【数学】2019届一轮复习北师大版 推理问题的常见求解策略 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 推理问题的常见求解策略 学案

第95题 推理问题的常见求解策略 I．题源探究·黄金母题 ‎【例1】对于任意正整数与的大小关系为 （ ）‎ A．当时， B．当时，‎ C．当时， D．当时，‎ ‎【答案】D ‎【解析】经过计算可得如下表格 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎… : _ _ ]‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ ‎36‎ ‎…‎ ‎2‎ ‎4[ : ]‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎32‎ ‎64‎ ‎…‎ 从而可得，当时，，故选D．‎ ‎【例2】在数列中，，则数列的通项公式为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎（2）假设当时猜想成立，则，‎ 当时猜想也成立．‎ 综合（1）（2）对猜想都成立，故应填．‎ 精彩解读 ‎【试题 】例1：人教A版选修2-2习题3．1P55A组T5改编；例2：人教A版选修2-2P84习题2．1A组T3改编；例3：人教A版选修2-2P78练习T3改编；例4：人教A版选修2-2P82阅读与思考改编．‎ ‎【母题评析】主要考查合情推理和演绎推理，突出考查推理能力．‎ ‎【思路方法】合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数 研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数 结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）．‎ ‎【例3】设P是内一点，三边上的高分别为、、，P到三边的距离依次为，，，则有 ；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是、，，，P到这四个面的距离依次是，，，，则有 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【例4】如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点．‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 在任意中有余弦定理：‎ ‎．‎ 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）证：由题意知，∥‎ ‎，，且平面，‎ 平面．‎ ‎（2）在斜三棱柱中，有 ‎，其中为平面与平面所组成的二面角．‎ 证明：平面上述的二面角为，在中，，，‎ ‎，‎ ‎，其中为平面与平面所组成的二面角．‎ II．考场精彩·真题回放 ‎【例1】【2017高考新课标2理7】甲、乙、丙、丁四位同 一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎【答案】D ‎【命题意图】这类题以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题，注重考查 生的分析问题、解决问题以及推理能力．‎ ‎【考试方向】这类试题在考查题型上，若为选择题或填空题，则难度中等偏易；若为解答题，主要是演绎推理，难度较大．‎ D．‎ ‎【例2】【2017高考北京文14】某 习小组由 生和 教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：‎ ‎（1）男 生人数多于女 生人数；‎ ‎（2）女 生人数多于教师人数；‎ ‎（3）教师人数的两倍多于男 生人数．‎ ‎①若教师人数为4，则女 生人数的最大值为__________．‎ ‎②该小组人数的最小值为__________．‎ ‎【答案】6，12‎ ‎【解析】设男生数，女生数，教师数为，则 ‎ 第一小问：；‎ 第二小问：‎ ‎【难点中心】1．归纳推理的思维过程可概括为：‎ →→；‎ ‎2．类比推理的思维过程可概括为：‎ →→；‎ ‎3．演绎推理的格式为：M—P（M是P）；S—M（S是M）；S—P（S是P）．‎ III．理论基础·解题原理 ‎1．归纳推理：把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理．‎ 归纳推理的一般步骤：‎ ‎（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质；‎ ‎（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；‎ ‎（3）证明（视题目要求，可有可无）．‎ ‎2．类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ 类比推理的一般步骤：‎ ‎（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；‎ ‎（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；‎ ‎（3）检验猜想．‎ ‎3．合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．‎ ‎4．演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．演绎推理的一般模式——“三段论”，包括：‎ M ‎·a S ‎（1）大前提——已知的一般原理；‎ ‎（2）小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ 用集合的观点来理解：若集合中的所有元素都具有性质，是的一个子集，那么中所有元素也都具有性质．‎ 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．‎ IV．题型攻略·深度挖掘 ‎【考试方向】‎ 合情推理通（归纳推理和类比推理）常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，而演绎推理常以解答题的形式出现，难度较大．‎ ‎【技能方法】‎ 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数 研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数 结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）．