，如果从随机数表第2行第4组（随机数组中每5个数为一组）开始，自左向右自上至下读数，使用各个5位数组的前3位，则最先抽取的4颗种子的编号是____，____，____，____．‎ ‎43021 92980 27768 26916 27783 84572 78483 39820‎ ‎61459 39073 79242 20372 21048 87088 34600 34636‎ ‎63171 58247 12907 50303 28814 40422 97895 61421‎ ‎42372 53183 51546 90385 12120 64042 51320 22983．‎ ‎【答案】 （1）203 （2）210 （3）346 （4）129‎ ‎【解析】 本题考查简单随机抽样中的随机数表法，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，因为在随机数表中，每个数字在每一个位置出现的几率相等．‎ 从随机数表第2行第4组（随机数组中每5个数为一组）开始，自左向右自上至下读数，使用各个5位数组的前3位，可得第一个数字是203，合题意，第二个数字是210，也符合题意，第三个数字是870，大于450舍，以此类推，把大于450舍去，重复舍去，把符合条件的写出来，得到这一个样本．‎ 解：从随机数表第2行第4组（随机数组中每5个数为一组）开始，‎ 自左向右自上至下读数，使用各个5位数组的前3位，‎ 可得第一个数字是203，符合题意，‎ 第二个数字是210，也符合题意，‎ 第三个数字是870，大于450，舍去，‎ 第四个数字346，符合题意，‎ 第五个数字是346，重复，舍去，‎ 第六数字是631，大于450，舍去，‎ 第七个数字是582，大于450，舍去，‎ 第八个数字是129，符合题意．‎ 故答案为：203，210，346，129．‎ 例1.1.2 我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约（ ）‎ A． 石 B． 石 C． 石 D． 石 ‎【答案】C ‎【解析】 由题意，这批米内夹谷约为石．‎ 题模二：系统抽样 例1.2.1 有60件产品，编号为1至60，现从中抽取5件进行检验，用系统抽样的方法所确定的抽样编号是（　　）‎ A． 5，10，15，20，25‎ B． 5，12，31，39，57‎ C． 5，15，25，35，45‎ D． 5，17，29，41，53‎ ‎【答案】D ‎【解析】 本题考查系统抽样，是一个基础题，解题时抓住系统抽样的特点，找出符合题意的编号，这种题目只要出现一定是我们必得分的题目．‎ 根据题意可知，本题所说的用系统抽样的方法所确定的抽样编号间隔应该是，观察所给的四组数据，只有最后一组符合题意．‎ 解：∵根据题意可知，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，‎ 且间隔是 =12．‎ ‎∴只有D符合要求，即后面的数比前一个数大12．‎ 故选D．‎ 例1.2.2 为了调查高二年级名学生对学校食堂午餐学生浪费饭菜的情况，打算从中抽取一个容量为的样本，考虑采取系统抽样，则分段间隔 为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意知本题是一个系统抽样，‎ 总体中个体数是630，样本容量是45，‎ 根据系统抽样的步骤，得到分段的间隔 ==14．‎ 题模三：分层抽样 例1.3.1 某学校共有师生人．现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为的样本，调查师生对学校食堂就餐问题的建议．已知从学生中抽取的人数为人，那么该校的教师人数为（ ）‎ A． 人 B． 人 C． 人 D． 人 ‎【答案】C ‎【解析】 设教师人数为x人，‎ 由题意知：，‎ 解得x=200．‎ 例1.3.2 古代 举制度始于隋而成于唐，完备于宋、元．明代则处于其发展的鼎盛阶段．其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷按比例录取，其录取比例为．若明宣德五年会试录取人数为100．则中卷录取人数为______．‎ ‎【答案】 10‎ ‎【解析】 由题意，明宣德五年会试录取人数为100，则中卷录取人数为人.‎ 题模四：相关图表 例1.4.1 某销售代理商主要代理销售新京报、北京晨报、北京青年报三种报刊．代理商统计了过去连续天的销售情况，数据如下：‎ 三种报刊中，日平均销售量最大的报刊是；如果每份北京晨报的销售利润分别为新京报的倍，北京青年报的倍，那么三种报刊日平均销售利润最大的报刊是．‎ ‎【答案】 新京报，北京晨报 ‎【解析】 三种报刊中，日平均销售量分别为=2230；‎ ‎=1720，‎ ‎=2100‎ ‎∴日平均销售量最大的报刊是新京报；‎ 设每份北京晨报的销售利润为x元，则新京报为x，北京青年报x，‎ ‎∴三种报刊日平均销售利润分别是×2300， x×1720，2100x，可得三种报刊日平均销售利润最大的报刊是北京晨报．‎ 例1.4.2 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90 ，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；‎ ‎（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎【答案】 （1）0.4（2）20人（3）3：2‎ ‎【解析】 （1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1-（0.04+0.02）×10=0.4‎ 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；‎ ‎（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，‎ 故样本中分数小于40的频率为：0.05，‎ 则分数在区间[40，50）内的频率为：1-（0.04+0.02+0.02+0.01）×10-0.05=0.05，‎ 估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人，‎ ‎（3）样本中分数不小于70的频率为：0.6，‎ 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．‎ 故分数不小于70的男生的频率为：0.3，‎ 由样本中有一半男生的分数不小于70，‎ 故男生的频率为：0.6，‎ 即女生的频率为：0.4，‎ 即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．‎ 题模五：回归方程及回归分析 例1.5.1 高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：班组与成绩统计表 则随机变量的观测值约为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由列联表我们易得：‎ a=11，b=34，c=8，d=37‎ 则 2=‎ ‎=‎ ‎=0.6004≈0.60．‎ 例1.5.2 在检验吸烟与患肺炎是否有关的一次统计中，根据列联表中数据计算得，则下列说法正确的是（ ）‎ A． 有的把握认为吸烟与患肺炎有关 B． 有的把握认为吸烟与患肺炎无关 C． 有的把握认为吸烟与患肺炎有关 D． 有的把握认为吸烟与患肺炎无关 ‎【答案】C ‎【解析】 由x2≈6.234＞3.841，‎ ‎∴有95 的把握认为吸烟与患肺炎有关．‎ 题模六：利用随机事件的概率解决实际问题 例1.6.1 在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生的概率为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ∵在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，‎ ‎∴P（A）=，，‎ ‎∴一次试验中，事件A∪发生的概率为：‎ ‎．