2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．直线经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是( )‎ A．45° B．135°‎ C．45°或135° D．0°‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由已知的两点坐标求出过两点直线方程的斜率，然后利用直线的斜率等于倾斜角的正切值，再利用特殊角的三角函数值及倾斜角的范围即可得到倾斜角的度数．‎ 解：设过原点（0，0）和点（-1，-1）的直线方程的斜率为k，且该直线的倾斜角为α，‎ 由题意可知：tanα=k==1，又α∈（0，180°），‎ 则α=45°．‎ 故选A ‎2．下列命题正确的是（ ）‎ A．若直线平面，直线平面，则 B．若直线上有两个点到平面的距离相等，则 C．直线l与平面所成角的取值范围是 D．若直线平面，直线平面，则 ‎【答案】D ‎【解析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对A, 若直线平面,直线平面,不一定有,故A错误.‎ 对B,当平面时也满足直线上有两个点到平面的距离相等.故B错误.‎ 对C, 直线l与平面所成角的取值范围是,故C错误.‎ 对D, 若直线平面,直线平面,则成立.故D正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面平行垂直关系的判定,属于基础题型.‎ ‎3．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】易得该三棱锥为长方体的一角,根据体积公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 画出三棱锥易得体积.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据三视图求解三棱锥的体积问题,属于基础题型.‎ ‎4．空间中到A，B两点的距离相等的点构成的集合是（ ）‎ A．线段AB的中垂线 B．线段AB的中垂面 C．过AB中点的一条直线 D．一个圆 ‎【答案】B ‎【解析】直观想象求解即可.‎ ‎【详解】‎ 空间中到A,B两点的距离相等的点构成的集合是线段AB的中垂面.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间想象能力,属于基础题型.‎ ‎5．设长方体的对角线长是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是，则此长方体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】画图再设过某一顶点的两条棱与对角线的夹角都是再求棱长即可.‎ ‎【详解】‎ 由题画出图像,可设与对角线的夹角为.因为,故,同理,又可得.故长方体的体积为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了长方体中的线线夹角以及棱长与对角线的关系等.属于基础题型.‎ ‎6．已知点A、B、C、D为同一球面上的四点，且，则这个球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】易得三棱锥为正方体的一角,再求正方体的体对角线与外接球表面积即可.‎ ‎【详解】‎ 易得三棱锥为正方体的一角,且体对角线为外接球的直径,‎ 故.故外接球的表面积.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正方体中的一角三棱锥与外接球的表面积,属于基础题型.‎ ‎7．已知直线：与：平行，则的值是（ ）.‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．‎ 解：由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为 y=-1 和 y=3/2，显然两直线平行．当k-3≠0时，由，可得 k=5．综上，k的值是 3或5，‎ 故选 C．‎ ‎8．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．‎ ‎9．锐二面角αlβ，直线ABα，AB与l所成的角为45°，AB与平面β 成30°角，则二面角αlβ的大小为(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，作AO⊥l于O，作AC⊥β于C，再求∠AOC的大小即得解.‎ ‎【详解】‎ 如图，作AO⊥l于O，作AC⊥β于C，连接BC，OC．在Rt△AOB中，∠ABO＝45°，设AB＝1，则AO＝．‎ ‎∵在Rt△ACB中，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝，‎ ‎∴在Rt△ACO中，sin∠AOC＝,∴∠AOC＝45°．‎ 所以二面角αlβ的大小为45°.故答案为:B ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查线面角和二面角的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）‎ ‎10．函数在区间内的零点的近似值（精确度0.1）是（ ）‎ A．1.55 B．1.65 C．1.75 D．1.85‎ ‎【答案】C ‎【解析】易得函数在区间内的零点为判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由题函数在区间内的零点为,四个选项中离1.75最近.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的零点问题.属于基础题型.‎ ‎11．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）‎ A． B．32 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由三视图知该几何体是底面是直角边为的等腰直角三角形，一条长为的侧棱与底面垂直的三棱锥，其外接球就是底边长为，高为的正四棱柱的外接球，设球半径为，则，故选C.‎ ‎【考点】1、几何体的三视图；2、几何体的外接球体积.‎ ‎12．（2008秋•诸暨市期末）已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2﹣x+a，若函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是（ ）‎ A．a＜0 B．a≤0 C．a≤1 D．a≤0或a=1‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：要使函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个，则根据函数是奇函数，则只需要当x＞0时，函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有一个即可．