【数学】2019届一轮复习北师大版（文）1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲
考情考向分析
1.理解命题的概念．
2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分又不必要条件
p⇏q且q⇏p
知识拓展
从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A?B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A?B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“对顶角相等”是命题．( √ )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( × )
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
(4)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( √ )
(5)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．( √ )
题组二 教材改编
2．下列命题是真命题的是( )
A．矩形的对角线相等
B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若整数a是素数，则a是奇数
D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题
答案 A
3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
题组三 易错自纠
4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )
A．若x
y，则x2>y2 D．若x≥y，则x2≥y2
答案 B
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
5．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 x＞y⇏x＞|y|(如x＝1，y＝－2)，
但当x＞|y|时，能有x＞y.
∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件．
6．已知p：x>a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，2]
解析 由已知，可得{x|2＜x＜3}?{x|x＞a}，∴a≤2.
题型一 命题及其关系
1．下列命题是真命题的是( )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x＜y，则x2＜y2
答案 A
2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( )
A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有
C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福
答案 D
3．原命题为“△ABC中，若cos A<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．真，假，假
答案 B
解析 若cos A<0，A为钝角，则△ABC
为钝角三角形，所以原命题为真，则逆否命题也为真；△ABC为钝角三角形，可能是B或者C为钝角，A可能为锐角，cos A>0.所以逆命题为假，则否命题也为假．故选B.
4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是____________．
答案 若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
题型二 充分必要条件的判定
典例 (1)“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cos x＋m－1有零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 方法一 若0≤m≤1，则0≤1－m≤1，
∴cos x＝1－m有解．
要使函数f(x)＝cos x＋m－1有零点，
只需|m－1|≤1，解得0≤m≤2，故选A.
方法二 函数f(x)＝cos x＋m－1有零点，
则|m－1|≤1，解得0≤m≤2，
∵{m|0≤m≤1}?{m|0≤m≤2}．
∴“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cos x＋m－1”有零点的充分不必要条件．
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由5x－6>x2，得21且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，
当x＋y>2时，可令x＝－1，y＝4，即q⇏p，
故p是q的充分不必要条件．
11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
答案 (0,3)
解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，
N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．
∵p是q的充分不必要条件，∴M?N，
∴解得0＜a＜3.
12．有下列几个命题：
①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
答案 ②③
解析 ①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；
②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．
13．(2018·邵阳二模)“m>1”是“函数f(x)＝3x＋m－3在区间[1，＋∞)上无零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 函数f(x)＝3x＋m－3在区间[1，＋∞)上无零点，则31＋m>3，即m＋1>，解得m>，
故“m>1”是“函数f(x)＝3x＋m－3在区间[1，＋∞)上无零点”的充分不必要条件，故选A.
14．已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 方法一 命题p为，
命题q为{x|a≤x≤a＋1}．
綈p对应的集合A＝，
綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N＋都成立，于是可得3>2λ，即λ<.
故所求λ的取值范围是.
16．设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 ∵a－b>1，即a>b＋1.
又∵a，b为正数，
∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立；反之，当a＝，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．