‎ 例1.6.2 为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试．现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：‎ ‎（1）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）‎ ‎（2）如果将数学基础采用A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）‎ 假设每个新生的测试成绩互相独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．‎ 从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率．‎ ‎【答案】 （1）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差（2）‎ ‎【解析】 （1）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同；‎ 甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差．‎ ‎（2）设事件D=“从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级”．‎ 设事件E1=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为A”，P（E1）=，‎ 设事件E2=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B”，P（E2）=，‎ 设事件F1=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B”，P（F1）=，‎ 设事件F2=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为C”，P（F2）=，‎ 根据题意，D=E1F1∪E1F2∪E2F2，所以P（D）=P（=E1F1 ）+P（E1F2）+P（E2F2 ）‎ ‎=，‎ 因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生 的数学基础等级的概率为．‎ 题模七：古典概型 例1.7.1 某中学从高三男生中随机抽取名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．‎ 求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；‎ 为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第组每组各抽取多少名学生进行测试？‎ 在的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．‎ ‎【答案】 （1）35；0.300（2）3人，2人，1人（3）‎ ‎【解析】 （1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为 即①处的数据为35，②处的数据为0.300；‎ ‎（2）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：‎ 第3组：；第4组：；第5组：‎ 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人；‎ ‎（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，‎ 则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，‎ C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．‎ 其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）9种可能．‎ 所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率．‎ 例1.7.2 某校从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）分成六段后得到频率分布直方图（如图所示）．‎ 求分数在内的频率；‎ 根据频率分布直方图，估计该校学生环保知识竞赛成绩的平均分；‎ 用分层抽样的方法在分以上（含分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于分的概率．‎ ‎【答案】 （1）0.3（2）7分（3）‎ ‎【解析】 （1）分数在[70，80）内的频率为：1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3．‎ ‎（2）平均分为：‎ ‎（分）．‎ ‎（3）由题意，[80，90）分数段的人数为：0.25×60=15（人）；‎ ‎[90，100 分数段的人数为：0.05×60=3（人）；‎ 因为用分层抽样的方法在8（0分）以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，‎ 所以[80，90）分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；[90，100 分数段抽取1人，记为M．‎ 因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于9（0分），‎ 则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．‎ 设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于9（0分）为”事件A，‎ 则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），‎ ‎（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），‎ ‎（C，M），（D，M），（E，M）共15种．‎ 事件A包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5种 所以恰有1人的分数不低于9（0分）的概率为．‎ 题模八：几何概型 例1.8.1 函数，在区间内随机取一点，使的概率为(　　)‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，‎ 由，得到，解得：，所以． ‎ 故答案为C．‎ 例1.8.2 将一根长为的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于的概率是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 记“两段的长都不小于”为事件，‎ 则只能在中间的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于，由几何概型，所以事件 发生的概率．故选B．‎ 题模九：条件概率及性质 例1.9.1 同时投掷三颗骰子一次，设“三个点都不相同“，“至少有一个6点，则为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，‎ 即在“至少出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，‎ ‎“至少出现一个6点”的情况数目为6×6×6-5×5×5=91，‎ ‎“三个点数都不相同”则只有一个6点，共C31×5×4=60种，‎ 故P（A|B）=．‎ 例1.9.2 一个口袋中装有4个红球，个白球．每次从袋中随机摸出一个球，不放回地摸两次，在摸出的第一个是红球的条件下，摸出的第二个球是白球的概率是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 一个口袋中装有4个红球，2个白球．