‎ ‎（1）归纳推理的思维过程可概括为：→→；‎ ‎（2）类比推理的思维过程可概括为：→→；‎ ‎（3）演绎推理的格式为：M—P（M是P）；S—M（S是M）；S—P（S是P）．‎ ‎【易错指导】归纳推理、类比推理、演绎推理三种方法的区别：‎ ‎（1）归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法，归纳推理一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．‎ ‎（2）类比推理是在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似点后推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．‎ ‎（3）演绎推理是由一般性命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴含的关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，推出的结论必定是真实的，但是错误的前提或推理形式可能导致错误的结论．‎ V．举一反三·触类旁通 考向1 归纳推理 ‎1．归纳推理的特点：‎ ‎（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；‎ ‎（2）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数 证明的工具；‎ ‎（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．‎ ‎2．归纳推理的一般步骤：‎ ‎（1）通过观察个别情况发现某些相同本质；‎ ‎（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．‎ ‎3．命题规律：归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，属中高档题．‎ 高考对归纳推理的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎（1）数表（分群数列）的归纳；‎ ‎（2）式（等式、不等式）的归纳；‎ ‎（3）形的归纳．‎ ‎【例1】【2018湖南长沙雅礼中 、河南实验中 高三联考】如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点 处标1，点处标2，点处标3，点处标4，点处标5，点处标6，点处标7，以此类推，则标签的格点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【名师点睛】本题考查证明推理的应用．首先要观察条件的规律，得到其规律的通项关系．本题中的规律是第圈的正方形右上角标签为，坐标为；利用规律，则可以快速得到答案．‎ ‎【例2】【2017江西南昌三模】已知 若，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是时，则等号右边的数为，因此，令，则．故选C．‎ ‎【例3】【2017河北石家庄】老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”‎ ‎；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为，则 （ ）‎ A．7 B．8 C．11 D．15‎ ‎【答案】C ‎【分析】由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，∴比三个操作的此时 要多，比四个操作的此时要少，相当于操作三个的时候，最上面的那个移动了几次，就会增加几次，故选C．‎ ‎【名师点睛】归纳推理问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．‎ ‎(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．‎ ‎(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．‎ ‎(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．‎ ‎【例4】【2018四川雅安市高三下 期三诊】观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想：__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【例5】有一些自然数排成的倒三角，从第二行起，每个数字等于“两肩”数的和，最后一行只有一个数，那么__________．‎ ‎ 1 2 3 4 …… 8 9 10 11‎ ‎ 3 5 7 …… 17 19 21‎ ‎ 8 12 …… 36 40‎ ‎ 20 …… 76‎ ‎ ……………………………‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为，首项为；第二行公差为，首项为；第三行公差为，首项为；……；第行公差为，首项为．当时，“金字数”． * / ‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2017河南郑州二模】设函数，定义，，则的值是 （ ）‎ A． B． C．0 D．1‎ ‎【答案】A ‎【分析】由题设可得：‎ ‎，显然 ‎，即，‎ 又，且，‎ ‎，故选A．‎ ‎2．将正偶数，，，，按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为 （ ）‎ 第列 第列 第列 第列 第列 第行 第行 第行 第行 第行 ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎3．【2018吉林省吉林市高三第三次调研】《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： 则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则______．‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】∵，，，，∴按照以上规律，可得．故答案为．‎ ‎4．【2018山东枣庄三中高三一模】已知，观察下列不等式：‎ ‎……………………………………‎ 照此规律，当 时， ．‎ ‎【答案】‎ ‎【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题．归纳推理的一般步骤：一、通过观察个别情况发现某些相同的性质．