高中数学好题经典-有难度
1；设函数 的图象在点 处的切线的斜率为
，且函数 为偶函数．若函数 满足下列条件：① ；②对一切实
数 ，不等式 恒成立．
（Ⅰ）求函数 的表达式；
（Ⅱ）求证： ．
（Ⅰ）解：由已知得： ． ……………1
分
由 为偶函数，得 为偶函数，
显然有
．
…………2分
又 ，所以 ，即 ． …………3分
又因为 对一切实数 恒成立，
即对一切实数 ，不等式 恒成立． …………4分
显然，当 时，不符合题意． …………5
分
当 时，应满足
注意到 ，解得 ． …………7分
所以
． ……………8
分
（Ⅱ）证明：因为 ，所以 ．………9分
要证不等式 成立,
即证 ． …………10 分
因为 , …………12 分
所以
．
所以 成立． ……………14 分
2；已知函数：
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为 ，问： 在什么范围取值时，函
数 在区间 上总存在极值？
(3)求证： ．
解：（1） (1 分),
当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ；…………2分
当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ；…………3分
当 时， 不是单调函数…………4分
（2）因为函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为 ，
所以 ，所以 ， ， ……………..…6分
，
…………………………………….……7分
要使函数 在区间 上总存在极值，所以只需
， ………………ks5u……..……9
分 解得 ………………………………………………………10
分
⑶令 此时 ，所以 ，
由⑴知 在 上单调递增，∴当 时 ，
即 ，∴ 对一切 成立，………12分
∵ ，则有 ，∴
…………14 分
来源： 江西省重点中学协作体 2012届高三联考（数学理）
已知函数 = ， .
(Ⅰ)求函数 在区间 上的值域；
（Ⅱ）是否存在实数 ，对任意给定的 ，在区间 上都存在两个不同的 ，使
得 成立.若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）给出如下定义：对于函数 图象上任意不同的两点 ，如果对于函数
图象上的点 （其中 总能使得 成
立，则称函数具备性质“ ”，试判断函数 是不是具备性质“ ”，并说明理由.
解：(Ⅰ) 在区间 上单调递增，在区间
上单调递减,且
的值域为 ………………3分
（Ⅱ）令 ，则由(Ⅰ)可得 ，原问题等价于：对任意的 在
上总有两个不同的实根，故 在 不可能是单调函数 …………………5 分
当 时, ,.s 在区间 上递减，不合题意
当 时, , 在区间 上单调递增，不合题意
当 时, , 在区间 上单调递减，不合题意
当 即 时, 在区间 上单调递减; 在区间 上单递增，由上可
得 ，此时必有 的最小值小于等于 0 而由 可得
，则
综上，满足条件的 不存在。………………………..8 分
（Ⅲ）设函数 具备性质“ ”，即在点 处的切线斜率等于 ，不妨设 ，则
，而 在点 处的切线斜率
为 ，
故有 ………………10 分
即 ，令 ，则上式化为 ，
………………12 分
令 ，则由 可得 在 上单调递增，
故 ，即方程 无解，所以函数 不具备性质
“ ”. ……………………14分
3；已知 a>0,函数 .
（Ⅰ）设曲线 在点（1，f(1))处的切线为 ,若 与圆 相切，求 a的值；
（Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间；
（Ⅲ）求函数 f(x)在[0,1]上的最小值.
