【数学】2019届一轮复习苏教版（文科数学）集合间的基本关系学案

【数学】2019届一轮复习苏教版（文科数学）集合间的基本关系学案

第一章 集合与函数的概念 第2课时 集合间的基本关系 ‎【双向目标】‎ 课程目标 A了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.‎ B理解子集.真子集的概念 C.能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.‎ a数学抽象：对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解 b逻辑推理：集合的子集的辨析与应用 c数学运算：对给出的集合会计算子集与真子集 d直观想象：利用图表示集合相等以及集合间的关系 e数学建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义 ‎【课标知识】‎ 知识提炼 基础过关 知识1：子集有关的概念 ‎ ‎（1）定义:对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集.‎ ‎（2）记法:(或),读作“A包含与B”(或“B包含A”).‎ ‎（3）韦恩图表示，图1所示: ‎ ‎ ‎ 知识2：集合相等 ‎（1）定义:如果集合A是集合B的子集(A⊆B),且集合B是集合A的子集(B⊆A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等.‎ ‎（2）记法:A=B.‎ ‎（3）韦恩图表示，图2所示:‎ ‎1.已知集合A={1,2,3},试写出A的所有子集 ‎2.同时满足：①M⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M，则6－a∈M的非空集合M有(　　)‎ A．6个 B．7个 ‎ C．15个 D．16个 ‎3.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，‎ 若集合A有且仅有2个子集，则a的取值 是(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．0,1 D．－1,0,1‎ ‎4.设集合A={x|x=2 +1, ∈ },B={x|x=2 -1, ∈ },则集合A,B间的关系为(　　)‎ ‎ A.A=B B.A⊆B ‎ ‎ C.B⊆A D.以上都不对 ‎ ‎5.，，若，则的取值集合为（ ）‎ ‎ ‎ 知识3：真子集有关的概念 （1） 定义:如果集合,但存在元 素x∈B,且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集.‎ ‎（2）记法:(或).‎ ‎（3）韦恩图表示，图3所示: ‎ ‎ ‎ 知识4：空集有关的概念 ‎（1）定义:不含任何元素的集合叫做空集.‎ ‎（2）记法:.‎ ‎ （3）规定：空集是任何集合的子集 知识5：集合间关系具有的性质 ‎ （1）规定:空集是任何集合的子集.‎ ‎（2）任何一个集合是它本身的子集,即 A⊆A.‎ ‎（3）对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C.‎ ‎（4）对于集合A,B,C,若A B,且B C,则AC.‎ ‎（5）A⊆B,且A≠B,则AB.‎ A. B.学 ‎ C. D.‎ ‎6.已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围.学 + ‎ ‎7.下列说法：‎ ‎①空集没有子集；‎ ‎②任何集合至少有两个子集；‎ ‎③空集是任何集合的真子集；‎ ‎④若A，则A≠，‎ 其中正确的个数是(　　)‎ A．0　　 B．1　 　C．2　 　　D．3‎ ‎8.下列关系正确的是(　　)‎ A.3∈{y|y=x2+π,x∈R} ‎ B.{(a,b)}={(b,a)}‎ C.{(x,y)|x2-y2=1}{(x,y)|(x2-y2)2=1} ‎ D.{x∈R|x2-2=0}=‎ 基础过关参考答案：‎ ‎3.【解析】因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈)仅有一个根或两个相等的根．‎ ‎(1)当a＝0时,方程为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．‎ ‎(2)当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，‎ ‎∴a＝±1.‎ 此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．‎ ‎∴a＝0或a＝±1.‎ ‎4.【解析】选A.因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B ‎5. 【解析】 （1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎∴ 的取值集合为 ‎【能力素养】‎ 探究一 子集与真子集的求法 例1：写出集合{a，b，c}的所有不同的子集 ‎【分析】根据子集的含义进行求解 ‎【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.‎ ‎【点评】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.‎ ‎【变式训练】‎ 1. 已知，则这样的集合有 个.‎ ‎【解析】集合A可以为{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}‎ ‎【答案】7个 ‎2.已知集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B的子集个数为（ ）‎ A．3 B．4 C．7 D．8‎ ‎【解析】∵ 集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，‎ ‎∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}∴B的子集个数为：23=8个．‎ ‎【答案】D 探究二 集合间的关系 例2. 集合，集合，那么间的关系是（ ）. ‎ ‎ A. B. C. = D.以上都不对 ‎ ‎【分析】根据集合间的关系进行判断.‎ ‎  ‎ ‎【点评】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.若集合，则（ ）.