河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业12

河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业12

1 河北省沧州市第一中学 2020 年高三数学寒假作业 12 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 a 的取值范围是 A. B. C. D. 2. 复数 的共轭复数是 A. B. C. D. 3. 下图是 2002 年 8 月中国成功主办的国际数学家大会的会标， 是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最 早的数学著作 周髀算经 中有详细的记载．若图中大正方形 ABCD 的边长为 5，小正方形的边长为 2，现作出小正方形的 内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷 n 个点，有 m 个 点落在中间的圆内，由此可估计 的所似值为 A. B. C. 4. 已知 ， 且 ， 都不为 ，则“ ”是“关于 x 的不等式 与 同解”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A. B. C. D . 6. 阅读如图所示的程序框图，若输入的 ，则该算法的功能是 A. 计算数列 的前 10 项和 B. 计算数列 的前 9 项和 C. 计算数列 的前 10 项和 D. 计算数列 的前 9 项和 2 7. 如图是函数 图象的一部分，对不同的 ， ，若 ，有 ，则 A. 在 上是减函数 B. 在 上是减函数 C. 在 上是增函数 D. 在 上是减函数 8. 如图所示，直线 l 为双曲线 C： 的一条渐近线， ， 是双曲线 C 的 左、右焦点， 关于直线 l 的对称点为 ，且 是以 为圆心，以半焦距 c 为半径的 圆上的一点，则双曲线 C 的离心率为 A. B. C. 2 D. 3 9. 已知定义在 R 上的偶函数 其中 e 为自然对数的底数 ，记 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是 A. B. C. D. 10. 已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 1，第二行为 3，5，第三 行为 7，9，11，第四行为 13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 i 行， 第 j 列的数记为 ，例如 ， ， ，若 ，则 3 A. 64 B. 65 C. 71 D. 72 11. 已知 F 为抛物线 C： 的焦点，E 为其准线与 x 轴的交点，过 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，且 ，则 A. 6 B. C. 8 D. 9 12. 已知函数 ， 若存在 m，使得关于 x 的方程 有解，其中 e 为自然对数的底数则实数 a 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知向量 ，向量 ， 的夹角是 ， ，则 等于______． 14. 设 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为______． 15. 若 的展开式中各项的系数之和为 81，且常数项为 a，则直线 与曲线 所 围成的封闭区域面积为______ ． 16. 已知点 P，A，B，C 均在表面积为 的球面上，其中 平面 ABC， ， 则三棱锥 的体积的最大值为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分） 17. 在 中，三边 a，b，c 所对应的角分别是 A，B，C，已知 a，b，c 成等比数列． 若 ，求角 B 的值； 若 外接圆的面积为 ，求 面积的取值范围． 18. 如图：直角梯形 ABCD 中， ， ，E，F 分别为边 AD 和 BC 上的点，且 ， ，将四边形 EFCD 沿 EF 折起成如图的位置，使 ． Ⅰ 求证： 平面 DAE； Ⅱ 求四棱锥 的体积； Ⅲ 求面 CBD 与面 DAE 所成锐二面角的余弦值． 4 19. 为了响应 2018 年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文 明创建知识的网络问卷调查．每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加 问卷调查的 1000 人的得分 满分：100 分 数据，统计结果如下表所示． 组别 频数 25 150 200 250 225 100 50 Ⅰ 由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 ， 近似为 这 1000 人得分的平均值 同一组数据用该组区间的中点值作为代表 ，请利用正态分布 的知识求 ； Ⅱ 在 Ⅰ 的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： 得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费； 每次赠送的随机话费和对应的概率为 赠送的随机话费 单位：元 20 40 概率 现市民小王要参加此次问卷调查，记 单位：元 为该市民参加问卷调查获赠的话费， 求 X 的分布列及数学期望． 