四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学（理）试题 Word版含解析

四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 成都市2017级高中毕业班第二次诊断性检测 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 复数满足为虚数单位)，则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.‎ ‎【详解】由已知，，故的虚部为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.‎ ‎2. 设全集集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再与集合N求交集.‎ ‎【详解】由已知，，又，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.‎ ‎3. 某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（ ）‎ - 24 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.‎ ‎【详解】由题意，，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.‎ ‎4. 曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只需利用导数的几何意义计算曲线在点处的导数值即可.‎ ‎【详解】由已知，，故切线的斜率为，所以切线方程为，‎ 即.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道基础题.‎ ‎5. 已知锐角满足则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用代入计算即可 - 24 -‎ ‎【详解】由已知，，因为锐角，所以，，‎ 即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.‎ ‎6. 函数在的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可排除选项C、D；再由可排除选项A.‎ ‎【详解】因为 ‎，故为奇函数，‎ 排除C、D；又，排除A.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ - 24 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出每一次循环，直到计数变量满足退出循环.‎ ‎【详解】第一次循环：；第二次循环：；‎ 第三次循环：，退出循环，输出的为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.‎ ‎8. 已知函数则函数的图象的对称轴方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.‎ ‎【详解】由已知，，令，得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.‎ ‎9. 如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.‎ - 24 -‎ ‎【详解】由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，‎ 又所以，即，‎ 所以双曲线的离心率.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.‎ ‎10. 在正方体中，点、分别为、的中点，过点作平面使平面，平面若直线平面，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，推导出，由线面平行的性质定理可得出，可得出点为的中点，同理可得出点为的中点，结合中位线的性质可求得的值.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ - 24 -‎ 设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，‎ 四边形为正方形，、分别为、的中点，则且，‎ 四边形为平行四边形，且，‎ 且，且，则四边形为平行四边形，‎ ‎，平面，则存在直线平面，使得，‎ 若平面，则平面，又平面，则平面，‎ 此时，平面为平面，直线不可能与平面平行，‎ 所以，平面，，平面，‎ 平面，平面平面，，‎ ‎，所以，四边形为平行四边形，可得，‎ 为的中点，同理可证为的中点，，，因此，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ - 24 -‎ ‎11. 已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将转化为，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数形结合即可得到答案.‎ ‎【详解】作出可行域如图所示 设圆心为，则 ‎,‎ 过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，‎ 所以，，‎ 故.‎ - 24 -‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.‎ ‎12. 已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.‎ ‎【详解】，，‎ 由于，则，同理可知，，‎ 函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，‎ ‎，则，，则，‎ 构造函数，其中，则.‎ 当时，，此时函数单调递增；当时，‎ - 24 -‎ ‎，此时函数单调递减.‎ 所以，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 的展开式中的系数为________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在二项展开式的通项中令的指数为，求出参数值，然后代入通项可得出结果.‎ ‎【详解】的展开式的通项为，令，‎ 因此，的展开式中的系数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14. 在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理先算出c，再利用面积公式计算即可.‎ ‎【详解】由余弦定理，得，即，解得，‎ 故的面积.‎ - 24 -‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.‎ ‎15. 已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只要算出直三棱柱的棱长即可，在中，利用即可得到关于x的方程，解方程即可解决.‎ ‎【详解】‎ 由已知，，解得，如图所示，设底面等边三角形中心为，‎ 直三棱柱的棱长为x，则，，故，‎ 即，解得，故三棱柱的侧面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.‎ ‎16. 经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是________________．‎ ‎【答案】‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，设点，则、，设点，利用点差法得出，利用斜率公式得出，进而可得出，可得出，由此可求得的值.‎ ‎【详解】设点，则、，设点，‎ 则，两式相减得，即，‎ 即，‎ 由斜率公式得，，，故，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列.‎ - 24 -‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求得，然后利用裂项相消法可求得.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设数列的公比为，由题意及，知.‎ ‎、、成等差数列成等差数列，，，‎ 即，解得或（舍去），.