解：（Ⅰ）依题意有
过点 的切线的斜率为 ，
则过点 的直线方程为 ……………………………………… 2分
又已知圆的圆心为（-1，0），半径为 1
∴ ，解得 ……………………………………………………… 4分
（Ⅱ）
∵ ，∴
令 解得 ，令 ，解得
所以 的增区间为 ，减区间是 ………………………………8分
（Ⅲ） 当 ，即 时， 在[0,1]上是减函数
所以 的最小值为 …………………………………………………………9分
‚当 即 时
在 上是增函数，在 是减函数…………………………………10 分
所以需要比较 和 两个值的大小
因为 ，所以
∴当 时最小值为 a，
当 时，最小值为 ………………………………………………………12 分
ƒ当 ，即 时， 在[0,1]上是增函数
所以 最小值为 …………………………………………………………………13分
综上，当 时， 为最小值为 a
当 时， 的最小值为 .……………………………………………………14 分
难度： 使用次数：25 入库时间：2011-12-01
[+]试题篮
来源： 浙江省绍兴市绍兴一中 2011学年第一学期高三期中考试试卷 数学（理）
已知函数
（Ⅰ）若函数 是定义域上的单调函数，求实数 的最小值；
（Ⅱ）方程 有两个不同的实数解，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）在函数 的图象上是否存在不同两点 ，线段 的中点的横坐标为 ，
有 成立？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
答案 <<
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
解（Ⅰ） 1分
若函数 在 上递增，则 对 恒成立，即 对 恒成立，
而当 时，
若函数 在 上递减，则 对 恒成立，即 对 恒成立，
这是不可能的．
综上， 的最小值为
1． 4
分
（Ⅱ）解 1、由
令
得 =0的根为 1，所以
当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减，
所以 在 处取到最大值 ，又 ， ，
所以要使 与 有两个不同的交点，则有
……………8 分
（Ⅲ）假设存在，不妨设
9 分
若 则 ，即 ，即 ． （*） 12 分
令 ， （ )，
则 ＞0．∴ 在 上增函数， ∴ ，
∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴
因此，满足条件的 不存
在． 15
分
难度： 使用次数：21 入库时间：2011-11-28
[+]试题篮
来源： 湖北省鄂州市 2012届高三摸底考试数学试题（理科）
已知函数：
⑴讨论函数 的单调性；
⑵若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 45
o
，对于任意的 ，函数
在区间 上总不是单调函数，求 m的取值范围；
⑶求证： ．
答案 >>
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
难度： 使用次数：23 入库时间：2011-11-11
[+]试题篮
来源： 江苏省苏北四市 2012届高三第一次调研测试（数学）
已知正方形 的中心在原点，四个顶点都在函数 图象上．
（1）若正方形的一个顶点为 ，求 ， 的值，并求出此时函数的单调增区间；
（2）若正方形 唯一确定，试求出 的值．
答案 <<
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
⑴因为 ，所以 ，因此 ，
所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ，…………………………2分
由 得 ，由 ，得 ．…4分
⑵因为 ，
所以 ，由题意知 在 上有解，
因为 ，设 ，因为 ，
则只要 解得 ，
所以 b的取值范围 ．………………………………………………………………8 分
⑶不妨设 ．因为函数 在区间 上是增函数，所以 ，
函数 图象的对称轴为 ，且 ，
（ⅰ）当 时，函数 在区间 上是减函数，所以 ，
所以 等价于 ，
即 ，
等价于 在区间 上是增函数，
等价于 在区间 上恒成立，
等价于 在区间 上恒成立，
所以 ，又 ，
所以 ；………………………………………………………………………………………10分
（ⅱ）当 时，函数 在区间 上是减函数，在 上为增函数．
①当 时，
等价于 ，
等价于 在区间 上是增函数，
等价于 在区间 上恒成立，
等价于 在区间 上恒成立，
所以 ，又 ，
所以 ；……………………………………………………………………………12 分
②当 时，
等价于 ，
等价于 在区间 上是增函数，
等价于 在区间 上恒成立，
等价于 在区间 上恒成立，
所以 ，故 ．………………………………………………………………14分
③当 时，
由 图象的对称性知，只要 对于①②同时成立，那么对于③，
则存在 ，
使 恒成立；
或存在 ，
使 恒成立．
因此， ．
综上，b的取值范围是 ．……………………………………………………16 分
难度： 使用次数：21 入库时间：2011-10-23
[+]试题篮
来源： 扬州市中学 2011～2012学年度第一学期期初调研测试高三数学试题
已知函数 （ 是自然对数的底数）.