附： ，若 ，则 ； ； ． 20. 已知椭圆 E： 的离心率 ，其左、右顶点分别为点 A，B，且点 A 关于直线 对称的点在直线 上． 求椭圆 E 的方程； 若点 M 在椭圆 E 上，点 N 在圆 O： 上，且 M，N 都在第一象限， 轴， 5 若直线 MA，MB 与 y 轴的交点分别为 C，D，判断 是否为定值，若是定值，求出 该定值；若不是定值，说明理由． 21. 已知函数 ． 若 ， ，求函数 的最小值； 若 ， ， 在 上的最小值为 1，求 的最大值． 22. 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的直角坐 标为 ，若直线 l 的极坐标方程为 ，曲线 C 的参数方程是 为参数 ． 求直线 l 和曲线 C 的普通方程； 设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 ． 23. 已知函数 ． 当 时，求 的解集； 若 的解集包含集合 ，求实数 a 的取值范围． 6 答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：集合 ， ， ， ． 实数 a 的取值范围是 ． 故选：D． 求出集合 ， ，由 ，能求出实数 a 的取值范 围． 本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题． 2.【答案】C 【解析】解：复数 的共轭复数为 ． 故选：C． 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 3.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题． 根据大正方形的面积与小正方形的内切圆面积比求得 的值． 【解答】 解：大正方形的边长为 5，总面积为 25， 小正方形的边长为 2，其内切圆的半径为 1，面积为 ， 则 ， 解得 ． 故选 D． 4.【答案】B 【解析】解：由 得 ，由 得 ， 若不等式条件，则 ， 同号， 若同为正号，则不等式的解集为 或 ， 即 ，即 成立， 7 若同为负号，则不等式的解集为 或 ， 即 ，即 成立， 综上 成立， 当 ， 异号时，满足 ，但不等式 与 不同解”的， 比如 ，但 与 的解集不同， 即“ ”是“关于 x 的不等式 与 同解”的必要不充分条件， 故选：B． 根据一元二次不等式的解法，已经充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键． 5.【答案】C 【解析】【分析】 通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可． 本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力． 【解答】 解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为 4 和 5 的三角形， 一个侧面垂直底面，且此侧面为等腰三角形， 三棱锥的高为 4，底边长为 5，如图所示． 所以 ， ， ， ． 几何体的表面积为： ． 故选 C． 6.【答案】A 【解析】解：框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 赋值， ， ； 判断 不成立，执行 ， ； 判断 不成立，执行 ， ； 判断 不成立，执行 ， ； 判断 不成立，执行 ， ； 判断 成立，输出 ． 算法结束． 故则该算法的功能是计算数列 的前 10 项和． 故选：A． 从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表 示的算法的功能． 8 本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律． 7.【答案】C 【解析】解：由函数 图象的一部分，可得 ，函数的图象关于直 线 对称， ． 由五点法作图可得 ， ， ． 再根据 ，可得 ， ， 在 上， ，故 在 上是增函数， 故选：C． 由条件根据函数 的图象特征，求得 ，再根据 ，求得 的值，可得 的解析式，再根据正弦函数的单调性得 出结论． 本题主要考查由函数 的部分图象求解析式，函数 的图象特征， 正弦函数的单调性，属于中档题． 8.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了双曲线的简单性质，点的对称问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 先求出点 的坐标，再根据 是以 为圆心，以半焦距 c 为半径的圆上的一点，可得 ，整理化简即可求出． 【解答】 解：直线 l 为双曲线 C： 的一条渐近线，则直线 l 为 ， ， 是双曲线 C 的左、右焦点， ， ， 关于直线 l 的对称点为 ，设 为 ， ， ， 解得 ， ， ， 是以 为圆心，以半焦距 c 为半径的圆上的一点， ， 9 整理可得 ， 即 ， ， 故选：C． 9.【答案】A 【解析】解：定义在 R 上的偶函数 其中 e 为自然对数的底数 ， 故： ， 所以：函数 在 上单调递增，在 上单调递减． 则： ， 由于： ， 所以： ， 故选：A． 直接利用函数的性质单调性和奇偶性的应用求出结果． 