【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第五章　第1讲　平面向量的概念及线性运算学案

【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第五章　第1讲　平面向量的概念及线性运算学案

第 1 讲　平面向量的概念及线性运算 　 一、知识梳理 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共 线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运 算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c) 减法 求 a 与 b 的相反向量 －b 的和的运算 a－b＝a＋(－b)　 数乘 求实数 λ 与向量 a 的 积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当 λ>0 时， λa 与 a 的方向相同； 当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反； 当 λ＝0 时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数 λ，使得 b＝λa，则向量 b 与非零向 量 a 共线． (2)性质定理：若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数，使得 b＝λa. 常用结论 1．几个特殊向量 (1)要注意 0 与 0 的区别，0 是一个实数，0 是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． (4)与向量 a 平行的单位向量有两个，即向量 a |a|和－ a |a|. 2．五个常用结论 (1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量 的终点的向量，即A1A2→ ＋A2A3→ ＋A3A4→ ＋…＋An－1An→ ＝A1An→ .特别地，一个封闭图形首尾连接而 成的向量和为零向量． (2)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OP → ＝1 2(OA → ＋OB → )． (3)若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则PA → ＋PB → ＋PC → ＝0⇔P 为△ABC 的重心． (4)在△ABC 中，AD，BE，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点 G(如图所示)， 易知 G 为△ABC 的重心，则有如下结论： ①GA → ＋GB → ＋GC → ＝0； ②AG → ＝1 3(AB → ＋AC → )； ③GD → ＝1 2(GB → ＋GC → )，GD → ＝1 6(AB → ＋AC → )． (5)若OA → ＝λOB → ＋μOC → (λ，μ为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 λ＋μ＝1. 二、教材衍化 1．已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且OA → ＝a，OB → ＝b，则DC → ＝________，BC → ＝________(用 a，b 表示)． 解析： 如图，DC → ＝AB → ＝OB → －OA → ＝b－a，BC → ＝OC → －OB → ＝－OA → －OB → ＝－a－b. 答案：b－a　－a－b 2．在平行四边形 ABCD 中，若|AB → ＋AD → |＝|AB → －AD → |，则四边形 ABCD 的形状为________． 解析： 如图，因为AB → ＋AD → ＝AC → ，AB → －AD → ＝DB → ，所以|AC → |＝|DB → |.由对角线相等的平行四边形 是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形． 答案：矩形 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　) (2)零向量与任意向量平行．(　　) (3)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.(　　) (4)若向量AB → 与向量CD → 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上．(　　) (5)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之成立．(　　) (6)在△ABC 中，D 是 BC 的中点，则AD → ＝1 2(AB → ＋AC → )．