空间中直线与直线之间的位置关系1

空间中直线与直线之间的位置关系1

‎ ‎ 课题 ‎2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 教材版本 新课标：人教版《数学2》‎ 教学目标 一 、知识要点 ‎1.异面直线的定义 2.异面直线的画法 ‎3.异面直线所成的角的定义 4.平行公理与等角定理 二、能力要求 ‎1.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。‎ ‎2.会用平面衬托来画异面直线。‎ ‎3.掌握并会应用平行公理和等角定理。‎ ‎4.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。‎ 三、情感与价值目标 ‎1.提高学生的空间想象能力和作图能力。、‎ ‎2.增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。‎ ‎3.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。‎ 教学重点、难点 教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。‎ 教学难点：异面直线所成角的推证与求解。 ‎ 教学方法 讲授法、讨论法、指导合作探究法 教具准备 学生学案一份、上课用多媒体课作一个、合作探究（二）配套教学模型一个 备课札记 教学过程 一、复习引入 ‎1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）‎ 相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）‎ ‎2．实例。十字路口----立交桥 立交桥中, 两条路线AB, CD既不平行，又不相交（非平面问题）‎ 六角螺母 ‎ A B C D 二、新课讲解 ‎1.异面直线的定义:‎ 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。‎ 练习：在教室里找出几对异面直线的例子 注1：两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.‎ 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.‎ 合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？‎ 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。 ‎ 空间两直线的位置关系 按平面基本性质分 （1）同在一个平面内：相交直线、平行直线 ‎（2）不同在任何一个平面内：异面直线 按公共点个数分 （1）有一个公共点: 相交直线 5‎ ‎ ‎ ‎（2）无公共点：平行直线、异面直线 ‎2．异面直线的画法 说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.‎ H C B E D G A 合作探究二：如图是一个正方体的展开图,如果将它 还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段 所在直线是异面直线的有 对?‎ 答:共有三对 ‎3.异面直线所成的角 ‎(1)复习回顾 A B G F H E D C 在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度, 如图.‎ O ‎(2)问题提出 在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画 ‎(3)解决问题 思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).‎ a′‎ O b′‎ 异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ]‎ 注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , ‎ ‎ 记为a ⊥ b 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小 ‎ 是否改变? 答 : 这个角的大小与O点的位置无关.‎ ‎ (4)理论支持 ㈠：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,‎ ‎　　那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?‎ 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？‎ 5‎ ‎ ‎ a b c e d ‎ a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …‎ 公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．——平行线的传递性 推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．‎ ㈡：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结论是否仍然成立呢？‎ D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ C A B D 观察：如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,∠ADC与 ‎∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?‎ 答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,‎ ‎ ∠ADC +∠A1B1C1=180O 定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ 证: 这个角的大小与O点的位置无关.‎ 证明 : 如图 , 再过空间另一点O’作a″∥a ,‎ 设a ′与 b ′所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,‎ ‎∵ a′∥a , a″ ∥a ∴ a′∥ a″ (公理4),‎ 同理 b′∥b, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理) ‎ 注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)‎ ‎4．例题选讲 G F H E B C D A ‎1.下图长方体中 ‎(1)说出以下各对线段的位置关系?‎ ‎①EC和BH是 相交 直线 ‎②BD和FH是 平行 直线 ‎ ‎③BH和DC是 异面 直线 ‎ ‎(2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?‎ 5‎ ‎ ‎ 课后思考：长方体的棱中共有多少对异面直线？‎ A B G F H E D C 例2．如图，正方体ABCD-EFGH中如图，正方体 ABCD-EFGH中O为侧面ADHE的中心，求 ‎(1)BE与CG所成的角？‎ ‎(2)FO与BD所成的角？‎ 解：(1)如图：∵CG∥BF，‎ ‎∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，‎ 又 D BEF中∠EBF =450 ，所以BE与CG所成的角为450‎ ‎（2）连接FH，‎ ‎∵HD∥EA∥FB ∴HD∥FB ∴四边形HFBD为平行四边形，‎ ‎∴HF∥BD，∴∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角。‎ 连接HA、AF，易得FH=HA=AF，∴△AFH为等边△，‎ 又依题意知O为AH中点, ∴∠HFO=300 即FO与BD所成的夹角是300‎ 注4：求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”‎ ‎5．课堂练习 G F H E B C D A ‎.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB =, AD =, AE = 2‎ ‎(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?‎ ‎(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?‎ 解答：(1) 450 (2) 600‎ ‎ 6．课堂小结 异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。‎ 空间两直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线 异面直线的画法：用平面来衬托 异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角 公理４（平行公理）：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ 等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ 异面直线所成角的求法: 一作(找)二证三求 课后作业 作业：P56：6‎ 课后思考题：‎ ‎1．在平面内我们有“垂直于同一条直线的两条直线平行”在空间, 这一结论是否一定成立? 答 : 不一定 注：不是所有的平面中的定理都可以推广到空间 ,若推广需证明其正确性.‎ E A B F D C ‎2．“ 若直线 a 与直线 b 异面，直线 b 与直线 c 异面。 则a与c 也异面”。这一命题对吗？为什么？ ( 即:异面直线是否具有传递性）‎ 答：不一定。‎ 注：异面直线不具有传递性 如图，正四面体 A-BCD 中 , E、F 分别是边 AD、‎ BC的中点，求异面直线 EF与AC 所成的角？‎ 思考：在此题中，连接AC ，若有AC＝BD，则四边形EFGH是什么图形？‎ 教 5‎ ‎ ‎ 学 后 记 5‎