（1）若曲线 在 处的切线也是抛物线 的切线，求 的值；
（2）若对于任意 恒成立，试确定实数 的取值范围；
（3）当 时，是否存在 ，使曲线 在点 处的切线斜率
与 在 上的最小值相等？若存在，求符合条件的 的个数；若不存在，请说明理由.
答案 <<
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
解：（1） ，所以在 处的切线为
即：
………………………………2 分
与 联立，消去 得 ，
由 知， 或 . ………………………………4分
（2）
①当 时， 在 上单调递增，且当 时， ，
，故 不恒成立，所以 不合题意 ；………………6分
②当 时， 对 恒成立，所以 符合题意；
③当 时令 ，得 ， 当 时， ，
当 时， ，故 在 上是单调递减，在 上
是单调递增, 所以 又 ，
，
综上： . ………………………………10 分
(3)当 时，由（2）知 ，
设 ，则 ，
假设存在实数 ，使曲线 在点 处的切线斜率与 在 上
的最小值相等， 即为方程的解，………………………………13 分
令 得： ，因为 ， 所以 .
令 ，则 ，
当 是 ，当 时 ，所以 在 上单调递减，
在 上单调递增， ,故方程 有唯一解为 1，
所以存在符合条件的 ，且仅有一个 . ……………………16 分
难度： 使用次数：16 入库时间：2011-08-10
[+]试题篮
来源： 安徽省宣城市 2011届高三第二次调研测试数学（理）试题
已知函数 .
⑴若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数 和 的值；
⑵求证； 对任意 恒成立的充要条件是 ；
⑶若 ，且对任意 、 ，都 ，求 的取值范围.
答案 >>
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
难度： 使用次数：20 入库时间：2011-06-20
[+]试题篮
来源： 2011年普通高等学校招生统一考试湖南省理科数学卷解析
已知函数 ( ) = ，g ( )= + 。
（Ⅰ）求函数 h ( )= ( )-g ( )的零点个数。并说明理由；
（Ⅱ）设数列{ }（ ）满足 ， ，证明：存在常数 M,使得 对
于任意的 ，都有 ≤ .
答案 <<
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
难度： 使用次数：18 入库时间：2011-06-20
[+]试题篮
来源： 2011年普通高等学校招生统一考试湖南省理科数学卷解析
已知函数 ( ) = ，g ( )= + 。
（Ⅰ）求函数 h ( )= ( )-g ( )的零点个数。并说明理由；
（Ⅱ）设数列{ }（ ）满足 ， ，证明：存在常数 M,使得 对
于任意的 ，都有 ≤ .
答案 <<
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
难度： 使用次数：30 入库时间：2011-06-16
[+]试题篮
来源： 2011年普通高等学校招生全国统一考试
已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
（I）求 a，b的值；
（II）如果当 x>0，且 时， ，求 k的取值范围．
答案 <<
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
解：
（Ⅰ）
由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即
解得 ，
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以
。
考虑函数 ，则
。
(i)设 ，由 知，当 时， 。而 ，
故
当 时， ，可得 ；
当 x （1，+ ）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当 x>0，且 x 1 时，f（x）-（ + ）>0，即 f（x）> + .
（ii）设 0
0，故 (x）>0，而
h（1）=0，故当 x （1， ）时，h（x）>0，可得 h（x）<0，与题设矛盾。
（iii）设 k 1.此时 （x）>0，而 h（1）=0，故当 x （1，+ ）时，h（x）>0，可得 h（x）
<0，与题设矛盾。
综合得，k 的取值范围为（- ，0]
解：（2）由（1）知 ．
故要证： 只需证
为去分母，故分 x>1 与 01 时，需证
即 即需证 ． （1）
设 ，则
由 x>1 得 ，所以 在（1，+ ）上为减函数．又因 g（1）=0
所以 当 x>1 时 g（x）<0 即（1）式成立．
同理 00 时， ，因为 ，所以
在 上恒成立，故 F(x)在 上单调递
增， ，故 m 的取值范围是
…………（15分）
另法:(3) 令
难度： 使用次数：43 入库时间：2011-05-08
[+]试题篮
来源： 黑龙江省哈三中四校联考 2011届高三一模考试（数学理）
已知函数 （ ， ）， ．
（Ⅰ）证明：当 时，对于任意不相等的两个正实数 、 ，均有
成立；
（Ⅱ）记 ，
（ⅰ）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明： .
