【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第一章集合与常用逻辑用语1-3学案

【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第一章集合与常用逻辑用语1-3学案

1.命题 p∧q，p∨q，綈 p 的真假判断 p q p∧q p∨q 綈 p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词和存在量词 量词名词 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 3.全称命题和存在性命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 ∀x∈M，p(x) 存在性命题 存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立 ∃x∈M，p(x) 4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈 p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈 p(x) 【知识拓展】 1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p∨q：p、q 中有一个为真，则 p∨q 为真，即有真为真； (2)p∧q：p、q 中有一个为假，则 p∧q 为假，即有假即假； (3)綈 p：与 p 的真假相反，即一真一假，真假相反. 2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题 p∧q 为假命题，则命题 p、q 都是假命题.( × ) (2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题.( √ ) (3)若命题 p、q 至少有一个是真命题，则 p∨q 是真命题.( √ ) (4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题 p，q 中至少有一个是真命题.( × ) (5)“长方形的对角线相等”是存在性命题.( × ) (6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( × ) 1.(2016·江苏泰州中学月考)命题“∃x>－1，x2＋x－2 016>0”的否定是______________. 答案 ∀x>－1，x2＋x－2 016≤0 解析 命题“∃x>－1，x2＋x－2 016>0”的否定是“∀x>－1，x2＋x－2 016≤0”. 2.已知命题 p，q，“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的______________条件. 答案 充分不必要 解析 綈 p 为真知 p 为假，可得 p∧q 为假；反之，若 p∧q 为假，则可能是 p 真 q 假，从而 綈 p 为假，故“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的充分不必要条件. 3.(教材改编)若不等式 x2－x>x－a 对∀x∈R 都成立，则 a 的取值范围是________. 答案 a>1 解析 方法一 不等式 x2－x>x－a 对∀x∈R 都成立，即不等式 x2－2x＋a>0 恒成立. 结合二次函数图象得其Δ<0，即 4－4a<0，所以 a>1. 方法二 不等式 x2－x>x－a 对∀x∈R 都成立，也可看作 a>－x2＋2x 对∀x∈R 都成立，所以 a>(－x2＋2x)max，而二次函数 f(x)＝－x2＋2x 的最大值为 0－22 4×－1 ＝1，所以 a>1. 4.已知实数 a 满足 11 且 2－a>0，即 10；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件， 则下列命题为真命题的是________.(填序号) ①p∧q ②(綈 p)∧(綈 q) ③(綈 p)∧q ④p∧(綈 q) (2)(2016· 盐 城 模 拟 ) 若 命 题 “p∨q” 是 真 命 题 ， “ 綈 p 为 真 命 题 ” ， 则 p________ ， q________.(填“真”或“假”) 答案 (1)④ (2)假 真 解析 (1)∵p 是真命题，q 是假命题， ∴p∧(綈 q)是真命题. (2)∵綈 p 为真命题，∴p 为假命题， 又∵p∨q 为真命题，∴q 为真命题. 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈 p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题 p、q 的真假； (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈 p”等形式命题的真假. 已知命题 p：若 x>y，则－x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q； ③p∧(綈 q)；④(綈 p)∨q 中，真命题是________. 答案 ②③ 解析 当 x>y 时，－x<－y， 故命题 p 为真命题，从而綈 p 为假命题. 当 x>y 时，x2>y2 不一定成立， 故命题 q 为假命题，从而綈 q 为真命题. 由真值表知：①p∧q 为假命题；②p∨q 为真命题；③p∧(綈 q)为真命题；④(綈 p)∨q 为假 命题. 题型二 含有一个量词的命题 命题点 1 全称命题、存在性命题的真假 例 2 不等式组 x＋y≥1， x－2y≤4 的解集记为 D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－ 2，p2：∃(x，y)∈D， x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－ 1. 其中的真命题是________. 