每次从袋中随机摸出一个球，不放回地摸两次，‎ A表示“第一次取到红球”，B表示“第一次取到白球”，‎ 则P（A）=，P（AB）‎ 在摸出的第一个是红球的条件下，摸出的第二个球是白球的概率是：‎ p（B|A）=．‎ ‎∴在摸出的第一个是红球的条件下，磨出的第二个球是白球的概率是．‎ 题模一十零：独立重复试验 例1.10.1 在市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂占，甲厂产品的合格率是，乙厂的合格率是，则从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 根据题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率．‎ 甲厂产品占，甲厂产品的合格率是，‎ 从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是．‎ 故答案为．‎ 例1.10.2 甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．‎ ‎（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；‎ ‎（Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；‎ ‎（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．‎ ‎【答案】 （1）概率分布见解析，Eξ=1.5（2）（3）‎ ‎【解析】 （I）由题意得甲击中目标的次数ξ为0、1、2、3，‎ 根据独立重复试验公式得到变量对应的概率，‎ 当变量为0时表示没有击中目标，‎ 当变量为1时表示击中目标1次，‎ 当变量为2时表示击中目标2次，‎ 当变量为3时表示击中目标3次，‎ ‎∴P（ξ=0）=()3=，‎ P（ξ=1）=()3=，‎ P（ξ=2）=()3=，‎ P（ξ=3）=()3=，‎ ‎∴ξ的概率分布如下表：‎ Eξ=0•+1•+2•+3•=1.5，（或Eξ=3•=1.5）；‎ ‎（II）乙至多击中目标2次的对立事件是乙能击中3次，‎ 有对立事件的概率公式得到 概率为1-()3=；‎ ‎（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，‎ 甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，‎ 则A=B1+B2，‎ B1，B2为互斥事件P（A）=P（B1）+P（B2）=•+•=‎ ‎∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为．‎ ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练1.1 要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001，002，…800，利用随机数表抽取样本，从第7行第1个数8开始，依次向右，再到下一行，继续从左到右．请问选出的第七袋牛奶的标号是____．‎ ‎．‎ ‎16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64‎ ‎84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76‎ ‎63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54‎ ‎57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28．‎ ‎【答案】 744‎ ‎【解析】 在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．‎ 从第7行第1个数8的数开始向右读，依次为844，217，533，157，425，506，887，704，744，其中844，887不符合条件故可得结论．‎ 解：从第7行第1个数8的数开始向右读，第一个数为844，不符合条件，第二个数为217，符合条件，‎ 第三个数为533，符合条件，‎ 以下依次为：157，425，506，887，704，744‎ 其中887不符合条件 故第七个数为744‎ 故答案为：744‎ 随练1.2 某单位有名职工，现采用系统抽样方法，抽取人做问卷调查，将人按，…，随机编号，则抽取的人中，编号落入区间的人数为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．‎ 所以从编号1 480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481 720共240人中抽取=12人．‎ 随练1.3 某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（ ）‎ A． 9，18，3‎ B． 10，15，5‎ C． 10，17，3‎ D． 9，16，5‎ ‎【答案】A ‎【解析】 用分层抽样方法抽取容量为30的样本，‎ 则样本中的高级职称人数为30×=9，‎ 中级职称人数为30×=18，‎ 初级职称人数为30×=3．‎ 随练1.4 对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如图频率分布直方图．根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80 m/h的概率（　　）‎ A． 75，0.25‎ B． 80，0.35‎ C． 77.5，0.25‎ D． 77.5，0.35‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由频率分布直方图，‎ 得在此路段上汽车行驶速度的众数为77.5，‎ 行驶速度超过80 m/h的概率：‎ p=（0.05+0.02）×5=0.35．‎ ‎∴估计在此路段上汽车行驶速度的众数为77.5，行驶速度超过80 m/h的概率为0.35．‎ 随练1.5 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．‎ 从这次考试成绩看，‎ ‎①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是____；‎ ‎②在语文和数学两个 目中，丙同学的成绩名次更靠前的 目是____．‎ ‎【答案】 乙；数学 ‎【解析】 由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知 ‎①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙；‎ ‎②观察散点图，作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个 目中，丙同学的成绩名次更靠前的 目是数学；‎ 随练1.6 某校学生会为了了解学生对于“趣味运动会”的满意程度，从高一、高二两个年级分别随机调查了个学生，得到学生对“趣味运动会”所设项目的满意度评分如下：‎ 高一： ‎ ‎ ‎ 高二： ‎ ‎ ‎ 根据两组数据完成两个年级满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个年级满意度评分的平均值及离散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；‎ 根据学生满意度评分，将学生的满意度从低到高分为三个等级：‎ 假设两个年级的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．随机调查高一、高二各一名学生，记事件A：“高一、高二学生都非常满意”，事件B：“高一的满意度等级高于高二的满意度等级”．分别求事件A、事件B的概率．