二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）．常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳．‎ ‎5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形．‎ ‎（1）求出的值；‎ ‎（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你得到的关系式求出的表达式；‎ ‎（3）求的值．‎ ‎【答案】（1）41；（2）；（3）．‎ ‎【解】（1）．‎ ‎（2），‎ 由上述规律，得．[ : . . .X.X. ]‎ ‎（3）当时，，则 ‎ + + ‎ 考向2 类比推理 ‎1．类比推理的关键是找到合适的类比对象，找出两类事物之间的相似性或一致性是解题的关键．‎ ‎2．几种常见的类比对象 ‎（1）平面与空间的类比 平面 点 线 圆 三角形 角 面积 长度（周长）‎ ‎……‎ 空间 线 面 球 三棱锥 二面角[ : _ _ _X_X_ ]‎ 体积 面积（表面积）‎ ‎……‎ ‎（2）等差数列与等比数列的类比 等差数列 两项之和 两项之差 前项之和 ‎……‎ 等比数列 两项之积 两项之比 前项之积 ‎……‎ ‎【例6】【2018河北衡水金卷调研卷（五）】下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是 （ ）‎ ① ‎“数轴上两点间距离公式为，平面上两点间距离公式为”‎ ‎，类比推出“空间内两点间的距离公式为 “；‎ AB|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+( 2- 1)‎ ‎②“代数运算中的完全平方公式”类比推出“向量中的运算仍成立“；‎ ‎③“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两不重合的直线不平行就相交“也成立；‎ ‎④“圆上点处的切线方程为”，类比推出“椭圆 上点处的切线方程为”．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【例7】【2018内蒙古北京八中乌兰察布分校高二下 期第一次调考】类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是(　　)‎ ‎①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．‎ A．① B．③ C．①② D．①②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三角形的性质结合正四面体的性质进行类比推理可得：‎ ‎①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；‎ ‎②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；‎ ‎③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．‎ 即比较恰当的性质是①②③．故选D．‎ ‎【例8】【2018吉林长春高三质量监测（三）】中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8771 用算筹可表示为，故选：C． 7 ‎ ‎【例9】【2018广东省际名校（茂名市）高三下 期联考（二）】《九章算术》中记载了我国古代数 家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理：“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等．如图，设满足不等式组的点组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为；满足不等式组的点组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为．利用祖暅原理，可得（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件可得，用任意一个与轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点的距离为，则所得截面，，由祖庚原理可得．又，，故选C．‎ ‎【例10】（1）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有，设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 ．‎ ‎（2）把本例条件“由勾股定理有”换成“”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．‎ ‎（3）如图在中，作于点，则有，类比该性质，试给出空间中四面体性质的猜想．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）四面体中，若三个侧面两两垂直，且分别与底面所成角为，则；‎ ‎（3）四面体中，若两两垂直，平面，则．‎ 设则在中，由余弦定理推论，得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又．‎ ‎（2）如图，在中，．‎ 于是把结论类比到空间四面体中，我们猜想，四面体中，若三个侧面两两垂直，且分别与底面所成角为，则．‎ ‎（3）如图，连结交于点，连结．平面，而平面．在中，．‎ 同理，在中，．‎ ‎【名师点睛】‎ ‎1．解决类比推理问题的方法步骤 ‎（1）类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：‎ ‎①找出两类事物之间的相似性或一致性；‎ ‎②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．‎ ‎（2）类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．‎ ‎2．类比推理的几个角度 ‎（1）类比定义：如等差数列与等比数列的定义；‎ ‎（2）类比性质：如椭圆与双曲线的性质；数的运算与向量的运算类比；‎ ‎（3）类比方法：如基本不等式与柯西不等式；‎ ‎（4）类比结构：如三角形内切圆与三棱锥内切球；‎ 平面与空间类比；低维的与高维的类比等．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018湖北鄂东南省级示范高中教育教 改革联盟校高二下 期期中考试】我国古代数 名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“．．．”