2020 级高三下第一次月考理数试题

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驽马十驾,功在不舍, 惟精惟一,大事可期 第 1 页, 共 5 页 绝密★启用前 高 2020 级高三下期第一次月考 数学试题卷(理科) 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题) 一、选择题：本大题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 1．设 1 1zii (其中i 是虚数单位),则 z  （ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D．2 2.已知命题 p 为真命题，命题 q 为假命题．在命题① pq ；② pq ；③ ()pq ； ④ ()pq中，真命题是( ) A．① ③ B．① ④ C．② ③ D．② ④ 3.已知函数 23() 1 xfx x   ,若在[ 2,5] 上随机取一个实数 0x ,则 0( ) 1fx  的概率为（ ） A． 1 7 B． 3 7 C． 4 7 D． 6 7 4．等比数列{ na }中， 4 2a  ， 7 5a  ，则数列{lg na }的前 10 项和等于( ) A．2 B．lg 50 C．5 D．10 5.若函数 1 3 1 1( ) log [(2 3] 2)f x a x a    的定义域为 R ,则下列叙述正确的是（ ） A.  fx在 上是增函数 B. 在 上是减函数 C. 在 1 ,2  上是减函数 D. 在[0, ) 上是增函数 6. 设 21,FF 分 别 是 双 曲 线 )0,0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的 左 右 焦 点 ， 点 ),( baM ，  3021FMF ，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 7.已知甲、乙、丙三人中,一人是公务员,一人是医生,一人是教师.若丙的年龄比教师的年龄大; 甲的年龄和医生的年龄不同;医生的年龄比乙的年龄小.则下列判断正确的是（ ） 驽马十驾,功在不舍, 惟精惟一,大事可期 第 2 页, 共 5 页 A．甲是公务员，乙是教师，丙是医生 B．甲是教师，乙是公务员，丙是医生 C．甲是教师，乙是医生，丙是公务员 D．甲是医生，乙是教师，丙是公务员 8. 一个几何体的平面展开图如右图所示，其中四边形 ABCD为正方形， E 、 F 分别为 PB 、 PC 的中点，在此几何体中，下面结论中一定正确的是( ) A.直线 AE 与直线 DF 平行 B.直线 与直线 DF 异面 C.直线 BF 和平面 PAD 相交 D.直线 DF  平面 PBC 9.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政 治这三科，且物理在 A 层班级，生物在 B 层班级，该校周一 上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节， 另外一节上自习，则他不同的选课方法有( ) 第一节 第二节 第三节 第四节 地理 B 层 2 班 化学 A 层 3 班 地理 A 层 1 班 化学 A 层 4 班 生物 A 层 1 班 化学 B 层 2 班 生物 B 层 2 班 历史 B 层 1 班 物理 A 层 1 班 生物 A 层 3 班 物理 A 层 2 班 生物 A 层 4 班 物理 B 层 2 班 生物 B 层 1 班 物理 B 层 1 班 物理 A 层 4 班 政治 1 班 物理 A 层 3 班 政治 2 班 政治 3 班 A．8 种 B．10 种 C．12 种 D．14 种 10．下列说法中正确的个数是( ) (1)已知沙坪坝明天刮风的概率 P(A)=0.5,下雨的概率 P(B)=0.3,则沙坪坝明天又刮风又下雨的 概率 P(AB)=P(A)P(B)=0.15. (2)命题 p :直线 10ax y   和3 ( 2) 3 0x a y    平行; 命题 q : 3a  . 则 是 p的必要条件. (3) 201950 1 被 7 除后所得的余数为5 (4) 已知i 是虚数单位, ,x y R ,复数 z x yi , 1 34zi , 1| | 1zz,则||z 的最小值是 2. A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知 a , b 为单位向量，则| | | |a b a b   的最大值为（ ） A． 22 B． 23 C． 31 D．3 驽马十驾,功在不舍, 惟精惟一,大事可期 第 3 页, 共 5 页 12．已知曲线 32( ) 2f x x ax x    与直线 1y kx相切，且满足条件的 k 值有且只有 3 个，则实数 a 的取值范围是（ ） A．[2, ) B． (2, ) C．[3, ) D．(3, ) 第 II 卷（非选择题) 二、填空题：本大题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.各题答案必须填写在答题卷相应位置 上，只填结果，不要过程. 13.已知公差不为 0 的等差数列{ na }中, 1a , 2a , 5a 依次成等比数列,则 5 1 a a = ． 14.若椭圆   22 1 6 36 xy mmm      上的点到两焦点距离之和为 4，则该椭圆的短轴长 为______. 15.