‎ ‎【答案】 （1）见解析（2）；‎ ‎【解析】 （1）根据两组数据完成两个年级满意度评分的茎叶图如下：‎ 由茎叶图，得：‎ 高一满意度评分的平均值为：‎ ‎=（53+62+64+66+73+74+76+78+78+76+81+85+86+88+82+89+92+95+95+97）=79.5，‎ 高二满意度评分的平均值为：‎ ‎=（46+48+51+53+54+56+62+64+65+65+73+73+74+76+79+81+82+83+91+93）=68.45，‎ ‎∴高二年级满意度评分的平均值比高一年级满意度评分的平均值低；高一年级满意度评分较集中．‎ ‎（2）随机调查高一、高二各一名学生，‎ 记事件A：“高一、高二学生都非常满意”，‎ ‎∴事件A的概率P（A）=，‎ 事件B：“高一的满意度等级高于高二的满意度等级”，‎ ‎∴事件B的概率P（B）=．‎ 随练1.7 某中学从高三男生中随机抽取名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．‎ 求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；‎ 为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第 组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第组每组各抽取多少名学生进行测试？‎ 在的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．‎ ‎【答案】 （1）35；0.300（2）3人，2人，1人（3）‎ ‎【解析】 （1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为．‎ 即①处的数据为35，②处的数据为0.300．‎ ‎（2）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：‎ 第3组：人；第4组：人；第5组：人．‎ 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人．‎ ‎（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，‎ 则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．‎ 其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）9种可能．‎ 所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P=．‎ 随练1.8 如图，，，，在线段OB上任取一点C，则为钝角三角形的概率为______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ①如图1，当为钝角时，‎ ‎．‎ ‎②如图2，当为钝角时，‎ ‎．‎ ‎∴为钝角三角形的概率为．‎ 随练1.9 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件 “取到的两个数均为偶数”，则=（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 本题主要考察条件概率的求解方法。‎ 根据题目所述，，，‎ 由条件概率公式可知．‎ 故答案为B．‎ 随练1.10 某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是，则在这段时间内吊灯能照明的概率是 （ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 根据题意知，在这段时间内吊灯能照明的概率为：‎ ‎ ‎ 故答案为C．‎ ‎·自我总结·‎ ‎·‎ ‎ ‎ ‎·课后作业·‎ ‎·‎ 作业1 一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ‎ 一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为，‎ ‎∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，‎ 则指定的某个个体被抽到的概率为×5=．‎ 故填：．‎ 作业2 一个总体中有个个体，随机编号为，依编号顺序平均分成个小组，组号依次为．现用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为，那么在第 小组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同．若，则在第7组中抽取的号码是 ．‎ ‎【答案】 63‎ ‎【解析】 ∵m=6， =7，m+ =13，‎ ‎∴在第7小组中抽取的号码是63．‎ 作业3 某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为（ ）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 设大一抽取的人数为n人，则用分层抽样的方法可得，‎ ‎∴x=80．‎ 作业4 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路 畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0,10 ，分别有五个级别：T∈[0,2)畅通；T∈[2,4)基本畅通；T∈[4,6)轻度拥堵；T∈[6,8)中度拥堵；T∈[8,10 严重拥堵．晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示．‎ ‎(1)请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个；‎ ‎(2)用分层抽样的方法从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10 的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；‎ ‎(3)从(2)中抽出的6个路段中任取2个，求至少1个路段为轻度拥堵的概率．‎ ‎【答案】 见解析； ‎【解析】 (1)补全直方图如图：‎ 由直方图可知：(0.1＋0.2)×1×20＝6，‎ ‎(0.25＋0.2)×1×20＝9，‎ ‎(0.1＋0.05)×1×20＝3.‎ ‎∴这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段分别为6个、9个、3个．‎ ‎(2)由(1)知拥堵路段共有6＋9＋3＝18个，按分层抽样从18个路段中选出6个，每种情况分别为：×6＝2，×9＝3，×3＝1，即这三个级别路段中分别抽取的个数为2,3,1.‎ ‎(3)记(2)中选取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，选取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，选取的1个严重拥堵路段为C1，‎ 则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：‎ ‎(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15种可能．‎ 其中至少有1个轻度拥堵的有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，共9种可能．‎ ‎∴所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为＝.‎ 作业5 某商品销售量（件）与销售价格（元/件）负相关，则其回归方程可能是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由x与y负相关，‎ 可排除B、D两项，‎ 而C项中的=-10x-200＜0不符合题意．‎ 作业6 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和．