河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业6

河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业6

1 河北省沧州市第一中学 2020 年高三数学寒假作业 6 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 1. 复数 是虚数单位 ，则 z 的模为 A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 已知全集 ，集合 0，1，2， ， ，则 A. 0， B. 0，1， C. D. 3. 命题“ ， ”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是 A. B. C. D. 5. 已知等比数列 的前 n 项和为 ， ，则数列 的公比 A. B. 1 C. 士 1 D. 2 6. 过椭圆 的中心任作一直线交椭圆于 P、Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则 周长的最小值是 A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 7. 把标号为 1，2，3，4 的四个小球分别放入标号为 1，2，3，4 的四个盒子中，每个盒子 只放一个小球，则 1 号球不放入 1 号盒子的方法共有 A. 18 种 B. 9 种 C. 6 种 D. 3 种 8. 已知圆锥的母线长为 6，母线与轴的夹角为 ，则此圆锥的体积为 A. B. C. D. 9. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为 1，则可输入的实数 x 值的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 设 ， ， ，则 A. B. C. D. 11. 已知 F 是双曲线 E： 的左焦点，过点 F 且倾斜角为 的直线与曲线 E 的两条渐近线依次交于 A，B 两点，若 A 是线段 FB 的中点，且 C 是线段 AB 的中点， 则直线 OC 的斜率为 2 A. B. C. D. 12. 函数 e 是自然对数的底数， 存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分） 13. 在 中， ，则 ______． 14. 已知函数 是定义域为 R 的偶函数，且 在 上单调递增，则不等式 的解集为______． 15. 已知各项都为正数的数列 ，其前 n 项和为 ，若 ，则 ______． 16. A，B 为单位圆 圆心为 上的点，O 到弦 AB 的距离为 ，C 是劣弧 包含端点 上一动 点，若 ，则 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分） 17. 已知函数 ， ， 是函数 的零点，且 的 最小值为 ． Ⅰ 求 的值； Ⅱ 设 ， ，若 ， ，求 的值． 18. 某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布 单 位： ． Ⅰ 求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于 485g 的概率约为多少？ Ⅱ 该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于 485g，检测员 根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？ 请说明理由． 附： ，则 ， ， ． 3 19. 如图，直三棱柱 中， ， ，D 为 的中点． Ⅰ 若 E 为 上的一点，且 DE 与直线 CD 垂直，求 的值； Ⅱ 在 Ⅰ 的条件下，设异面直线 与 CD 所成的角为 ，求直线 DE 与平面 成 角的正弦值． 20. 已知抛物线 C： ，其焦点到准线的距离为 2，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作抛物线 C 的切线 ， ， 与 交于点 M． Ⅰ 求 p 的值； Ⅱ 若 ，求 面积的最小值． 21. 已知 是函数 的极值点． Ⅰ 求实数 a 的值； Ⅱ 求证：函数 存在唯一的极小值点 ，且 参考数据： ，其 中 e 为自然对数的底数 4 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 过原点且倾斜角为 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的极坐标方程为 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 与曲线 关于直线 对称． Ⅰ 求曲线 的极坐标方程； Ⅱ 若直线 过原点且倾斜角为 ，设直线 与曲线 相交于 O，A 两点，直线 与曲 线 相交于 O，B 两点，当 变化时，求 面积的最大值． 23. 已知函数 ． Ⅰ 当 时，求不等式 的解集； Ⅱ 当不等式 的解集为 R 时，求实数 a 的取值范围． 