2017-2018学年四川省双流中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2017-2018学年四川省双流中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省双流中学高二上学期开学考试数学试题 一、选择题 ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合, ，‎ 则.‎ 故选：B.‎ ‎2．已知直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得所求直线l经过点(0,3)，斜率为1，‎ 故l的方程是，即，‎ 故选：D.‎ ‎3．设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，，故答案为B．‎ ‎【考点】指数函数和对数函数的图象和性质．‎ ‎4．设两个非零向量与不共线，如果和共线那么的值是（ ）‎ A. 1 B. -1 C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选D ‎5．已知， ，其中， ，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于a＞2， ，于是可得 当且仅当，即时取等号.‎ 由于，于是有，从而可得≤()-2=4.‎ 由上述可知，于是可以推出.‎ 故选A.‎ ‎6．设函数，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据题意，由于函数，那么可知当x<0，则x+6>3.x>-3.当，>3,得到不等式的解集x>3,x<-1,.故可知答案为 ‎【考点】函数与不等式 点评：主要是考查了分段函数与不等式的求解，属于基础题。‎ ‎7．在中，角所对的边分别为， ， ， ，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵‎ ‎∴，‎ 再由正弦定理得 ‎∴，‎ 即.‎ 故选C ‎8．若圆与圆（）的公共弦长为，则实数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的圆心为(0,0)，半径r=2.圆的圆心为(−a,0),半径r=两个圆的公共弦的方程为： ‎ 解得： ∴有，又a>0，‎ 解得：a=1或−1(舍去)‎ 故选A 点睛：相交的两圆的公共弦方程是两圆方程进行相减即可，求出两个圆的圆心和半径以及两个圆心的距离，利用两个圆的公共弦的方程和勾股定理即可求出a的值 ‎9．已知等比数列的前项和，则数列的前11项和等于（ ）‎ A. 1023 B. 55 C. 45 D. 35‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为等比数列{}的前n项和，‎ 所以当时，‎ 所以公比q=2, ，‎ 所以==1,即=，‎ 所以==n−1，‎ 故所求值为，‎ 故选：B.‎ ‎10．已知函数，则函数的图象（ ）‎ A. 最小正周期为 B. 关于点对称 C. 在区间上为减函数 D. 关于直线对称 ‎【答案】D ‎【解析】=‎ ‎∴最小正周期为,A错； ，B错；在区间， 在区间上为增函数，C错；‎ 故选D ‎11．设直线被圆所截弦的中点的轨迹为，则曲线与直线的位置关系为（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 ‎【答案】A ‎【解析】弦的中点的轨迹为C，设C上任意一点的坐标为，则由弦的性质得OA垂直于直线，∴，即又点还在直线上，‎ ‎∴，，故曲线C表示以(0,)为圆心，以为半径的圆。‎ ‎∵圆心(0,)到直线x+y−1=0的距离等于=< ‎ 故曲线C与直线相交，‎ 故选A.‎ ‎12．若，且，设函数，若不等式的解集是，则的取值范围是（ ）‎ A. B. (1,3) C. (0,1) D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，且,设函数,若不等式f(x)⩽3的解集是(−∞,3]，‎ 当x⩾1时, ⩽3，可得1⩽x⩽3；‎ 当x<1,即x∈(−∞,1)时, ⩽3不等式恒成立可得.‎ 综上可得.‎ 故选：C.‎ 点睛：对于分段函数解不等式问题，分段来解求并集，先解具体函数这一段，然后根据题目给出的解集转化为含参那段在区间恒成立.‎ 二、填空题 ‎13．已知过点和点的直线为，直线为，直线为，若， ，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】-10‎ ‎【解析】由题意可得,直线为的斜率为,直线的斜率为−2,且，‎ ‎∴=−2，求得.‎ 由于直线的斜率为,,∴−2×()=−1，求得，‎ ‎∴，‎ 故答案为-10‎ ‎14．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；‎ 由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，‎ 在中,BC=，‎ 在中,BD=，‎ 在中,AD=‎ 则三棱锥中最长棱的长为 故答案为： ‎ ‎15．已知， ，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以,，因为，所以，所以,，所以,解得 故答案为： ‎ ‎16．已知集合，集合，若有两个元素，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由知，∴， ，即；‎ 并且将该方程可变成： ，∴该方程表示以（0，1）为圆心，2为半径的圆，并且是在y=1下方的部分；‎ 表示斜率为1，在y轴上的截距为m的直线，如下图所示：‎ 若A∩B有两个元素，则直线和y=1下方的圆有两个交点；‎ 由图可以看出直线的范围在点（2，1）和切线之间，并含点（2，1），不含切线；‎ 将点（2，1）带入直线方程得m=﹣1；相切时利用圆心到直线的距离等于半径得m=‎ ‎∴m的取值范围为．‎ 点睛：本题考查直线与圆得位置关系，交集中的元素个数转化为两个图像的交点个数，应用数形结合的解题思想，注意最后区间的开闭 三、解答题 ‎17．