本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础 题型． 10.【答案】C 【解析】解：由图表可知：数表为从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第 1 组 1 个奇数，第 2 组 2 个奇数 第 n 组 n 个奇数， 则前 n 组共 个奇数， 设 2019 在第 n 组中，又 2019 是从 1 开始的连续奇数的第 1010 个奇数， 则有 ， 解得 ， 即 2019 在第 45 组中， 则前 44 组共 990 个数， 又第 45 组中的奇数从右到左，从小到大， 则 2019 为第 45 组从右到左的第 个数， 即 2019 为第 45 组从左到右的第 个数， 即 ， ， 故 ， 故选：C． 由等差数列的前 n 项和公式可得：2019 在第 n 组中，又 2019 是从 1 开始的连续奇数的第 1010 个奇数，则有 ，解得 ，即 2019 在第 45 组中， 由归纳推理可得：前 44 组共 990 个数，又第 45 组中的奇数从右到左，从小到大，则 2019 为第 45 组从右到左的第 个数，即 2019 为第 45 组从左到右的第 个 10 数，得解． 本题考查的等差数列的前 n 项和公式及归纳推理，属难度较大的题型 11.【答案】A 【解析】解：由 得焦点 ， ， 设直线 AB 的方程为： 并代入抛物线 得： ， 设 ， 则 ， ， ， ， ，即 ， 解得 或 舍 ， ． 故选：A． 根据韦达定理以及抛物线的定义可得． 本题考查了抛物线的性质，属中档题． 12.【答案】D 【解析】解：由 可得 ， 即 ，即 ， 令 ，则方程 有解． 设 ，则 ， 显然 为减函数，又 ， 当 时， ，当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减， 的最大值为 ， ，解得 或 ． 故选：D． 根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导 数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可 本题主要考查了不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利 用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解题的关键． 13.【答案】2 【解析】【分析】 本题考查了向量的坐标以及向量数量积的定义，求出 的模是关键，属于基础题． 11 由向量的坐标可求得向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案． 【解答】 解： ， 又 ， 即： ， ， 故答案为 2． 14.【答案】 【解析】解：由 x，y 满足约束条件 得到如图 可行域，由目标函数 得到 ， 当直线经过 A 时，直线在 y 轴的截距最大，使得 z 最 小， 由 得到 ， 所以 z 的最小值为 ； 故答案为： ． 先根据条件画出可行域，设 ，再利用几何意义求最值，将最小值转化为 y 轴上的截 距最大，只需求出直线 ，取得截距的最小值，从而得到 z 最小值即可． 本题考查了简单线性规划问题；借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数 形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 15.【答案】 【解析】解： 的展开式中各项的系数之和为 81， ， 解得 ， 的展开式的通项公式为： ， 令 ，解得 ， 展开式中常数项为 ； 直线 与曲线 所围成的封闭区域面积为： ． 故答案为： ． 12 依据二项式系数和为 ，列出方程求出 n，利用二项展开式的通项公式求出常数项 a 的值， 再利用积分求直线 与曲线 围成的封闭图形的面积． 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用积分求封闭图形的面积问题，是综合性题 目． 16.【答案】 【解析】解：点 P，A，B，C 均在表面积为 的球面上， 可得球的半径为： ， ，可得 ． 外接圆的半径为： ． 三棱锥的高 ． 则三棱锥 的体积： ， 令 ，则 ， 可得 当且仅当 ，即 时取等号． 故答案为： ． 求出球的半径，三角形 ABC 的外接圆的半径，求出 PA，然后求解棱锥的体积，利用基本不 等式求解最值即可． 本题考查了几何体的体积计算，探索几何体的位置情况，属于中档题． 17.【答案】解： 由题意得， ， 分 ，b，c 成等比数列， ， 由正弦定理有 ， 分 ， ，得 ，即 ， 分 由 知，b 不是最大边， 分 外接圆的面积为 ， 的外接圆的半径 ， 分 由余弦定理 ，得 ， 13 又 ， ，当且仅当 时取等号， 为 的内角， ， 分 由正弦定理 ，得 ， 分 的面积 ， 分 ， ， 分 【解析】 由切化弦、两角和的正弦公式化简式子，由等比中项的性质、正弦定理列出方 程，即可求出 sinB，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出 B； 由余弦定理和不等式求出 cosB 的范围，由余弦函数的性质求出 B 的范围，由正弦定理和 三角形的面积公式表示出 面积，利用 B 的范围和正弦函数的性质求出 面积的范 围． 本题考查正弦定理和余弦定理，切化弦、两角和的正弦公式，正弦、余弦函数的性质等，考 查化简、变形能力，属于中档题． 