答案 p1，p2 解析 画出不等式组 x＋y≥1， x－2y≤4 的可行域 D 如图阴影部分所示，两直线交于点 A(2，－1)， 设直线 l0 的方程为 x＋2y＝0.由图象可知，∀(x，y)∈D，x＋2y≥0，故 p1 为真命题，p2 为真 命题，p3，p4 为假命题. 命题点 2 含一个量词的命题的否定 例 3 (1)(2016·盐城模拟)命题“∃x∈R，x2－2x>0”的否定是____________. (2)(2015·浙江改编)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定形式是________. 答案 (1)∀x∈R，x2－2x≤0 (2)∃n∈N*，f(n)∉N*或 f(n)＞n. 解析 (1)将“∃”改为“∀”，对结论中的“>”进行否定. (2)由全称命题与存在性命题之间的互化关系可知. 思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中的每一个元素 x， 证明 p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个 x，使 p(x)成立. (2)对全称、存在性命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词. ②对原命题的结论进行否定. 下列命题的否定为假命题的是________.(填序号) ①∀x∈R，－x2＋x－1<0； ②∀x∈R，|x|>x； ③∀x，y∈Z，2x－5y≠12； ④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0. 答案 ① 解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题. 题型三 求含参数命题中参数的取值范围 例 4 (1)已知命题 p：关于 x 的方程 x2－ax＋4＝0 有实根；命题 q：关于 x 的函数 y＝2x2＋ax ＋4 在[3，＋∞)上是增函数，若 p∧q 是真命题，则实数 a 的取值范围是________________. (2)已知 f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(1 2)x－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得 f(x1)≥g(x2)， 则实数 m 的取值范围是__________. 答案 (1)[－12，－4]∪[4，＋∞) (2)[1 4 ，＋∞) 解析 (1)若命题 p 是真命题，则Δ＝a2－16≥0， 即 a≤－4 或 a≥4； 若命题 q 是真命题，则－a 4 ≤3，即 a≥－12. ∵p∧q 是真命题，∴p，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞). (2)当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1，2]时， g(x)min＝g(2)＝1 4 －m，由 f(x)min≥g(x)min， 得 0≥1 4 －m，所以 m≥1 4. 引申探究 在例 4(2)中，若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数 m 的取 值范围是________________. 答案 [1 2 ，＋∞) 解析 当 x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝1 2 －m， 由 f(x)min≥g(x)max，得 0≥1 2 －m， ∴m≥1 2. 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解 参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或 最值)解决. (1)已知命题 p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题 q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”. 若命题“p∧q”是真命题，则实数 a 的取值范围是____________. (2)已知函数 f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的 x1，x2∈[1，4]有 f(x1)>g(x2)恒成立， 则实数 m 的取值范围是________________. 答案 (1)[e，4] (2)(－∞，0) 解析 (1)由题意知 p 与 q 均为真命题，由 p 为真，可知 a≥e，由 q 为真，知 x2＋4x＋a＝0 有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知 e≤a≤4. (2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 当 x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则 f(x)min>g(x)max，即 2>2＋m，解得 m<0，故实数 m 的取值范围是(－∞，0). 1.常用逻辑用语 考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等 问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难 度中等以下．解决这类问题应熟练把握各类内在联系． 一、命题的真假判断 典例 1 (1)已知命题 p：∃x0∈R，x20＋1<2x0；命题 q：若 mx2－mx－1<0 恒成立，则－45”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件； ③命题 p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈 p：∀x∈R，x2＋x－1≥0； ④命题“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1 或 x＝2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2，则 x2－3x＋ 2≠0”. 