答案 <<
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
（Ⅰ）证明： ，
，
，则 ①
，则 ，②
由①②知 ．……………………………… 分
（Ⅱ）（ⅰ） ，
，
令 ，则 在 上单调递增．
，则当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立． …………………………… 5 分
令 ，则当 时， ，
故 在 上单调递减，从而 ，
故 ．……………………………………………………７分
（ⅱ）法一：
，
令 ，
则 表示 上一点 与直线 上一点 距离的平方．… 8 分
令 ，则 ，
可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，则 ，…………………………………… 10 分
直线 与 的图象相切与点 ，
点 到直线 的距离为 ，
则 ，
故 ．……………………………………………………12分
法二：
，
令 ，则 ．………………8分
令 ，则 ，显然 在 上单调递减，在 上单调
递增，………………………………………………………………………………10 分
则 ，则 ，故 ．…………………12 分
难度： 使用次数：55 入库时间：2011-04-29
[+]试题篮
来源： 陕西省西安市 2011届高三五大名校第一次模拟考试（数学理）
已知函数 ，函数 是区间[-1，1]上的减函数.
（I）求 的最大值；
（II）若 上恒成立，求 t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于 x的方程 的根的个数．
答案 <<
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
解：（I） ，
上单调递减，
在[-1，1]上恒成立， ，故 的最大值为 ……4分
（II）由题意
（其中 ），恒成立，
令 ，
则 ，
恒成立，
…………9 分
（Ⅲ）由
令
当
上为增函数；
当 时，
为减函数；
当
而
方程无解；
当 时，方程有一个根；
当 时，方程有两个根. …………14 分
难度： 使用次数：53 入库时间：2011-04-22
[+]试题篮
来源： 湖南省长沙长望浏宁四县市 2011届高三 3月调研考试数学（理）试题
(本小题满分 13 分)
已知函数 ， 为正常数．
（1）若 ，且 ，求函数 的单调增区间；
（2）若 ，且对任意 ， ，都有 ，求 的的
取值范围．
答案 <<
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
解：⑴ ，…2分
∵ ，令 ，得 ，或 ，
∴函数 的单调增区间为 ， 。 6分
⑵∵ ，∴ ，
∴ ， 8分
设 ，依题意， 在 上是减函数。
当 时， ， ，
令 ，得： 对 恒成立，
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ 在 上是增函数，则当 时， 有最大值为 ，
∴ 。
10 分
当 时， ， ，
令 ，得： ，
设 ，则 ，
∴ 在 上是增函数，∴ ，
∴ ，
12 分
综上所述， . 13
分
难度： 使用次数：54 入库时间：2011-04-19
[+]试题篮
来源： 山东省潍坊三县 2011届高三阶段性教学质量检测数学（理）试题
（本小题满分 14分）
已知
（1）求函数 上的最小值；
（2）对一切 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）证明：对一切 ，都有 成立.