18.【答案】 证明：直角梯形 ABCD 中， ， ， E，F 分别为边 AD 和 BC 上的点，且 ， ， 又 ， ，CF、 面 CBF，DE、 面 DAE 面 面 分 又 面 CBF，所以 平面 分 解：取 AE 的中点 H，连接 DH ， ， 平面 DAE 又 平面 DAE， ， ， ， 又 面 分 所以四棱锥 的体积 分 如图以 AE 中点为原点，AE 为 x 轴建立空间直角坐标系 则 0， ， 0， ， ， 0， ， 因为 ，所以 分 易知 是平面 ADE 的一个法向量， 2， 分 设平面 BCD 的一个法向量为 y， 由 14 令 ，则 ， ， 2， ， 分 ， 所以面 CBD 与面 DAE 所成锐二面角的余弦值为 分 【解析】 因为 ， ， ， ，CF、 面 CBF，DE、 面 DAE，满足面面平行的判定定理，从而面 面 DAE，而 面 CBF，根据面面平行的性质 定理可知 平面 DAE； 取 AE 的中点 H，连接 DH，先证 面 AEFB，从而得到 DH 为四棱锥的高，再利用锥体的 体积公式求出体积即可； 以 AE 中点为原点，AE 为 x 轴建立空间直角坐标系，根据 ，求出点 C 的坐标，而 是平面 ADE 的一个法向量，然后再求出平面 BCD 的一个法向，最后利用公式求解，即可求 出面 CBD 与面 DAE 所成锐二面角的余弦值． 本题主要考查了线面平行的判定，以及四棱锥体积的计算和利用空间向量度量二面角的平面 角，同时考查了计算能力，属于中档题． 19.【答案】解： Ⅰ ， ， ， ． ， 综上， ． Ⅱ 由题意昨 X 的可能取值为 20，40，60，80， 由题意知 ， ， ， ， ， 的分布列为 X 20 40 60 80 P 15 X 的数学期望为 ． 【解析】 Ⅰ 由题意求出 ，进而 ， 由此 能求出 ． Ⅱ 由题意知 ，获奖券面值 X 的可能取值为 20，40，60， 分别求出相 应的概率，由此能求出 X 的分布列和 EX． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查正态分 布、古典概型、排列组合、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是 中档题． 20.【答案】 解：点 关于直线 对称的点 在直线 上， ，解得 又 ， ，联立解得 ． 椭圆 E 的标准方程为： ． 证明：设 ，AM： ，令 ，解得 ， ． 联立 ，化为： ． ，解得 ，即 ， 直线 BM 的斜率 ． 的方程： ，令 ，解得 ， 设 ，则 ， ． ， ， 即 ． ． 【解析】 点 关于直线 对称的点 在直线 上，可得 ，解得 又 ，联立解出即可得出． 设 ，AM： ，可得 直线方程与椭圆方程联立化为： 利用根与系数的关系可得：M 的坐标，即可得 BM 的方程： ，求出点 D 的坐标．设 ，计算 ，即可得出． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、直线与椭圆相交问题、一元二次方程 16 的根与系数的关系、向量垂直于数量积的关系、对称问题，考查了推理能力与计算能力，属 于难题． 21.【答案】解： 若 ， ， ， ， 时， ，函数单调递减； 时， ，函数单调递增， 时，函数取得极小值，也是最小值为 1； ， ， 在 上的最小值为 1， ， 在 上恒成立， 在 上恒成立， 设 ，则 在 上恒成立， 在 上恒成立 令 ， ， 函数在 上单调递减， 上单调递增， 时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为 ． 【解析】 求导数，取得函数的单调性，即可求函数 的最小值； 确定 在 上恒成立，设 ，则 在 上恒成立， 在 上恒成立，由此即可求 的最大值． 本题考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查函数的最小值，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题． 22.【答案】解： Ⅰ 因为 ， 所以 由 ， ， 得 分 因为 消去 t 得 ， 17 所以直线 l 和曲线 C 的普通方程分别为 和 分 Ⅱ 点 M 的直角坐标为 ，点 M 在直线 l 上， 设直线 l 的参数方程： 为参数 ，A，B 对应的参数为 ， ． ， ， 分 分 【解析】 Ⅰ 直线 l 的极坐标方程化为 ，由 ， ，能求出直 线 l 的普通方程；曲线 C 的参数方程消去参数能求出曲线 C 的普通方程． Ⅱ 点 M 的直角坐标为 ，点 M 在直线 l 上，求出直线 l 的参数方程，得到 ， 由此利用韦达定理能求出 的值． 本小题主要考查参数方程、极坐标等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化 归与转化思想，是中档题． 23.【答案】解： 时， 或 或 ， 解得： ， 综上， 的解集是 因为 的解集包含集合 ， 所以 在 上恒成立， 所以 ，即 在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 在 上恒成立． ， ， 故实数 a 的取值范围是 【解析】 分 3 段去绝对值解不等式再相并； 问题转化为 在 上恒成立，即 在 上恒成立，再换华 18 为最值解决． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．