数学理卷·2017届河北省衡水中学高三上学期五调（12月）（2016

数学理卷·2017届河北省衡水中学高三上学期五调（12月）（2016

河北省衡水中学2017届高三上学期五调（12月） ‎ 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示复数的点是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．与的取值有关 ‎ ‎4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：‎ 经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（ ）‎ A．45 B．50 C.55 D．60‎ ‎5.已知焦点在轴上的双曲线的中点是原点，离心率等于.以双曲线的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B．35 C. D．‎ ‎7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（ ）‎ ‎（参考数据：,,）‎ A．12 B．24 C. 36 D．4‎ ‎8.如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 在中，角，，的对边分别为，，，且.若的面积，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．3‎ ‎11.已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知直线分别与函数和交于两点，则之间的最短距离是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若的展开式中含有常数项，则的最小值等于________.‎ ‎14.已知抛物线方程为，焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为，若的面积为，则的值为__________.‎ ‎15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.‎ ‎16.若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是___________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，,且为等差数列的前三项.‎ ‎（1）求数列,的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：‎ ‎（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；‎ ‎（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？‎ 下面临界值表供参考：‎ 参考公式：，其中.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知在三棱柱中，侧面为正方形，延长到，使得，平面平面，，.‎ ‎（1）若分别为，的中点，求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，且曲线与轴切于原点.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若恒成立，求的值.‎ 请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点的坐标.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲 已知实数，函数的最大值为3.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设函数，若对于均有，求的取值范围.‎ ‎2016～2017学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案 一、选择题 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）‎ ‎17.解：（1），‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 又，‎ 数列为以为首项，公比为的等比数列，…………2分 ‎，‎ ‎，整理得，得，…………4分 ‎.………………6分 ‎（2），‎ ‎…………①‎ ‎…………②…………8分 ① ‎—②得 ‎…………10分 整理得：………………12分 ‎18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失元”为事件由，得，频数为…………4分 ‎（Ⅱ）根据以上数据得到如表：‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎…………8分 的观测值.‎ 所以有的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 ‎19.（本题满分12分）解：（1）取的中点，‎ 连接，在中，为中位线，‎ 平面平面，平面，‎ 同理可得平面，…………2分 又，所以平面平面，‎ 平面，平面.…………4分 ‎（2）连接，在中，‎ ‎，‎ 所以由余弦定理得是等腰直角三角形，，‎ 又因为平面平面，平面平面平面，平面，，…………7分 又因为侧面，为正方形，，分别以所在直线作为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，则，‎ ‎，………………8分 设平面的一个法向量为，则，即，令，则 ‎，‎ 故为平面的一个法向量，‎ 所以，‎ 平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆的右焦点，…………1分 在椭圆上，，…………2分 由得，所以椭圆的方程为.…………4分 ‎（Ⅱ）由题意可得的斜率不为零，当垂直轴时，的面积为，…………5分 当不垂直轴时，设直线的方程为：，则直线的方程为：，由消去得，所以，…………7分 则，………………8分 又圆心到的距离得，…………9分 又，所以点到的距离等于点到的距离，设为，即，………………10分 所以面积 ‎，…………11分 令，则，‎ 综上，面积的取值范围为.…………12分 ‎21.解：（1）‎ ‎，…………1分 ‎，又.………………4分 ‎（2）不等式，‎ 整理得，‎ 即或，…………6分 令.‎ 当时，；当时，，‎ 在单调递减，在单调递增，，‎ 即，所以在上单调递增，而；‎ 故.‎ 当或时，；同理可得，当时，.‎ 当恒成立可得，当或时，，‎ 当时，，故和是方程的两根，‎ 从而.…………12分 ‎22.解:（1）由，得，代入，‎ 得直线的普通方程.‎ 由，得.…………5分 ‎（2）的直角坐标方程为.‎ 设，则.‎ 当，即或时，上式取最小值.‎ 即当或时，的最小值为.…………10分 ‎ 23.解：（Ⅰ），…………2分 所以的最大值为，‎ ‎.………………4分 ‎（Ⅱ）当时，，…………6分 对于，使得等价于，成立，‎ 的对称轴为，‎ 在为减函数，‎ 的最大值为，…………8分 ‎，即，解得或，‎ 又因为，所以.………………10分