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ (1)对向量共线定理认识不准确； (2)向量线性运算不熟致错； (3)向量三角不等式认识不清致错． 1．对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A.若 a＋b＝0，则 a＝－b，所以 a∥b.若 a∥b，则 a＋b＝0 不一定成立，故前 者是后者的充分不必要条件． 2．设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝1 2AB，BE＝2 3BC.若DE → ＝λ1AB → ＋λ2 AC → (λ1，λ2 为实数)，则 λ1＝________，λ2＝________． 解析：DE → ＝DB → ＋BE → ＝1 2AB → ＋2 3BC → ＝1 2AB → ＋2 3(BA → ＋AC → )＝－1 6AB → ＋2 3AC → ，所以 λ1＝－1 6，λ 2＝2 3. 答案：－1 6　2 3 3．已知向量 a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________． 解析：当 a 与 b 方向相同时，|a－b|＝2，当 a 与 b 方向相反时，|a－b|＝6，当 a 与 b 不 共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．此题易忽视 a 与 b 方向相同和 a 与 b 方向相反两种情况． 答案：[2，6] [学生用书 P82] 　　　　　　平面向量的有关概念(自主练透) 1．设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　) A．0　　　 B．1　　　　 C．2　　　 D．3 解析：选 D.向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故 ①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a ＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3. 2．设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使 a |a|＝ b |b|成立的充分条件是(　　) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b 且|a|＝|b| 解析：选 C.因为向量 a |a|的方向与向量 a 相同，向量 b |b|的方向与向量 b 相同，且 a |a|＝ b |b|， 所以向量 a 与向量 b 方向相同，故可排除选项 A，B，D. 当 a＝2b 时， a |a|＝ 2b |2b|＝ b |b|，故“a＝2b”是“ a |a|＝ b |b|”成立的充分条件． 3．给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； ③若 A，B，C，D 是不共线的四点，且AB → ＝DC → ，则 ABCD 为平行四边形； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ⑤已知 λ，μ为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中真命题的序号是________． 解析：①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等， 不一定有相同的起点和终点． ②是错误的，|a|＝|b|，但 a，b 方向不确定，所以 a，b 的方向不一定相等或相反． ③是正确的，因为AB → ＝DC → ，所以|AB → |＝|DC → |且AB → ∥DC → ；又 A，B，C，D 是不共线的四 点，所以四边形 ABCD 为平行四边形． ④是错误的，当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，所以|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤是错误的，当 λ＝μ＝0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 λa＝μb，但 a 与 b 不一定 共线． 答案：③ 辨析向量有关概念的五个关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是方向没有限制，长度是 0，规定零向量与任何向量共线．　 　　　　　　平面向量的线性运算(多维探究) 角度一　向量的线性运算 (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点， 则EB → ＝(　　) A.3 4AB → －1 4AC → B．