5 答案和解析 1.【答案】C 【解析】解： ， ． 故选：C． 由已知直接利用复数模的计算公式求解． 本题考查复数模的求法，是基础题． 2.【答案】A 【解析】解： ； 0， ． 故选：A． 进行交集、补集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算． 3.【答案】B 【解析】解：特称命题的否定是全称命题， ， 的否定为： ， ， 故选：B． 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题． 4.【答案】D 【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A， ，为正弦函数，在 上不是单调函数，不符合题意； 对于 B， ，为偶函数，不符合题意； 对于 C， ，是奇函数但在 上单调递减，不符合题意； 对于 D， ，既是奇函数又在 上单调递增，符合题意； 故选：D． 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础 题． 5.【答案】C 【解析】解：根据题意，等比数列 中， ， 则 ， 变形可得： ， 进而可得： ，解可得 ， 故选：C． 根据题意，分析可得 ，变形可得： ，进而可得 ， 解可得 q 的值，即可得答案． 本题考查等比数列的前 n 项的性质以及应用，属于基础题． 6 6.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆定义的应用，体现了数学转化思想方法，是中 档题． 由题意画出图形，然后利用椭圆的对称性把 的周长转化为椭圆上的点到两焦点的距离 之和及过原点的线段的长度问题，则答案可求． 【解答】 解：如图， 由椭圆的定义知 由椭圆的对称性知 ， 有 ，而 的最小值是 2b， ， ， ， 的周长的最小值为 故选：C． 7.【答案】A 【解析】解：由于 1 号球不放入 1 号盒子，则 1 号盒子有 2、3、4 号球三种选择，还剩余三 个球可以任意放入剩下的三个盒子中， 则 2 号小球有 3 种选择，3 号小球还剩 2 种选择，4 号小球只有 1 种选择， 根据分步计数原理可得 1 号球不放入 1 号盒子的方法有 种， 故选：A． 先确定 1 号盒子的选择情况，再确定 2、3、4 号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求 解． 本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题． 8.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积的计算，属于基础题． 根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算． 【解答】 解： 圆锥的母线长为 6，母线与轴的夹角为 ， 圆锥的底面半径为 3，高为 ． 7 圆锥的体积为： 故选：B． 9.【答案】B 【解析】解：根据题意，该框图的含义是： 当 时，得到函数 ；当 时，得到函数 ， 因此，若输出的结果为 1 时， 若 ，得到 ，解得 ， 若 ，得到 ，解得 ， 舍去 ， 因此，可输入的实数 x 的值可能为 ， ，共有 2 个． 故选：B． 根据程序框图的含义，得到分段函数 ，由此解出关于 x 的方程 ，即可 得到可输入的实数 x 值的个数． 本题主要考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题． 10.【答案】B 【解析】解： ， ； ； 又 ， ； ； ； ． 故选：B． 根据换底公式即可得出 ，从而得出 ，容易得出 ，从而得 出 ，这样即可得出 a，b，c 的大小关系． 考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性． 11.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线渐近线 的位置关系，考查中点坐标公式与斜率公式，属 于中档题． 设 ，表示出 A 点坐标，代入渐近线方程 得出 ，求出 C 点坐标，根据斜率公式求出 的 值，即可得出 OC 的斜率． 【解答】 8 解： ，设 ， 则 ， 把 A 点坐标代入方程 可得 ， 整理可得 ， ， ， ，故 ， 又直线 BF 的斜率为 ， ， ． 故选 D． 12.【答案】A 【解析】解：函数 e 是自然对数的底数， 存在唯一的零点 等价于： 函数 与函数 只有唯一一个交 点， ， ， 函数 与函数 唯一交点为 ， 又 ，且 ， ， 在 R 上恒小于零，即 在 R 上 为单调递减函数， 又 是最小正周期为 2，最大值为 a 的正弦函数， 可得函数 与函数 的大致图象如图： 要使函数 与函数 只有唯一一个交点，则 ， ， ， ，解得 ， 又 ， 实数 a 的范围为 故选：A． 9 函数 e 是自然对数的底数， 存在唯一的零点等价于函数 与函数 只有唯一一个交点，由 ， ，可得函数 与函数 唯一交点为 ， 的单调，根据单调性得到 与 的大致图象，从图形上可得要使函数 与函数 只有唯一一个 交点，则 ，即可解得实数 a 的取值范围． 