假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．‎ ‎（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；‎ ‎（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；‎ ‎（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？‎ ‎【答案】 （1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，‎ 由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，‎ 射击4次，相当于4次独立重复试验，‎ 故P（A1）=1-P（）=1-()4=．‎ 即甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为；‎ ‎（2）记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，‎ ‎“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，‎ P（A2）=()2(1-)4-2=，‎ P（B2）=()3(1-)4-3=．‎ 由于甲、乙射击相互独立，‎ 故P（A2B2）=P（A2）P（B2）=•=．‎ 即两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为；‎ ‎（3）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，‎ ‎“乙第i次射击为击中”为事件Di，（i=1，2，3，4，5），‎ 则A3=D5D4（），且P（Di）=，‎ 由于各事件相互独立，‎ 故P（A3）=P（D5）P（D4）P（）P（）=×××（1-×）=，‎ 即乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是 ‎【解析】 本题考查排列组合问题的实际应用，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题，可以作为解答题出现在试卷上．‎ ‎（1）由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；击中目标的概率分别是和 ‎，射击4次，相当于4次独立重复试验，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．‎ ‎（2）两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次，表示相互独立的两个事件同时发生，写出两个事件的概率，根据相互独立事件的概率公式得到结果．‎ ‎（3）乙恰好射击5次后，被中止射击，表示最后两次射击一定没有射中，前两次最多一次没击中，这几个事件之间是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．‎ 解：（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，‎ 由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，‎ 射击4次，相当于4次独立重复试验，‎ 故P（A1）=1-P（）=1-()4=．‎ 即甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为；‎ ‎（2）记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，‎ ‎“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，‎ P（A2）=()2(1-)4-2=，‎ P（B2）=()3(1-)4-3=．‎ 由于甲、乙射击相互独立，‎ 故P（A2B2）=P（A2）P（B2）=•=．‎ 即两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为；‎ ‎（3）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，‎ ‎“乙第i次射击为击中”为事件Di，（i=1，2，3，4，5），‎ 则A3=D5D4（），且P（Di）=，‎ 由于各事件相互独立，‎ 故P（A3）=P（D5）P（D4）P（）P（）=×××（1-×）=，‎ 即乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是．‎ 作业7 编号为的名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：‎ 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；‎ 从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，‎ ‎①用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；‎ ‎②求这2人得分之和大于分的概率．‎ ‎【答案】 （1）见解析（2）①见解析；②‎ ‎【解析】 （1）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：‎ 得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40 上的共6人；‎ ‎（2）①得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，‎ 从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：‎ ‎（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），‎ ‎（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），‎ ‎（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．‎ ‎②从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：‎ ‎（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种 故这2人得分之和大于50分的概率P=．‎ 作业8 如图，在边长为1的正方形中随机撒粒豆子，有粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．‎ ‎【答案】 0.18‎ ‎【解析】 正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，‎ ‎∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，‎ ‎∴几何槪型的概率公式进行估计得，‎ 即S=0.18．‎ 作业9 在6道题中有4道理 题和2道文 题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理 题的条件下，第2次抽到理 题的概率是________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 第1次抽到理 题，则剩下3道理 题和2道文 题，所以第2次抽到理 题的概率是．‎ 作业10 已知从A口袋中摸出一个球是红球的概率为，从B 口袋中摸出一个球是红球的概率为．现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意可得，从A口袋中摸出一个球不是红球的概率为，‎ 从A口袋中摸出一个球不是红球的概率为，‎ 故从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率为．‎