1 4AB → －3 4AC → C.3 4AB → ＋1 4AC → D．1 4AB → ＋3 4AC → (2)在四边形 ABCD 中，BC → ＝AD → ，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延 长线与 CD 交于点 F，则(　　) A.AF → ＝1 3AC → ＋2 3BD → B．AF → ＝2 3AC → ＋1 3BD → C.AF → ＝1 4AC → ＋2 3BD → D．AF → ＝2 3AC → ＋1 4BD → 【解析】　(1) 法一：如图所示，EB → ＝ED → ＋DB → ＝1 2AD → ＋1 2CB → ＝1 2×1 2(AB → ＋AC → )＋1 2(AB → －AC → )＝3 4AB → －1 4AC → ， 故选 A. 法二：EB → ＝AB → －AE → ＝AB → －1 2AD → ＝AB → －1 2×1 2(AB → ＋AC → )＝3 4AB → －1 4AC → ，故选 A. (2) 在四边形 ABCD 中，如图所示，因为BC → ＝AD → ，所以四边形 ABCD 为平行四边形．由已 知得DE → ＝1 3EB → ，由题意知△DEF∽△BEA，则DF → ＝1 3AB → ，所以CF → ＝2 3CD → ＝2 3(OD → －OC → )＝2 3× BD → －AC → 2 ＝ BD → －AC → 3 ，所以AF → ＝AC → ＋CF → ＝AC → ＋ BD → －AC → 3 ＝2 3AC → ＋1 3BD → ，故选 B. 【答案】　(1)A　(2)B 角度二　根据向量线性运算求参数 (一题多解)如图，在直角梯形 ABCD 中，DC → ＝1 4AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋s AD → ，则 2r＋3s＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　法一：由题图可得AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋2 3BC → ＝AB → ＋2 3(BA → ＋AD → ＋DC → )＝1 3AB → ＋ 2 3(AD → ＋DC → )＝1 3AB → ＋2 3(AD → ＋1 4AB → )＝1 2AB → ＋2 3AD → . 因为AE → ＝rAB → ＋sAD → ，所以 r＝1 2，s＝2 3，则 2r＋3s＝1＋2＝3. 法二：因为BE → ＝2EC → ，所以AE → －AB → ＝2(AC → －AE → )，整理，得AE → ＝1 3AB → ＋2 3AC → ＝1 3AB → ＋2 3(AD → ＋DC → )＝1 2AB → ＋2 3AD → ，以下同法一． 法三：如图，延长 AD，BC 交于点 P，则由DC → ＝1 4AB → 得 DC∥AB，且 AB＝4DC. 又BE → ＝2EC → ，所以 E 为 PB 的中点，且AP → ＝4 3AD → . 于是，AE → ＝1 2(AB → ＋AP → )＝1 2(AB → ＋4 3AD → )＝1 2AB → ＋2 3AD → .以下同法一． 法四：如图，建立平面直角坐标系 xAy，依题意可设点 B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m， 2h)，其中 m＞0，h＞0. 由AE → ＝rAB → ＋sAD → ，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)， 所以{4m＝4mr＋3ms， 2h＝3hs， 解得{r＝1 2， s＝2 3， 所以 2r＋3s＝1＋2＝3. 【答案】　C 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则． (2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则； 求首尾相连向量的和用三角形法则． 1.(2020·福州模拟)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是 一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以 A，B，C，D，E 为顶点的多边形为正五边形，且PT AT＝ 5－1 2 .则下列关系中正确的是(　　) A.BP → －TS → ＝ 5＋1 2 RS → B．CQ → ＋TP → ＝ 5＋1 2 TS → C.ES → －AP → ＝ 5－1 2 BQ → D．AT → ＋BQ → ＝ 5－1 2 CR → 解析：选 A.