本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交 点问题，通过图象进行分析研究，属于难题． 13.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于中档题． 利用正弦定理化简已知的等式，再利用余弦定理表示出 cosA，将化简后的式子整理后代入 求出 cosA 的值值，由 A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的值． 【解答】 解：由正弦定理化简 ， 得： ，即 ， ， 又 为三角形的内角， 则 ． 故答案为 ． 14.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式 进行转化是解决本题的关键，为中档题． 根据题意，由偶函数的性质结合函数的单调性可得 ，进而可得 ， 解可得 x 的取值范围，即可得答案． 【解答】 解：根据题意：当 时， 即 ， 变形可得： ， 解可得 或 ， 即不等式的解集为 ； 故答案是 ． 15.【答案】 【解析】【分析】 本题考查数列的通项公式的求法，关键是得出数列 为单调递增的等差数列，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题． 时， ，解得 ，当 时， ，推导出 10 ，从而 ，进而数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 由此能求出结果． 【解答】 解： 各项都为正数的数列 ，其前 n 项和为 ， ， 时， ， 解得 ， 当 时， ， ，得： ， ， 数列各项都为正数， ， 数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， ，且验证 时也成立， 故答案为： ． 16.【答案】 【解析】解：如图以圆心 O 为坐标原点建立直角坐 标系，设 A，B 两点在 x 轴上方且线段 AB 与 y 轴垂直， ，B 为单位圆 圆心为 上的点，O 到弦 AB 的距 离为 ， 点 ，点 ， ， ，即 ， ， ， 又 是劣弧 包含端点 上一动点，设点 C 坐标为 ， ， ， ，解得： ， 11 故 的取值范围为 以圆心 O 为坐标原点建立直角坐标系，设 A，B 两点在 x 轴上方且线段 AB 与 y 轴垂直， 分别表示出 A，B 两点的坐标，求出 、 向量，即可表示出 向量，由于 C 是劣弧 包含 端点 上一动点，可知 向量横纵坐标的范围，即可求出 的取值范围． 本题主要考查了向量的综合问题以及圆的基本性质，解题的关键是建立直角坐标系，表示出 各点坐标，属于中档难度题． 17.【答案】解： Ⅰ ， 的最小值为 ． ，即 ，得 ． Ⅱ 由 Ⅰ 知： ， ， ， 则 ， 又 ， ， ， ， ． 【解析】 Ⅰ 利用二倍角公式和辅助角公式整理出 ，根据周期求得 ； Ⅱ 根据 解析式可求解出 ， ；再利用同角三角函数关系求出 ， ；代入两 角和差余弦公式求得结果． 本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、 同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型． 18.【答案】解： Ⅰ 设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为 Xg，由题意可知 由于 ， 所以根据正态分布的对称性与“ 原则”可知： ； Ⅱ 检测员的判断是合理的． 因为如果生产线不出现异常的话，由 Ⅰ 可知，随机抽取两包检查，质量都小于 485g 的概 率约为： ，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线 出现异常，检测员的判断是合理的． 12 【解析】 Ⅰ 由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布 单位： ，要求得 正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于 485g 的概率，化为 的形式，然后求 解即可； Ⅱ 由 Ⅰ 可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于 485g 的概率为 ，可求得 随机抽取两包检查，质量都小于 485g 的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的． 本题主要考查了正态分布中 原则，考查基本分析应用的能力，属于基础题． 19.