解析 (1)由于 x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 即 x2＋1≥2x，所以 p 为假命题； 对于命题 q，当 m＝0 时，－1<0 恒成立， 所以命题 q 为假命题. 综上可知，綈 p 为真命题，p∧q 为假命题，p∨q 为假命题. (2)对于①，若 p∨q 为真命题，则 p，q 至少有一个为真，即可能有一个为假，所以 p∧q 不 一定为真命题，所以①错误；对于②，由 x2－4x－5>0 可得 x>5 或 x<－1，所以“x>5”是“x2 －4x－5>0”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，根据存在性命题的否定为全称命题， 可知③正确；对于④，命题“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1 或 x＝2”的逆否命题为“若 x≠1 且 x≠2，则 x2－3x＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为 2. 答案 (1)③ (2)2 二、求参数的取值范围 典例 2 (1)已知 p：x≥k，q： 3 x＋1<1，如果 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 k 的取值范围 是__________. (2)已知函数 f(x)＝x＋4 x ，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈[1 2 ，3]，∃x2∈[2，3]使得 f(x1)≥g(x2)，则实 数 a 的取值范围是__________. 解析 (1)由 3 x＋1 <1，得 3 x＋1 －1＝2－x x＋1 <0， 即(x－2)(x＋1)>0，解得 x<－1 或 x>2， 由 p 是 q 的充分不必要条件，知 k>2. (2)∵x∈[1 2 ，3]，∴f(x)≥2 x·4 x ＝4，当且仅当 x＝2 时，f(x)min＝4，当 x∈[2，3]时，g(x)min ＝22＋a＝4＋a，依题意 f(x)min≥g(x)min，∴a≤0. 答案 (1)(2，＋∞) (2)(－∞，0] 三、利用逻辑推理解决实际问题 典例 3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. (2)对于中国足球队参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名. 竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________ 名. 解析 (1)由题意可推断：甲没去过 B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城 市”，说明甲去过 A，C 城市，而乙“没去过 C 城市”，说明乙去过 A 城市，由此可知，乙 去过的城市为 A. (2)由题意可知：甲、乙、丙均为“p 且 q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即 只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一 1.命题 p：若 sin x>sin y，则 x>y；命题 q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是________.(填序 号) ①p∨q ②p∧q ③q ④綈 p 答案 ② 解析 命题 p 假，q 真，故命题 p∧q 为假命题. 2.已知命题“∃x∈R，使 2x2＋(a－1)x＋1 2 ≤0”是假命题，则实数 a 的取值范围是__________. 答案 (－1，3) 解析 依题意可知“∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋1 2>0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4×2×1 2<0， 即(a＋1)(a－3)<0，解得－10； ③p 是真命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0； ④p 是真命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0. 答案 ② 解析 ∵3x>0，∴3x＋1>1，则 log2(3x＋1)>0，∴p 是假命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0. 4.已知 p：∀x∈R，x2－x＋1>0，q：∃x0∈(0，＋∞)，sin x0>1，则下列命题为真命题的是 ________.(填序号) ①p∨(綈 q) ②(綈 p)∨q ③p∧q ④(綈 p)∧(綈 q) 答案 ① 解析 因为 x2－x＋1＝(x－1 2)2＋3 4>0 恒成立，所以命题 p 是真命题；∀x∈R，sin x≤1，所以 命题 q 是假命题，所以 p∨(綈 q)是真命题. 5.(2016·泰州期末)若命题“∃x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数 a 的取值范围是 ________. 答案 (2，＋∞) 解析 “∃x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则其否定“∀x∈R，ax2＋4x＋a>0”为真命 题，当 a＝0，4x>0 不恒成立，故不成立；当 a≠0 时， a>0， Δ＝16－4a2<0， 解得 a>2，所以实数 a 的取值范围是(2，＋∞). 6.已知命题 p1：∀x∈(0，＋∞)，有 3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝3 2 ，则在命题 q1：p1∨p2； q2：p1∧p2；q3：(綈 p1)∨p2 和 q4：p1∧(綈 p2)中，真命题是__________. 