由题意得，BP → －TS → ＝TE → －TS → ＝SE → ＝ RS → 5－1 2 ＝ 5＋1 2 RS → ，所以 A 正确；CQ → ＋ TP → ＝PA → ＋TP → ＝TA → ＝ 5＋1 2 ST → ，所以 B 错误；ES → －AP → ＝RC → －QC → ＝RQ → ＝ 5－1 2 QB → ，所以 C 错 误；AT → ＋BQ → ＝SD → ＋RD → ， 5－1 2 CR → ＝RS → ＝RD → －SD → ，若AT → ＋BQ → ＝ 5－1 2 CR → ，则SD → ＝0，不合 题意，所以 D 错误．故选 A. 2．在△ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC → ＝3CD → ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，若AO → ＝xAB → ＋(1－x)AC → ，则 x 的取值范围是________． 解析：设CO → ＝yBC → ，因为AO → ＝AC → ＋CO → ＝AC → ＋yBC → ＝AC → ＋y(AC → －AB → )＝－yAB → ＋(1＋y)AC → . 因为BC → ＝3CD → ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)． 所以 y∈(0， 1 3 )， 因为AO → ＝xAB → ＋(1－x)AC → ， 所以 x＝－y，所以 x∈(－1 3，0). 答案：(－1 3，0) 　　　　　　平面向量共线定理的应用(典例迁移) 设两个非零向量 a 与 b 不共线． (1)若AB → ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线． 【解】　(1)证明：因为AB → ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)，所以BD → ＝BC → ＋CD → ＝2a ＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB → ， 所以AB → ，BD → 共线，又它们有公共点 B， 所以 A，B，D 三点共线． (2)因为 ka＋b 与 a＋kb 共线， 所以存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， 所以 k－λ＝λk－1＝0.所以 k2－1＝0. 所以 k＝±1. 【迁移探究 1】　(变条件)若将本例(1)中“BC → ＝2a＋8b”改为“BC → ＝a＋mb”，则 m 为 何值时，A，B，D 三点共线？ 解：BC → ＋CD → ＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b， 即BD → ＝4a＋(m－3)b. 若 A，B，D 三点共线， 则存在实数 λ，使BD → ＝λAB → ， 即 4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)， 所以{4＝λ， m－3＝λ， 解得 m＝7. 故当 m＝7 时，A，B，D 三点共线． 【迁移探究 2】　(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则 k 为何值？ 解：因为 ka＋b 与 a＋kb 反向共线， 所以存在实数 λ， 使 ka＋b＝λ(a＋kb)(λ＜0)， 所以{k＝λ， kλ＝1，所以 k＝±1. 又 λ＜0，k＝λ，所以 k＝－1. 故当 k＝－1 时，两向量反向共线． 共线向量定理的 3 个应用 (1)证明向量共线：对于向量 a，b，若存在实数 λ，使 a＝λb(b≠0)，则 a 与 b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数 λ，使AB → ＝λAC → ，则 A，B，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [注意]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．　 1．设两个非零向量 a 与 b 不共线，若 a 与 b 的起点相同，且 a，tb，1 3(a＋b)的终点在 同一条直线上，则实数 t＝________． 解析：因为 a，tb，1 3(a＋b)三个向量的终点在同一条直线上，且 a 与 b 的起点相同， 所以 a－tb 与 a－1 3(a＋b)共线，即 a－tb 与 2 3a－1 3b 共线， 所以存在实数 λ，使 a－tb＝λ(2 3a－1 3b)，所以{1＝2 3λ， t＝1 3λ， 解得 λ＝3 2，t＝1 2. 答案：1 2 2．如图，一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 分别交于 E，F 两点，且交 对角线 AC 于点 K，其中AE → ＝2 5AB → ，AF → ＝1 2AD → ，AK → ＝λAC → ，则λ＝________． 解析：因为AE → ＝2 5AB → ，AF → ＝1 2AD → ， 所以AB → ＝5 2AE → ，AD → ＝2AF → . 