【答案】 Ⅰ 证明：取 AB 中点 M，连接 CM，DM，有 ， 因为 ，所以 ， 又因为三棱柱 为直三棱柱， 所以平面 平面 ， 又因为平面 平面 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以 ， 又因为 ， ， 平面 CMD， 平面 CMD， 所以 平面 CMD，又因为 平面 CMD， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 连接 交 于点 O，因为 为正方形， 所以 ，又因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， 又因为 D 为 的中点， 所以 E 为 的中点， 所以 ． Ⅱ 如图以 M 为坐标原点，分别以 MA，MO，MC 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ，由 Ⅰ 可知 ， 所以 ， 所以 ， 所以 0， ， 2a， ， 2a， ， a， ， ， 所以 2a， ， 0， ， ， 设平面 的法向量为 y， ，则 ， 即 ，令 可得 ． 所以 ． 13 所以直线 DE 与平面 所成角的正弦值为 ． 【解析】 Ⅰ 取 AB 中点 M，连接 CM，MD，证明 平面 CMD，即可说明 ，由底面为 正方形，可求得 ； Ⅱ 以 M 为坐标原点建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面 的法向量为 ， 根据线面所成角的正弦值的公式即可求解． 本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学 生空间想象能力和计算能力，属于中档题． 20.【答案】解： Ⅰ 由题意知，抛物线焦点为 ，准线方程为 ， 焦点到准线的距离为 2，即 ； Ⅱ 抛物线的方程为 ，即 ，所以 ， 设 ， ， ： ， ： ， 由于 ，所以 ，即 ， 设直线 l 方程为 ，与抛物线方程联立，得 ， ， ， ，所以 ， 即 l： ， 联立方程 得 ，即 ， M 点到直线 l 的距离 ， ， 所以 ． 当 时， 面积取得最小值 4． 【解析】 Ⅰ 根据抛物线的性质即可得到结果； Ⅱ 由直线垂直可构造出斜率关系，得到 ，通过直线与抛物线方程联立，根据根与 系数关系求得 m；联立两切线方程，可用 k 表示出 M，代入点到直线距离公式，从而得到关 于面积的函数关系式，求得所求最值． 本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表 示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值． 21.【答案】解： Ⅰ 由已知 的定义域为 且 ， 14 所以 ，即 ； 此时 ， 设 ，则 ， 则 时 为减函数． 又 ， 所以当 时 为增函数， 时 为减函数．所 的极大值点 ，符 合题意． Ⅱ 证明：由 Ⅰ 知 当 时 为增函数， 时 为减函数． 当 时， ， 为增函数， ， ； 所以存在 ，使得 ； 当 时， ， 为减函数； 当 时， ， 为增函数， 所以 当 时 为增函数， 时 为减函数， 时， ， 为增函数； 所以函数 存在唯一的极小值点 ． 又 ； 所以 ，且满足 ； 所以 ； 故函数 存在唯一的极小值点 ，且 ． 【解析】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零 点存在定理确定零点处理问题，从而可将证明问题转化为某一个区间内二次函数值域问题的 求解，考查了学生基本计算能力以及转化与划归思想，属于难题． Ⅰ 根 ，求得实数 a 的值，通过导数验证函数单调，可知 极值点 ，满足题意； Ⅱ 由 Ⅰ 函数 的极小点值位于 ，此时 的零点位于 ，且 为 的 极小点值点，代入 ， ，化简即可得 关于 的二次函数，求解二次函数在区间 上的值域即可证明结论． 22.【答案】解： Ⅰ 由题可知， 的直角坐标方程为： ， 设曲线 上任意一点 关于直线 对称点为 ， ， 15 又 ，即 ， 曲线 的极坐标方程为： ； Ⅱ 直线 的极坐标方程为： ，直线 的极坐标方程为： ． 设 ， ，解得 ， ，解得 ． ． ， ． 当 ，即 时， ， 取得最大值为： ． 【解析】 Ⅰ 将 化为直角坐标方程，根据对称关系用 上的点表示出 上点的坐标，代入 方程得到 的直角坐标方程，再化为极坐标方程； Ⅱ 利用 和 的极坐标方程与 ， 的极坐标方程，把 A，B 坐标用 表示，将所求面积表 示为与 有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值． 本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问 题．求解面积的关键是能够明确极坐标中 的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的 求解． 23.【答案】解： Ⅰ 时， 当 时， ，即 ，此时 ， 当 时， ，得 ， ， 当 时， ，无解， 综上， 的解集为 ． Ⅱ ， 即 的最小值为 ， 要使 的解集为 R， 恒成立，即 或 ， 得 或 ， 即实数 a 的取值范围是 ． 16 【解析】 Ⅰ 根据 x 的范围得到分段函数 的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式， 取并集得到所求解集； Ⅱ 由绝对值三角不等式得到 的最小值，则最小值大于 1，得到不等式，解不等式求得 结果． 本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型．