‎ 解：因为f（x）是奇函数，所以g（x）=f（x）﹣x也是奇函数，‎ 所以要使函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有两个，‎ 则只需要当x＞0时，函数g（x）=f（x）﹣x的零点恰有一个即可．‎ 由g（x）=f（x）﹣x=0得，g（x）=x2﹣x+a﹣x=x2﹣2x+a=0，‎ 若△=0，即4﹣4a=0，解得a=1．‎ 若△＞0，要使当x＞0时，函数g（x）只有一个零点，则g（0）=a≤0，‎ 所以此时，解得a≤0．‎ 综上a≤0或a=1．‎ 故选D．‎ ‎【考点】函数的零点．‎ 二、填空题 ‎13．.求满足的的取值集合是______________.‎ ‎【答案】(-2,4) ‎ ‎【解析】解：因为 ‎14．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为_____厘米．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎【考点】球的体积和表面积 ‎15．已知正四棱锥（底面是正方形且侧棱都相等）中，，是侧棱的中点，则异面直线与所成角的大小为　　　　　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设与相交于点，连接。因为是正方形，所以是中点。而是中点，所以，则是异面直线与所成角。因为是正四棱锥，所以面，从而可得面面。因为，所以面，从而。因为，所以，所以是等腰直角三角形，从而可得 ‎16．已知直线恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直线，可得，从而可得定点坐标，进而可求直线方程.‎ ‎【详解】‎ 由直线，可得，‎ 令，可得，‎ 直线恒经过一个定点，‎ 过这一定点和原点的直线方程是，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)．‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）偶函数,理由详见解析 ‎【解析】试题分析：（1）求定义域，通常就是求使函数式有意义的自变量取值集合，所以只要满足各项都有意义即可，对数型的函数求值域，关键求出真数部分的取值范围就可以了；（2）判断函数奇偶性，就是利用奇偶性定义判断即可．‎ 试题解析：（1）由函数式可得 又 所以值域为 ‎（2）由（1）可知定义域关于原点对称 所以原函数为偶函数 ‎ ‎【考点】1．求复合函数的定义域、值域；2．用定义判断函数奇偶性．‎ ‎18．如图所示，在四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD绕AD旋转一周所形成的几何体的表面积及体积.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的体积及被除去的圆锥的体积，即可求出该几何体的体积．‎ 试题解析：如图，过C作CE垂直于AD，交AD延长线于E，则所求几何 的体积可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE旋转一周所得的圆锥的体积．‎ 所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝π×(52＋5×2＋22)×4－π×22×2＝π.‎ 点睛：本题考查了旋转体的结构特征，以及旋转体的体积.解决本类问题时，首先要作出旋转体的直观图，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据，这类问题对空间想象力，转化能力以及计算能力都有较高的要求，需要特别强化训练注意总结解题规律.‎ ‎19．已知四棱柱中，底面ABCD，且底面ABCD为菱形，F为的中点，M为线段的中点，‎ 求证:（1）平面ABCD;‎ ‎（2）平面.‎ ‎【答案】(1) 证明见解析(2) 证明见解析 ‎【解析】(1) 取AC的中点O,再证明即可.‎ ‎(2)利用等腰三角形与菱形的性质证明与即可.‎ ‎【详解】‎ 证明:（1）取AC的中点O,连接MO,‎ 因为M,O分别为,AC的中点,‎ 所以 又F为的中点,‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以四边形MOBF为平行四边形.‎ 所以,又平面ABCD,平面ABCD,‎ 所以平面ABCD.‎ ‎（2）因为F为的中点,易得,‎ 又M为的中点,所以 又四边形ABCD为菱形,所以.‎ 又,所以.‎ 又,所以平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面平行与线面垂直的判定与性质,属于中等题型.‎ ‎20．如图所示，在三棱柱中，与都为正三角形，且 平面，分别是的中点.‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【答案】(1)见解析.(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）由分别是的中点，证得，由线面平行的判定定理，可得平面，平面，再根据面面平行的判定定理，即可证得平面平面.‎ ‎（2）利用线面垂直的判定定理，可得平面，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在三棱柱中，‎ 因为分别是的中点，所以，‎ 根据线面平行的判定定理，可得平面，平面 又，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）在三棱柱中，平面，所以，‎ 又，，所以平面，‎ 而平面，所以平面平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．‎ ‎21．已知点.‎ ‎（1）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？‎ ‎（2）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ，最大距离是 (2) 不存在,见解析 ‎【解析】(1)作图可得当时直线l与原点距离最大,再根据垂直求解即可.‎ ‎(2)根据(1)中的结论判断即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）作图可证过P点与原点O距离最大的距离是过P点且与PO垂直的直线,‎ 由,得,所以 由直线方程的点斜式得,‎ 即.‎ 即直线是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为.‎ ‎（2）由（1）可得过P点且与原点O的最大距离为,因此不存在过点P点且到原点距离为6的直线.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了点与线的距离的最值问题,需要画图分析得时距离最大.属于基础题型.‎ ‎22．过点的直线被两平行线与截得的线段长，求直线的方程.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：当直线的方程为时，可验证不符合题意，当斜率存在时，设方程为，联立此方程和的方程，求得交点，然后利用列方程求解得或.‎ 试题解析：‎ 当直线的方程为时，可验证不符合题意，‎ 故设的方程为，‎ 由解得；‎ 由解得，‎ 因为，所以，‎ 整理得，解得或．‎ ‎【考点】直线与直线的位置关系.‎