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（ ）‎ A． B．3 C．6 D．‎ ‎【答案】A ‎2．通过圆与球的类比，由结论“半径为r的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r2”猜想关于球的相应结论为“半径为R的球的内接六面体中， ”（ ）‎ A．长方体的体积最大，最大值为2R3 B．正方体的体积最大，最大值为3R3‎ C．长方体的体积最大，最大值为 D．正方体的体积最大，最大值为 ‎【答案】D ‎【解析】类比可知半径为R的球的内接六面体中，正方体的体积最大，设其棱长为a，正方体体对角线的长度等于球的直径，即a＝2R，得a＝，体积V＝a3＝．故选D．‎ ‎3．【2018山西运城市康杰中 高二下 期期中考试】若数列是等差数列，，则数列也为等差数列，类比这一性质可知，若是正项等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将等差数列中的加法和除法分别类比成等比数列中的乘法和开方，可得在等比数列中的表达式应为．故选D．‎ ‎4．【2017江西模拟】我们知道：“平面内到定点距离等于定长的点轨迹是圆”拓展至空间：“空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知，则点集在空间中的轨迹描述正确的是 （ ）‎ A．以为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面 B．以为焦点的椭球体 C．以为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面 D．以上都不对 ‎【答案】C ‎【分析】由特殊到特殊进行类比推理可得：点集在空间中的轨迹描述正确的是以为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面，故选C．‎ ‎5．【2018四川广元高三第一次适应性统考】二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积），三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积），应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度，则其思维测度W=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，二维空间中，二维测度的导数为一维测度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度．由此归纳，在四维空间中，四维测度的导数为三维测度，故．选A．‎ ‎6．在正项等差数列中有成立，则在正项等比数列中，类似的结论为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】结合等差数列和等比数列的性质，类比题中的结论可得：在正项等比数列中，类似的结论为． / * ‎ ‎7．【2018河南中原名校（即豫南九校）高三第六次质量考评】已知函数，由是奇函数，可得函数的图象关于点对称，类比这一结论，可得函数的图象关于点___________对称．‎ ‎【答案】‎ 是奇函数，所以函数的图象关于点对称．‎ 考向3 演绎推理 演绎推理是最重要、最常见的形式是三段论，它由大前提、小前提、结论三部分组成．其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．只要前提和推理形式正确，结论就必定正确．‎ ‎【例11】【2018重庆高三第二次质量调研】为培养 生分组合作能力，现将某班分成三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数 建模考试中三人成绩情况如下：在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比丙低，在组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数 建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是 A．甲、丙、乙 B．乙、甲、丙 C．乙、丙、甲 D．丙、乙、甲 ‎【答案】C ‎【解析】因为在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组．假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数 建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲．假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲．故选C．‎ ‎【例12】【2018贵州高三适应性考试】为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设原信息为，传输信息为，其中，，运算规则为：，，，．例如：原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是（ ）‎ A．01100 B．11010 C．10110 D．11000‎ ‎【答案】D ‎【解析】A选项原信息为110，则=1⊕1=0，=0⊕0=0，所以传输信息为01100，‎ D选项错误；故选D．‎ ‎【名师点睛】演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．‎ ‎【例13】【2018贵州凯里一中高三下 期《黄金卷》（三）】取数游戏：每次游戏中，游戏人按动游泳按钮，就从如图：的三个窗口中各弹出一个数字，其中：最左边窗口可随机弹出数字4或3，中间窗口可随机弹出3或2，最右边窗口可随机弹出2或1．若弹出的三个数字为“顺子”（如：432），则可获奖10元，若有相邻两位数字相同，则可获奖8元，其他情况获奖-2元．甲玩了8次游戏后，乙问甲的获奖情况，甲说：“23元有余，28元不足，3除不尽．”那么甲在这8次游戏中得到“顺子”、“相邻两位数字相同”、“其他情况”的次数依次为（ ）‎ A．0，4，4 B．2，2，4 C．2，3，3 D．1，3，4‎ ‎【答案】D ‎【解析】填好的三位数可能是：．获10元的有两种情况；获8元的有四种情况；获元的有两种情况．甲获奖的可能有元．但奖金均为偶数．所以只能有24，26元两种可能，又不能被3整除，最后确定奖金为26元，可代答案检验1，3，4符合要求．故选．