已知 0 0 1 1 1 2 2 2 00 1 2( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 )n n n n n n n n n ng x C f x x C f x x C f x x C f x xn n n n          , 其中 ()f x x .若 1r≥ 时,有 1 1 rr nnrC nC   成立,则 (6)g = . 16．如图，在四棱锥 E ABCD 中， EC  底 面 ABCD， //FD EC ，底面 为矩形， G 为线段 AB 的中点，CG DG ， 2CD DF CE   ，则四棱锥 与三棱锥 F CDG 的公共部分的体积为______． 三、解答题：本大题 6 个小题，共 70 分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的 方框内.必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程. 17．（ 本小题满分 12 分）已知函数 2( ) (4cos 2)sin2 cos4f x x x x   . （1）求 ()fx的最小正周期及最大值． （2）设 ,,ABC为 ABC 的三个内角，若 22cos 3B  , ( ) 12 Af  ,且角 A 为钝角，求sinC 的值. 18．（ 本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 为正 方形， PA 平面 ， PA AB ， M 是 PC 上 一点，且 BM PC . （1）求证： PC  平面 MBD ； （2）求直线 PB 与平面 所成角的正弦值. 驽马十驾,功在不舍, 惟精惟一,大事可期 第 4 页, 共 5 页 19．（ 本小题满分 12 分）某芯片公司对今年新开发的一批 5G 手机芯片进行测评，该公司随 机调查了 100 颗芯片，所调查的芯片得分均在 197， 内,将所得统计数据分为如下            , 11 1113 1315 1517 , 17,197,9 9， ， ， ， ， ， ， 六个小组，得到如图所示的频率分布直方 图，其中 0.ab06 ． （1）求这 100 颗芯片评测分数的平均数; （2）芯片公司另选 100 颗芯片交付给某手 机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分 别装在 3 个工程手机中进行初测。若 3 个工 程手机的评分都达到 13 万分，则认定该芯 片合格；若 3 个工程手机中只要有 2 个评分 没达到 13 万分，则认定该芯片不合格；若 3 个工程手机中仅 1 个评分没有达到 13 万分，则 将该芯片再分别置于另外 2 个工程手机中进行二测，二测时，2 个工程手机的评分都达到 13 万分，则认定该芯片合格；2 个工程手机中只要有 1 个评分没达到 13 万分，手机公司将认定 该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片 的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯 片置于一个工程手机中的测试费用均为 160 元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 进行后续测试．．．．．．，现手机公司测试部门预算的测试经费为 5 万元，试问预算经费是否足够测试 完这 100 颗芯片？请说明理由． 20．（ 本小题满分 12 分）已知 ,0a R a,函数 1() axf x e ax,其中常数 2.71828e  . (1)求 ()fx的最小值; (2)当 1a≥ 时,求证:对任意 0x  ,都有 2( ) 2ln 1xf x x ax≥ . 驽马十驾,功在不舍, 惟精惟一,大事可期 第 5 页, 共 5 页 21．（ 本小题满分 12 分） 已知抛物线 G: 2 2y px ,焦点为 F,直线 l 交抛物线 G 于 A,B 两点,交抛物线 G 的准线于点 C,如图所示.当直线 l 经过焦点 F 时,点 F 恰好是线段 AC 的中点,且 8||3BC  . (1)求抛物线 G 的方程; (2)点 O 是坐标原点,设直线 OA,OB 的 斜率分别为 12,kk,当直线 l 的纵截距为 1 时,有 数列{}na 满足: 1 1a  , 1116 nka , 2 2 (4 2)nka. 设数列{}1 n n a a 的前 n 项和为 nS ,已知存在正整数m , 使得 2020 1m S m≤ ,求 的值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4 - 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,已知曲线C 的参数方程为 2 ( 3 x cos y sin      为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 过极坐标系内的两点 π2, 4A  和 π3, 2B  . (1)写出曲线 的普通方程,并求直线 的斜率; (2)设直线 与曲线 交于 ,PQ两点,求 BP BQ . 23.（本小题满分 10 分）选修 4 - 5 不等式选讲 已知 ,ab都是实数， 0a  ，   12f x x x    . （1）求不等式   2fx 的解集 M ； （2）求证：当 RxM 时，  a b a b a f x    恒成立. 命题:侯明伟 审题:王 明 朱海军