由向量加法的平行四边形法则可知，AC → ＝AB → ＋AD → ， 所以AK → ＝λAC → ＝λ(AB → ＋AD → )＝λ(5 2AE → ＋2AF → )＝5 2λAE → ＋2λAF → ，由 E，F，K 三点共线，可得 λ＝2 9. 答案：2 9 [学生用书 P84] 　共线定理的推广与应用 [共线定理]　已知PA → ，PB → 为平面内两个不共线的向量，设PC → ＝xPA → ＋yPB → ，则 A，B，C 三点共线的充要条件为 x＋y＝1. [推广形式]　如图所示，直线 DE∥AB，C 为直线 DE 上任一点，设PC → ＝xPA → ＋yPB → (x， y∈R)． 当直线 DE 不过点 P 时，直线 PC 与直线 AB 的交点记为 F，因为点 F 在直线 AB 上， 所以由三点共线结论可知，若PF → ＝λPA → ＋μPB → (λ，μ∈R)，则 λ＋μ＝1.由△PAB 与△PED 相 似，知必存在一个常数 m∈R，使得PC → ＝m PF → ，则PC → ＝mPF → ＝mλPA → ＋mμPB → . 又PC → ＝xPA → ＋yPB → (x，y∈R)， 所以 x＋y＝mλ＋mμ＝m. 以上过程可逆． 因此得到结论：PC → ＝xPA → ＋yPB → ， 则 x＋y＝m(定值)，反之亦成立． (应用实例) 如图，在正六边形 ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP → ＝αAB → ＋ βAF → (α，β∈R)，则 α＋β 的取值范围是________． 【解析】　当 P 在△CDE 内时，直线 EC 是最近的平行线，过 D 点的平行线是最远的， 所以 α＋β∈[AN AM， AD AM]＝[3，4]． 【答案】　[3，4] 如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外一点 D，若OC → ＝mOA → ＋ nOB → ，则 m＋n 的取值范围是________． 【解析】　由点 D 是圆 O 外的一点，可设BD → ＝λBA → (λ＞1)，则OD → ＝OB → ＋BD → ＝OB → ＋λ BA → ＝λOA → ＋(1－λ)OB → .因为 C，O，D 三点共线，令 OD → ＝－μOC → (μ＞1)，所以OC → ＝－λ μOA → － 1－λ μ ·OB → (λ＞1，μ＞1)．因为OC → ＝mOA → ＋nOB → ，所以 m＝－λ μ，n＝－1－λ μ ，则 m＋n＝－λ μ－ 1－λ μ ＝－1 μ∈(－1，0)． 【答案】　(－1，0) 如图，在扇形 OAB 中，∠AOB＝π 3，C 为弧 AB 上的动点，若OC → ＝xOA → ＋yOB → ， 则 x＋3y 的取值范围是________． 【解析】　 OC → ＝xOA → ＋3y(OB → 3 )，如图，作 OB′ → ＝ OB → 3 ，则考虑以向量OA → ，OB′ → 为基 底．显然，当 C 在 A 点时，经过 m＝1 的平行线，当 C 在 B 点时，经过 m＝3 的平行线，这 两条 线分别是最近与最远的平行线，所以 x＋3y 的取值范围是[1，3]． 【答案】　[1，3] [基础题组练] 1. 如图，已知AP → ＝4 3AB → ，用OA → ，OB → 表示OP → ，则OP → 等于(　　) A.1 3OA → －4 3OB → B.1 3OA → ＋4 3OB → C．－1 3OA → ＋4 3OB → D．－1 3OA → －4 3OB → 解析：选 C.OP → ＝OA → ＋AP → ＝OA → ＋4 3AB → ＝OA → ＋4 3(OB → －OA → )＝－1 3OA → ＋4 3OB → .故选 C. 2．在△ABC 中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点， 若AO → ＝λAB → ＋μBC → ，其中 λ，μ∈R，则 λ＋μ 等于(　　) A．1　　　　　　　　　 B．1 2 C.1 3　　　　 D．2 3 解析：选 D.由题意易得AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋1 3BC → ， 所以 2AO → ＝AB → ＋1 3BC → ，即AO → ＝1 2AB → ＋1 6BC → . 故 λ＋μ＝1 2＋1 6＝2 3. 3．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)设 a，b 是非零向量，记 a 与 b 所成的角为 θ，下列四个条件中，使 a |a|＝ b |b|成立的充要条件是(　　) A．a∥b B．θ＝0 C．θ＝π 2 D．θ＝π 解析：选 B. a |a|＝ b |b|等价于非零向量 a 与 b 同向共线，即 θ＝0，故选 B. 4．(2020·合肥一模)已知 A，B，C 三点不共线，且点 O 满足 16OA → －12OB → －3OC → ＝0， 则(　　) A.OA → ＝12AB → ＋3AC → B．