‎ ‎【例14】【2018齐鲁名校教 研协作体山东、湖北部分重点中 高考冲刺模拟】已知曲线（）的切线与曲线相切于点，某 习小组的三名同 甲、乙、丙通过独立求解后表达了自己的观点，甲说：这样的直线只有一条；乙说：的取值介于与之间；丙说：甲和乙至多有一个人的结果正确，则甲、乙、丙三人中观点正确的人有__________．‎ ‎【答案】甲、乙 令，，所以单调递增，因为，所以存在唯一使得，所以甲、乙正确，故答案为：甲、乙． 5 ‎ ‎【例15】【2018安徽六校联考】已知函数．‎ ‎（1）研究函数的单调性；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在上单调递增；（2）．‎ ‎【解析】（1）易知函数的定义域为，．‎ 设，则．‎ 当时，，当时，，∴，故，∴在上单调递增．‎ 设，则．‎ 设，则，∴在上单调递增，∴，∴，∴在上单调递增，‎ ‎∴，故，∴在上单调递增，又，∴在上恒成立．‎ 综上所述，在上恒成立，∴的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】演绎推理的推证规则 ‎（1）演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果大前提是显然的，则可以省略；[ : XX ]‎ ‎（2）在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018青海省西宁高三下 期一模】某 校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是（ ）‎ A．《雷雨》只能在周二上演 B．《茶馆》可能在周二或周四上演 C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D．四部话剧都有可能在周二上演 ‎【答案】C ‎【解析】由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C．‎ ‎2．【2018陕西咸阳二模】已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民．若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（ ）‎ A．甲是军人，乙是工人，丙是农民 B．甲是农民，乙是军人，丙是工人 C．甲是农民，乙是工人，丙是军人 D．甲是工人，乙是农民，丙是军人 ‎【答案】A ‎【解析】丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则甲丙均不是工人，故乙是工人；乙的年龄比农民的年龄大，即工人的年龄比农民的年龄大，而工人的年龄比甲的年龄小，故甲不是农民，则丙是农民；最后可确定甲是军人．故选A．‎ ‎3．【2018海南高三二模】‎ 在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与．据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ）‎ A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丁 D．丙、丁 ‎【答案】D ‎【解析】若甲乙参加此案，则不符合（3）；若乙丙参加此案，则不符合（3）；若甲丁参加此案，则不符合（4）；当丙丁参加此案，全部符合．故选D． 5 ‎ ‎4．【2018山东高三天成大联考第二次考试】已知甲、乙、丙三人中，一人是公务员，一人是医生，一人是教师．若丙的年龄比教师的年龄大；甲的年龄和医生的年龄不同；医生的年龄比乙的年龄小，则下列判断正确的是（ ）‎ A．甲是公务员，乙是教师，丙是医生 B．甲是教师，乙是公务员，丙是医生 C．甲是教师，乙是医生，丙是公务员 D．甲是医生，乙是教师，丙是公务员 ‎【答案】B ‎5．【2018衡水金卷信息卷（一）】国庆期间，小张、小王、小李、小赵四人中恰有一人到香港旅游．小张说：“小王、小李、小赵三人中有一人去了香港旅游”；小王说：“小李去了香港旅游”；小李说：“去香港旅游的是小张和小王中的一个人”；小赵说：“小王说的是对的”．若这四人中恰有两人说的是对的，则去香港旅游的是（ ）‎ A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 ‎【答案】B ‎【解析】若小王说对，则小李说错，小张与小赵说对，不合题意；所以小王说错，则小赵说错，小张与小李说对，选B．‎ ‎6．【2018陕西咸阳高三一模】某公司招聘员工，以下四人只有一个人说真话，且只有一个人被录用，甲：丙被录用；乙：我没有被录用；丙：丁被录用；丁：我没有被录用，根据以上条件，可以判断被录用的人是__________．‎ ‎【答案】乙 ‎ 综上可推得被录用的人是乙．‎ ‎【名师点睛】本题考查了推理的实际应用问题，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数 研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数 结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．‎ ‎7．【2018河南中原名校（即豫南九校）高三第六次质量考评】某校为保证 生夜晚安全，实行教师值夜班制度，已知共5名教师每周一到周五都要值一次夜班，每周如此，且没有两人同时值夜班，周六和周日不值夜班，若昨天值夜班，从今天起至少连续4天不值夜班，周四值夜班，则今天是周___________．‎ ‎【答案】四 ‎【解析】因为昨天值夜班，所以今天不是周一，也不是周日．若今天为周二，则周一值夜班，周四值夜班，则周二与周三至少有一人值夜班，与至少连续天不值夜班矛盾；若今天为周三，则周二值夜班，周四值夜班，则周三与周五至少有一人值夜班，与至少连续天不值夜班矛盾；若今天为周五，则周四值夜班，与周四值夜班矛盾；若今天为周六，则周五值夜班，周四值夜班，则下周一与周二至少有一人值夜班，与至少连续天不值夜班矛盾．综上所述，今天是周四．‎ ‎8．【2018巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校高三摸底考试】设函数．‎ ‎（1）当曲线在点处的切线与直线垂直时，求的值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意知，函数的定义域为，，由得 ‎，解得．‎ ‎（2）若函数有两个零点，则方程恰有两个不相等的正实根，即方程恰有两个不相等的正实根．‎ 当时，恒成立，则函数在上是增函数，∴函数最多一个零点，不合题意，舍去；当时，令，解得，令，解得，则函数在内单调递减，在上单调递增．易知时，恒成立，要使函数有2个正零点，则的最小值，即，即．‎ ‎，，解得，即实数的取值范围为． · 1 ‎