‎ 数列的通项公式为；‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，是边长为的正方形的中心，平面，为的中点.‎ - 24 -‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面； ‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由正方形的性质得出，由平面得出，进而可推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连接、，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）是正方形，，‎ 平面，平面，‎ ‎、平面，且，平面 ，‎ 又平面，平面平面；‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连接、，‎ 是正方形，易知、、两两垂直，以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 在中，，，，‎ ‎、、、，‎ 设平面的一个法向量，，，‎ 由，得，令，则，，.‎ - 24 -‎ 设平面的一个法向量，，，‎ 由，得，取，得，，得.‎ ‎，‎ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎19. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）.‎ 年份 年份代号 年利润（单位：亿元）‎ ‎（Ⅰ）求关于的线性回归方程，并预测该公司年（年份代号记为）的年利润；‎ - 24 -‎ ‎（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为级利润年，否则称为级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值，现从年至年这年中随机抽取年，求恰有年为级利润年的概率.‎ 参考公式：，.‎ ‎【答案】（Ⅰ），该公司年年利润的预测值为亿元；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出和的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求得和的值，进而可求得关于的线性回归方程，然后将代入回归直线方程，可得出该公司年年利润的估计值；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归直线方程计算出从年至年这年被评为级利润年的年数，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率可得出所求事件的概率.‎ ‎【详解】（Ⅰ）根据表中数据，计算可得，，，‎ 又，，‎ ‎，关于的线性回归方程为.‎ 将代入回归方程得（亿元），‎ 该公司年的年利润的预测值为亿元.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利润的估计值分别为、、、、、、、（单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有年.‎ 故这年中被评为级利润年的有年，评为级利润年的有年.‎ 记“从年至年这年的年利润中随机抽取年，恰有年为级利润年”的概率为 - 24 -‎ ‎，.‎ ‎【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，与圆相交于、两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用勾股定理结合条件求得和，利用椭圆的定义求得的值，进而可得出，则椭圆的标准方程可求；‎ ‎（Ⅱ）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式求出，利用几何法求得直线截圆所得弦长，可得出关于的函数表达式，利用不等式的性质可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）在椭圆上， ，，，，‎ ‎，，‎ 又，，，，‎ 椭圆的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）设点、，‎ - 24 -‎ 联立消去，得，，‎ 则，，‎ 设圆的圆心到直线的距离为，则.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中弦长之积的取值范围的求解，涉及韦达定理与弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎21. 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设.若在上恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出函数的定义域以及导数，利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）由题意可知在上恒成立，分和 - 24 -‎ 两种情况讨论，在时，构造函数，利用导数证明出在上恒成立；在时，经过分析得出，然后构造函数，利用导数证明出在上恒成立，由此得出，进而可得出实数的最大值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）函数的定义域为.‎ 当时，. ‎ 令，解得（舍去），.‎ 当时，，所以，函数在上单调递减；‎ 当时，，所以，函数在上单调递增.‎ 因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（Ⅱ）由题意，可知在上恒成立.‎ ‎（i）若，，，‎ ‎，‎ 构造函数，，则，‎ ‎，，.‎ 又，在上恒成立.‎ - 24 -‎ 所以，函数在上单调递增，‎ 当时，在上恒成立.‎ ‎（ii）若，构造函数，.‎ ‎，所以，函数在上单调递增.‎ 恒成立，即，，即.‎ 由题意，知在上恒成立.‎ 在上恒成立.‎ 由（Ⅰ）可知，‎ 又，当，即时，函数在上单调递减，‎ ‎，不合题意，，即.‎ 此时 构造函数，.‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 恒成立，所以，函数在上单调递增，‎ - 24 -‎ 恒成立.‎ 综上，实数的最大值为 ‎【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题的难点在于不断构造新函数来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.‎ 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）直线的直角坐标方程为；曲线的普通方程为；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；‎ ‎（II）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.‎ ‎【详解】由 可得直线的直角坐标方程为 由曲线的参数方程，消去参数 可得曲线的普通方程为.‎ - 24 -‎ 易知点在直线上，直线的参数方程为(为参数).‎ 将直线的参数方程代入曲线的普通方程，并整理得.‎ 设是方程的两根，则有.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）设其中为常数.若方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）零点分段法，分，，讨论即可；‎ ‎（II），分，，三种情况讨论.‎ ‎【详解】原不等式即.‎ 当时，化简得.解得；‎ 当时，化简得此时无解；‎ 当时，化简得解得.‎ 综上，原不等式的解集为 - 24 -‎ 由题意，‎ 设方程两根为.‎ 当时，方程等价于方程.‎ 易知当，方程在上有两个不相等的实数根.‎ 此时方程在上无解.‎ 满足条件.‎ 当时，方程等价于方程，‎ 此时方程在上显然没有两个不相等的实数根.‎ 当时，易知当，‎ 方程在上有且只有一个实数根.‎ 此时方程在上也有一个实数根.‎ 满足条件.‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式以及方程根的个数求参数范围，考查学生的运算能力，是一道中档题.‎ ‎ ‎ - 24 -‎ - 24 -‎