OA → ＝12AB → －3AC → C.OA → ＝－12AB → ＋3AC → D．OA → ＝－12AB → －3AC → 解析：选 A.对于 A，OA → ＝12AB → ＋3AC → ＝12(OB → －OA → )＋3(OC → －OA → )＝12OB → ＋3OC → －15 OA → ，整理，可得 16OA → －12OB → －3OC → ＝0，这与题干中条件相符合，故选 A. 5.如图，在△ABC 中，AD → ＝2 3AC → ，BP → ＝1 3BD → ，若AP → ＝λAB → ＋μAC → ，则λ μ的值为(　　) A．－3 B．3 C．2 D．－2 解析：选 B.因为AP → ＝AB → ＋BP → ， BP → ＝1 3BD → ＝1 3(AD → －AB → )＝1 3AD → －1 3AB → ＝1 3×2 3AC → －1 3AB → ＝2 9AC → －1 3AB → ， 所以AP → ＝AB → ＋(2 9AC → －1 3AB → )＝2 3AB → ＋2 9AC → . 又AP → ＝λAB → ＋μAC → ，所以 λ＝2 3，μ＝2 9， 所以λ μ＝2 3×9 2＝3.故选 B. 6．若|AB → |＝|AC → |＝|AB → －AC → |＝2，则|AB → ＋AC → |＝________． 解析：因为|AB → |＝|AC → |＝|AB → －AC → |＝2，所以△ABC 是边长为 2 的正三角形，所以|AB → ＋AC → |为△ABC 的边 BC 上的高的 2 倍，所以|AB → ＋AC → |＝2 3. 答案：2 3 7．已知 O 为△ABC 内一点，且 2AO → ＝OB → ＋OC → ，AD → ＝tAC → ，若 B，O，D 三点共线， 则 t 的值为________． 解析：设线段 BC 的中点为 M，则OB → ＋OC → ＝2OM → . 因为 2AO → ＝OB → ＋OC → ，所以AO → ＝OM → ， 则AO → ＝1 2AM → ＝1 4(AB → ＋AC → )＝1 4(AB → ＋1 tAD → )＝1 4AB → ＋1 4tAD → . 由 B，O，D 三点共线，得1 4＋1 4t＝1，解得 t＝1 3. 答案：1 3 8．在△ABC 中，∠A＝60°，∠A 的平分线交 BC 于点 D，若 AB＝4，且AD → ＝1 4AC → ＋λAB → (λ∈R)，则 AD 的长为________． 解析：因为 B，D，C 三点共线，所以1 4＋λ＝1，解得 λ＝3 4，如图，过点 D 分别作 AC， AB 的平行线交 AB，AC 于点 M，N，则AN → ＝1 4AC → ，AM → ＝3 4AB → ，因为△ABC 中，∠A＝60°，∠ A 的平分线交 BC 于点 D，所以四边形 AMDN 是菱形，因为 AB＝4，所以 AN＝AM＝3，AD ＝3 3. 答案：3 3 9.在△ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB＝2GE，设 AB → ＝a，AC → ＝b，试用 a，b 表示AD → ，AG → . 解：AD → ＝1 2(AB → ＋AC → )＝1 2a＋1 2b； AG → ＝AB → ＋BG → ＝AB → ＋2 3BE → ＝AB → ＋1 3(BA → ＋BC → )＝2 3AB → ＋1 3(AC → －AB → )＝1 3AB → ＋1 3AC → ＝1 3a＋1 3b. 10．经过△OAB 重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设 OP → ＝mOA → ，OQ → ＝ nOB → ，m，n∈R，求1 n＋1 m的值． 解：设OA → ＝a，OB → ＝b，则OG → ＝1 3(a＋b)， PQ → ＝OQ → －OP → ＝nb－ma， PG → ＝OG → －OP → ＝1 3(a＋b)－ma＝(1 3－m )a＋1 3b. 由 P，G，Q 共线得，存在实数λ使得PQ → ＝λPG → ， 即 nb－ma＝λ(1 3－m )a＋1 3λb， 则{－m＝λ(1 3－m )， n＝1 3λ， 消去 λ，得1 n＋1 m＝3. [综合题组练] 1．已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 反向共线，则实数 λ 的值为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．－1 2 C．1 或－1 2 D．－1 或－1 2 解析：选 B.由于 c 与 d 反向共线，则存在实数 k 使 c＝kd(k＜0)，于是 λa＋b＝k[a＋(2λ－ 1)b]．整理得 λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于 a，b 不共线，所以有{λ＝k， 2λk－k＝1，整理得 2λ2－λ－ 1＝0，解得 λ＝1 或 λ＝－1 2.