答案 <<
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
解：（1）由已知知函数 的定义域为 ， ，……………1分
当 单调递减，当 单调递增.…2 分
① ，没有最小值； ……………………………………………………3分
② ，即 时， ； …………………4分
③ ，即 时， 上单调递增， ； 5分
所以 ……………………………………………6分
（2） ，则 ，…………………………7分
设 ，则 ，
① 单调递减，
② 单调递增，
所以 ，对一切 恒成立，
所以 ；………………………………………………10分
（3）问题等价于证明 ，…………………………11 分
由（1）可知 的最小值是 ，当且仅当 时取到，
设 ，则 ，
易知 ，当且仅当 时取到，…………………………13分
从而对一切 ，都有 成立 ……………………14 分
难度： 使用次数：86 入库时间：2011-04-07
[+]试题篮
来源： 广东省深圳市 2011届高三第一次模拟考试数学（理）试题
（本小题满分 14分）
已知函数 ．
（1）当 时，如果函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围；
（2）当 时，试比较 与 的大小；
（3）求证： （ ）．
答案 <<
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题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用
解：（1）当 时， ，定义域是 ，
， 令 ，得 或 ． …2分
当 或 时， ，当 时， ，
函数 在 、 上单调递增，在 上单调递减． ……………4分
的极大值是 ，极小值是 ．
当 时， ； 当 时， ，
当 仅有一个零点时， 的取值范围是 或 ．……………5 分
（2）当 时， ，定义域为 ．
令 ，
，
在 上是增函
数． …………………………………7 分
①当 时， ，即 ；
②当 时， ，即 ；
③当 时， ，即 ． …………………………………9分
（3）（法一）根据（2）的结论，当 时， ，即 ．
令 ，则有 ， ． ……………12 分
． …………………………………
…14 分
(法二)当 时， ．
， ，即 时命题成立． ………………………………10分
设当 时，命题成立，即 ．
时， ．
根据（2）的结论，当 时， ，即 ．
令 ，则有 ，
则有 ，即 时命题也成立．……………13 分
因此，由数学归纳法可知不等式成
立． ………………………………14 分
（法三）如图，根据定积分的定义，
得 ．……11 分
，
． ………………………………12分
，
又 ， ，
．
． …………………………………
14 分
【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨
论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．
难度： 使用次数：42 入库时间：2011-04-07
[+]试题篮
来源： 广东省深圳市 2011届高三第一次模拟考试数学（理）试题
（本小题满分 14分）
已知函数 ．
（1）当 时，如果函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围；
（2）当 时，试比较 与 的大小；
（3）求证： （ ）．
答案 <<
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题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用
解：（1）当 时， ，定义域是 ，
， 令 ，得 或 ． …2分
当 或 时， ，当 时， ，
函数 在 、 上单调递增，在 上单调递减． ……………4分
的极大值是 ，极小值是 ．
当 时， ； 当 时， ，
当 仅有一个零点时， 的取值范围是 或 ．……………5 分
（2）当 时， ，定义域为 ．
令 ，
，
在 上是增函
数． …………………………………7 分
①当 时， ，即 ；
②当 时， ，即 ；
③当 时， ，即 ． …………………………………9分
（3）（法一）根据（2）的结论，当 时， ，即 ．
令 ，则有 ， ． ……………12 分
，[来源:学科网 ZXXK]
． …………………………………
…14 分
(法二)当 时， ．
， ，即 时命题成立． ………………………………10分
设当 时，命题成立，即 ．
时， ．
根据（2）的结论，当 时， ，即 ．
令 ，则有 ，
则有 ，即 时命题也成立．……………13 分
因此，由数学归纳法可知不等式成
立． ………………………………14 分
（法三）如图，根据定积分的定义，
得 ．……11 分
，
． ………………………………12分
，
又 ， ，
．
． …………………………………
14 分
【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨
论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．
难度： 使用次数：61 入库时间：2011-03-31
[+]试题篮
来源： 江西省重点中学联盟 2011届高三第一次联考（数学理）
（本题满分 14分）
已知函数 （ 为自然对数的底数）．
（1）求 的最小值；
（2）不等式 的解集为 ，若 且 求实数 的取值范围；
（3）已知 ，且 ，是否存在等差数列 和首项为 公比大于 0的等比数
列 ，使得 ？若存在，请求出数列 的通项公
式．若不存在，请说明理由．
答案 <<
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题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用
解：（1） 1分
由 当 ；当
…4分
（2） ， 有解
由 即 上有解 …6 分
令 ， 上减，在[1，2]
上增
又 ，且
… 8分
（3）设存在公差为 的等差数列 和公比 首项为 的等比数列 ，使
…10分
又 时，
故
②-①×2得， 解得 （舍）
故 …12 分
此时
存在满足条件的数列 满足题意 …14 分
难度： 使用次数：70 入库时间：2011-03-30
[+]试题篮
来源： 山东省济南市 2011届高三教学质量调研（一模）数学（理）试题
（本小题满分 14分）
已知函数
(1) 当 时，求函数 的最值；
(2) 求函数 的单调区间；
(3) 试说明是否存在实数 使 的图象与 无公共点.