在中，内角所对的边分别为，已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出，将表示出的a，b代入计算，即可求出的值； （Ⅱ）由的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出与的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．‎ 试题解析：（1）在中，由，及 可得，又由，有，‎ 所以 ‎（2）在中，由，可得 于是，.‎ 所以 ‎18．已知点，直线及圆 ‎（1）求过点的圆的切线方程；‎ ‎（2）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】试题分析: （1）设过M点的圆的切线方程为，与圆的方程联立消元再令判别式为0即可； （2）直线与圆相交于两点，且弦的长为可化为圆心到直线的距离为1,从而求解.‎ 试题解析:‎ ‎（1）由题意知圆心的坐标为，半径为，‎ 当过点的直线的斜率不存在时，方程为.‎ 由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切 当过点的直线的斜率存在时，设方程为 即，由题意知，解得.‎ ‎∴方程为，即.‎ 故过点的圆的切线方程为或.‎ ‎（2）∵圆心到直线的距离为.‎ ‎∴‎ 解得.‎ ‎19．已知是正数组成的数列， ，且点 在函数的图象上.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若列数满足,，求证： ‎ ‎【答案】解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,‎ 所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.‎ 故an=1+(a-1)×1=n.‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.‎ bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.‎ 因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,‎ 所以bn·bn+2＜b,‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）因为b2=1,‎ bn·bn+2-b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）‎ ‎=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n〈0，所以bn-bn+20，‎ 由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，‎ 当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，此时，Pmax＝－20＋120＝100.‎ ‎∴当每套丛书售价定为100元时，书商获得总利润为340万元，每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．‎ ‎21．已知点， ，曲线上的动点满足，定点，由曲线外一点向曲线引切线，切点为，且满足.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若以点为圆心的圆与和曲线有公共点，求半径取最小值时圆的标准方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析: （1）设出的坐标，利用向量的数量积公式化简，可得曲线C的方程；（2）根据P为圆心所作的圆P与曲线C有公共点，确定半径的范围，利用配方法，即可求半径取最小值时圆P的标准方程 试题解析:‎ ‎（1）设，则， ，‎ ‎∴，‎ 即曲线的方程为 ‎（2）∵为切点，则，由勾股定理， ，‎ 又由已知，故，‎ 化简得，即，设圆的半径为，∵与曲线有公共点，‎ ‎∴，即且 而 故当时， ，此时， ，‎ ‎∴圆的标准方程为 点睛：圆与圆相交转化为圆心间的距离，找R的最小值可以先找圆心间距离的最小值，二元换一元转化为二次函数即得解 ‎22．定义在上的函数为增函数，对任意都有（为常数）‎ ‎（1）判断为何值时，为奇函数，并证明；‎ ‎（2）设，是上的增函数，且，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（3）若，，为的前项和，求正整数，使得对任意均有.‎ ‎【答案】（1） 是奇函数（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析: （1）根据定义在R上的奇函数的性质，有，求得k的值，再根据，赋值，即可得到与之间的关系，根据奇函数的定义，即可证得结论； （2）将代入恒等式可得，再利用恒等式进行赋值，将3转化为f（2），再根据f（x）的单调性去掉“f”，转化为对任意恒成立，采用换元法，再用变量分离出结果 ‎（3）实际是找数列的最大值，根据通项的正负情况，前四项都是正数，从第五项起是负数，所以很容易找出的最大值为，再根据f(x)的单调性的结果；‎ 试题解析:‎ ‎（1）若在上为奇函数，则，令 则，所以 证明：由，令，，则 又，则有，即对任意成立，‎ 所以是奇函数.‎ ‎（2）因为，所以 所以对任意恒成立.‎ 又是上的增函数，所以对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立.令，则恒成立,,令,g(t)在（0,1+）递减，在递增，最小值为g(所以实数的取值范围是.‎ ‎(3)‎ 因为；‎ 当n≥5时，‎ ‎,而>0得 所以，当n≥5时，＜0，所以对任意n∈N恒有故k=4, ∵f(x)是增函数，所以 点睛：本题是函数与数列的综合题，主要是利用抽象函数的运算法则得出在某个K值下的奇偶性，单调性，转化为恒成立问题，主要用到了换元和变量分离，数列中求和的最大值可以转化到找项的正负变化；‎