又因为 k＜0，所以 λ＜0，故 λ＝－1 2. 2.(一题多解)如图，在△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且满足 BD＝1 2DC，过点 D 的直 线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N 若AM → ＝mAB → ，AN → ＝nAC → ，则(　　) A．m＋n 是定值，定值为 2 B．2m＋n 是定值，定值为 3 C.1 m＋1 n是定值，定值为 2 D.2 m＋1 n是定值，定值为 3 解析：选 D.法一：如图，过点 C 作 CE 平行于 MN 交 AB 于点 E.由AN → ＝n AC → 可得AC AN＝ 1 n，所以AE EM＝AC CN＝ 1 n－1，由 BD＝1 2DC 可得BM ME＝1 2，所以AM AB＝ n n＋n－1 2 ＝ 2n 3n－1，因为AM → ＝ mAB → ，所以 m＝ 2n 3n－1， 整理可得2 m＋1 n＝3. 法二：因为 M，D，N 三点共线，所以AD → ＝λAM → ＋(1－λ)·AN → . 又AM → ＝mAB → ，AN → ＝nAC → ，所以AD → ＝λmAB → ＋(1－λ)·nAC → .又BD → ＝1 2DC → ，所以AD → －AB → ＝1 2 AC → －1 2AD → ，所以AD → ＝1 3AC → ＋2 3AB → .比较系数知 λm＝2 3，(1－λ)n＝1 3，所以2 m＋1 n＝3，故选 D. 3．(2020·铜川模拟)在△ABC 中，点 D 是边 BC 上任意一点，M 是线段 AD 的中点，若 存在实数 λ 和 μ，使得BM → ＝λAB → ＋μAC → ，则 λ＋μ＝________． 解析：如图，因为点 D 在边 BC 上，所以存在 t∈R，使得BD → ＝tBC → ＝t(AC → －AB → )．因为 M 是线段 AD 的中点，所以BM → ＝1 2(BA → ＋BD → )＝1 2(－AB → ＋tAC → －tAB → )＝－1 2(t＋1)·AB → ＋1 2tAC → . 又BM → ＝λAB → ＋μAC → ，所以 λ＝－1 2(t＋1)，μ＝1 2t， 所以 λ＋μ＝－1 2. 答案：－1 2. 4．已知 P 为△ABC 所在平面内一点，AB → ＋PB → ＋PC → ＝0，|AB → |＝|PB → |＝|PC → |＝2，则△ABC 的面积为________． 解析：因为AB → ＋PB → ＋PC → ＝0，所以AB → ＝－(PB → ＋PC → )． 由平行四边形法则可知，以PB → ，PC → 为边组成的平行四边形的一条对角线与AB → 反向，且 长度相等．因为|AB → |＝|PB → |＝|PC → |＝2，所以以PB → ，PC → 为边的平行四边形为菱形，且除 BC 外 的另一条对角线长为 2，所以 BC＝2 3，∠ABC＝90°，所以 S△ABC＝1 2AB·BC＝1 2×2×2 3＝ 2 3. 答案：2 3 5．在如图所示的方格纸中，向量 a，b，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上， 若 c 与 xa＋yb(x，y 为非零实数)共线，求x y的值． 解：设 e1，e2 分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量 c＝e1－2e2， a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由 c 与 xa＋yb 共线，得 c＝λ(xa＋yb)，所以 e1－2e2＝2λ(x－y)e1 ＋λ(x－2y)e2，所以{2λ（x－y）＝1， λ（x－2y）＝－2，所以{x＝3 λ， y＝ 5 2λ， 所以x y的值为6 5. 6．已知 O，A，B 是不共线的三点，且OP → ＝mOA → ＋nOB → (m，n∈R)． (1)若 m＋n＝1，求证：A，P，B 三点共线； (2)若 A，P，B 三点共线，求证：m＋n＝1. 证明：(1)若 m＋n＝1， 则OP → ＝mOA → ＋(1－m)OB → ＝OB → ＋m(OA → －OB → )， 所以OP → －OB → ＝m(OA → －OB → )， 即BP → ＝mBA → ， 所以BP → 与BA → 共线． 又因为BP → 与BA → 有公共点 B， 所以 A，P，B 三点共线． (2)若 A，P，B 三点共线， 则存在实数 λ，使BP → ＝λBA → ， 所以OP → －OB → ＝λ(OA → －OB → )． 又OP → ＝mOA → ＋nOB → . 故有 mOA → ＋(n－1)OB → ＝λOA → －λOB → ， 即(m－λ)OA → ＋(n＋λ－1)OB → ＝0. 因为 O，A，B 不共线， 所以OA → ，OB → 不共线， 所以{m－λ＝0， n＋λ－1＝0，所以 m＋n＝1.