答案 >>
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题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用
难度： 使用次数：63 入库时间：2011-03-28
[+]试题篮
来源： 浙江省温州中学 2011届高三三月月考数学（文）试题
已知函数 ，过点 P（0，m）作曲线 的切线，斜率恒大于零，则
的取值范围为 .
答案 <<
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题型：填空题 知识点：2.4导数及其应用
难度： 使用次数：42 入库时间：2011-03-27
[+]试题篮
来源： 浙江省六校 2011届高三 2月联考数学（文）试题
已知二次函数 的导函数为 ， 与 轴恰有一个交点，则
的最小值为 （ ）
（A） 2 （B） （C） 3 （D）
答案 <<
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题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用
A
难度： 使用次数：64 入库时间：2011-03-21
[+]试题篮
来源： 江苏省宿豫中学 2011届高三第二次模拟考试（数学）
已知函数
（1）、若函数 在 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）、若函数 在 为增函数，求 的取值范围；
（3）、讨论方程 解的个数，并说明理由。
答案 <<
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题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用
解：（1）因为： ，又 在 处的切线方程为
所以 解得： ………3分
（2）若函数 在 上恒成立。则 在 上恒成立，
即： 在 上恒成立。所以有 ……3 分
（3）当 时， 在定义域 上恒大于 ，此时方程无解；……7 分
当 时， 在 上恒成立，所以 在定义域 上为增函数。
， ，所以方程有惟一解。……8 分
当 时，
因为当 时， ， 在 内为减函数；
当 时， 在 内为增函数。
所以当 时，有极小值即为最小值 。……10分
当 时， ，此方程无解；
当 时， 此方程有惟一解 。
当 时，
因为 且 ，所以方程 在区间 上有惟一解，……12 分
因为当 时， ，所以
所以
因为 ，所以
所以 方程 在区间 上有惟一解。
所以方程 在区间 上有惟两解。 ……14 分
综上所述：当 时，方程无解；
当 时，方程有惟一解；
当 时方程有两解。 ……14分
难度： 使用次数：94 入库时间：2009-03-17
[+]试题篮
来源： 2007年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷.理）
设函数 f(x)=x2
+b ln(x+1),其中 b≠0.
(Ⅰ)当 b> 时，判断函数 f(x)在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数 f(x)的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数 n,不等式 ln )都成立.
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
(I) 函数 的定义域为 .
，
令 ，则 在 上递增，在 上递减，
.
当 时， ，
在 上恒成立.
即当 时,函数 在定义域 上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当 时函数 无极值点.
（2）当 时， ，
时，
时，
时，函数 在 上无极值点。
（3）当 时，解 得两个不同解 ， .
当 时， ， ，
此时 在 上有唯一的极小值点 .
当 时，
在 都大于 0 ， 在 上小于 0 ，
此时 有一个极大值点 和一个极小值点 .
综上可知， 时， 在 上有唯一的极小值点 ；
时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ；
时，函数 在 上无极值点。
（III） 当 时，
令 则
在 上恒正，
在 上单调递增，当 时，恒有 .
即当 时，有 ，
对任意正整数 ，取 得
难度： 使用次数：70 入库时间：2009-03-17
[+]试题篮
来源： 2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷.理）
已知函数 ，其中 ，a为常数
（Ⅰ）当 时，求函数 的极值；
（Ⅱ）当 时，证明：对任意的正整数 n，当 时，有
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题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用
（Ⅰ）解：由已知得函数 的定义域为 ，
当 n=2 时，
所以 .