‎ A. B. C. = D. ‎ ‎【解析】因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B ‎【答案】C ‎2.设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )‎ A. M=N B. MN C. NM D. M≠ N ‎【解析】 当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B. ‘学 ’ ‎ ‎【答案】B 探究三 集合间关系具有的性质 例3：已知若M=N，‎ 则= ．‎ A．－200 B．200 C．－100 D．0‎ ‎【分析】解答本题应从集合的概念、表示及关系入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．‎ 由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|，∴|x|=0或|x|=1‎ 若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立 若|x|=1即x=±1‎ 当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1‎ 当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1‎ ‎=-2+2-2+2+…+2=0‎ ‎【答案】0‎ ‎【点评】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1．设a，bR，集合，则b-a=( )‎ ‎【答案】2‎ ‎2．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？‎ ‎【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；‎ 集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；‎ 集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；‎ 集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1．‎ ‎【答案】都不相同 ‎【课时作业】‎ 课标 素养 数学 抽象 逻辑 推理 数学 运算 直观 想象 数学 建模 数据 分析 A ‎3,10‎ ‎8‎ B ‎9‎ ‎2,5,7,11‎ ‎3,4,6,12,13,14,15‎ C ‎1‎ 一、选择题 ‎1.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）‎ ‎ ‎ ‎2.已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 （ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3.设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )‎ A. M=N B. MN C. NM D. M≠ N ‎4.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有( )‎ A．1∉A B．0⊆A C．∅⊆A D．{0}⊆A ‎5.集合的所有真子集个数为(　　)． _ _ ]‎ A．3 B． 7 C．15 D．31‎ ‎6.同时满足：①M⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M，则6－a∈M的非空集合M有(　　)‎ A．6个 B．7个 C．15个 D．16个 ‎7.已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( )‎ A．1 B．－1‎ C．1或－1 D．0,1或－1‎ ‎8.设，，若则的取值范围是（ ）‎ A B C D.‎ ‎9.已知集合A＝{x|1＜x－1≤4}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.‎ ‎10.用适当的符号填空：‎ ‎（1） ；（2） ；（3） .‎ ‎11.已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若BA，则实数m＝________.‎ ‎12.设A是非空集合，对于 ∈A，如果，那么称集合A为“和谐集”，在集合 的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为 学 ]‎ ‎13.已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}． 学_ _ ]‎ ‎(1)若B⊆A，求a的取值范围；‎ ‎(2)若A⊆B，求a的取值范围．‎ ‎14.若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且NM，求实数a的值．‎ ‎15.已知全集,集合R， 学 ]‎ ‎；若时，存在集合M使得，求出这样的集合M；‎ ‎1.【解析】由，得，则,选B．‎ ‎【答案】B ‎【答案】D ‎3.【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.‎ ‎【答案】B ‎4.【解析】由已知，A＝{1，－1}，所以选项A，B，D都错误，因为∅是任何非空集合的真子集，所以C正确．‎ ‎ 【答案】C ‎5.【解析】，所以，真子集的个数为15个 ‎【答案】C ‎6.【解析】a＝3时，6－a＝3；a＝1时，6－a＝5；‎ a＝2时，6－a＝4；a＝4时，6－a＝2；a＝5时，6－a＝1，‎ ‎∴非空集合M可能是：{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，‎ ‎{1,2,3,4,5}共7个．.故选B ‎【答案】B ‎【答案】5‎ ‎10.【解析】（1） ；（2） ；（3） .‎ ‎【答案】（1） ；（2） ；（3） .‎ ‎11.【解析】，即，当时，，满足 ‎【答案】1‎ ‎12.【解析】由和谐集的定义知，该集合中可以含有元素-1，1，和3，和2，所以共有和谐集的集合的个数为15个 ‎【答案】15‎ ‎13.【解析】(1)因为B⊆A，B是A的子集，由图(1)得a≤3.‎ ‎(1)‎ ‎(2)因为A⊆B，A是B的子集，由图 (2)得a≥3.‎ ‎(2)‎ ‎【答案】（1）a≤3（2）a≥3‎ ‎14.【解析】由得或，因此 若a=2时，则，此时 若a=-3时，则，此时 若，则，此时N不是M的子集