（1）当 a＞0时，由 =0 得 ＞1， ＜1，
（2）此时 = .
当 x∈（1，x1）时， ＜0, 单调递减；
当 x∈（x1+∞）时， ＞0, 单调递增.
当 a≤0时， ＜0 恒成立，所以 无极值.
综上所述，n=2 时，
当 a＞0时, 在 处取得极小值，极小值为
当 a≤0时， 无极值.
（Ⅱ）证法一：因为 a=1,所以
当 n为偶数时，
令
则 =1+ ＞0（x≥2）.
所以当 x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，
又 g(2)=0
因此 ≥g(2)=0 恒成立，
所以 f(x)≤x-1 成立.
当 n为奇数时，
要证 ≤x-1,由于 ＜0，所以只需证 ,
令 ,
则 =1- ≥0（x≥2）,
所以当 x∈[2，+∞]时， 单调递增，又 h(2)=1＞0，
所以当 x≥2时，恒有 ＞0,即 命题成立.
综上所述，结论成立.
证法二：当 a=1 时，
当 x≤2，时，对任意的正整数 n，恒有 ≤1，
故只需证明 .
令
则
当 x≥2时， ≥0，故 h(x)在 上单调递增，
因此 当 x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即 1+ln(x-1) ≤x-1 成立.
故 当 x≥2时，有 ≤x-1.
即 f（x）≤x-1.
难度： 使用次数：103 入库时间：2009-03-17
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来源： 2008年广东省珠海市高三年级第一次统一考试（文）
设函数 ，其中 为常数．
（1）当 时，判断函数 在定义域上的单调性；
（2）若函数 的有极值点，求 的取值范围及 的极值点；
（3）求证对任意不小于 3的正整数 ，不等式 都成立．
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题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用
解：（1）由题意知， 的定义域为 ，
当 时， ，函数 在定义域 上单调递增．
（2）①由（Ⅰ）得，当 时，函数 无极值点．
② 时， 有两个相同的解 ，
时，
时，函数 在 上无极值点．
③当 时， 有两个不同解，
时， ，
,
此时 ， 随 在定义域上的变化情况如下表：
减 极小值 增
由此表可知： 时， 有惟一极小值点 ，
ii) 当 时，0< <1
此时， ， 随 的变化情况如下表：
增 极大值 减 极小值 增
由此表可知： 时， 有一个极大值 和一个极小值点
；
综上所述：
当且仅当 时 有极值点;
当 时， 有惟一最小值点 ；
当 时， 有一个极大值点 和一个极小值点
（3）由(2)可知当 时，函数 ，
此时 有惟一极小值点
且
难度： 使用次数：115 入库时间：2009-03-17
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来源： 2008年 5月山东省实验中学高三模拟考试（理）
设函数 ，其中 为常数．
（Ⅰ）当 时，判断函数 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数 的有极值点，求 的取值范围及 的极值点；
（Ⅲ）当 且 时，求证： ．
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题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用
解：（1）由题意知， 的定义域为 ，
当 时， ，函数 在定义域 上单调递增．
（2）①由（Ⅰ）得，当 时，函数 无极值点．
② 时， 有两个相同的解 ，
时，
时，函数 在 上无极值点．
③当 时， 有两个不同解，
时， ，
,
此时 ， 随 在定义域上的变化情况如下表：
减 极小值 增
由此表可知： 时， 有惟一极小值点 ，
ii) 当 时，0< <1
此时， ， 随 的变化情况如下表：
增 极大值 减 极小值 增
由此表可知： 时， 有一个极大值 和一个极小值点
；
综上所述：
当且仅当 时 有极值点;
当 时， 有惟一最小值点 ；
当 时， 有一个极大值点 和一个极小值点
（3）由(2)可知当 时，函数 ，
此时 有惟一极小值点
且
令函数