答案 q1，q4 解析 因为 y＝(3 2)x 在 R 上是增函数，即 y＝(3 2)x>1 在(0，＋∞)上恒成立，所以 p1 是真命题； sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋π 4)≤ 2，所以命题 p2 是假命题，綈 p2 是真命题，所以命题 q1：p1∨p2， q4：p1∧(綈 p2)是真命题. 7.(2107·江苏淮安中学月考)已知命题：“∃x∈[1，2]，使 x2＋2x＋a≥0”是真命题，则 a 的 取值范围是________. 答案 [－8，＋∞) 解析 由已知得，∃x∈[1，2]，使a≥－x2－2x成立；若记f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)，则a≥f(x)min. 而结合二次函数 f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)的图象得 f(x)的最小值为 f(2)＝－22－2×2＝－8，所 以 a≥－8. 8.设 p：方程 x2＋2mx＋1＝0 有两个不相等的正根；q：方程 x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0 无实 根.则使 p∨q 为真，p∧q 为假的实数 m 的取值范围是__________. 答案 (－∞，－2]∪[－1，3) 解析 p：x2＋2mx＋1＝0 有两个不相等的正根， Δ＝4m2－4>0， －2m>0， 即 m＜－1. q：x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0 无实根， Δ＝[2(m－2)]2－4(－3m＋10)＝4(m2－m－6)＜0， 即－2＜m＜3. 分两种情况：①p 真 q 假，m≤－2；②p 假 q 真，－1≤m＜3. 综上可知，使 p∨q 为真，p∧q 为假的实数 m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，3). 9.下列命题中的假命题是________.(填序号) ①∀x∈R，2x－1>0 ②∀x∈N*，(x－1)2>0 ③∃x0∈R，lg x0<1 ④∃x0∈R，tan x0＋π 4 ＝5 答案 ② 解析 ①中，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得 2x－1>0；②中，∵x∈N*，∴当 x＝1 时，(x－1)2＝0 与(x－1)2>0 矛盾；③中，当 x0＝ 1 10 时，lg 1 10 ＝－1<1；④中，当 x∈R 时，tan x∈R，∴∃x0∈R，tan x0＋π 4 ＝5. 10.(2016·泰州模拟)已知函数 f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假 命题，则 f(a＋b)＝________. 答案 0 解析 若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是 真命题，即 f(－x)＝－f(x)，则函数 f(x)是奇函数，则 a＋b＝0，即 f(a＋b)＝0. 11.下列结论： ①若命题 p：∃x0∈R，tan x0＝1；命题 q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧(綈 q)”是假命 题； ②已知直线 l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则 l1⊥l2 的充要条件是a b ＝－3； ③命题“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1”的逆否命题是：“若 x≠1，则 x2－3x＋2≠0”. 其中正确结论的序号为________. 答案 ①③ 解析 ①中命题 p 为真命题，命题 q 为真命题， 所以 p∧(綈 q)为假命题，故①正确； ②当 b＝a＝0 时，有 l1⊥l2，故②不正确； ③正确，所以正确结论的序号为①③. 12.已知命题 p：x2＋2x－3>0；命题 q： 1 3－x >1，若“(綈 q)∧p”为真，则 x 的取值范围是 ________________. 答案 (－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞) 解析 因为“(綈 q)∧p”为真，即 q 假 p 真，而 q 为真命题时，x－2 x－3 <0，即 20，解得 x>1 或 x<－3，由 x>1 或 x<－3， x≥3 或 x≤2， 得 x≥3 或 1＜x≤2 或 x<－3， 所以 x 的取值范围是{x|x≥3 或 1＜x≤2 或 x＜－3}. 13.(2016·连云港模拟)已知命题 p：∃x0∈R，(m＋1)·(x20＋1)≤0，命题 q：∀x∈R，x2＋mx＋ 1>0 恒成立.若 p∧q 为假命题，则实数 m 的取值范围为____________. 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞) 解析 由命题 p：∃x0∈R，(m＋1)(x20＋1)≤0 可得 m≤－1，由命题 q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0 恒成立，可得－2－1. 14.已知命题 p：“∀x∈R，∃m∈R，4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈 p 是假命题，则实数 m 的 取值范围是________. 答案 (－∞，1] 解析 若綈 p 是假命题，则 p 是真命题， 即关于 x 的方程 4x－2·2x＋m＝0 有实数解， 由于 m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1， ∴m≤1. *15.已知函数 f(x)＝x2－x＋1 x－1 (x≥2)，g(x)＝ax(a>1，x≥2). (1)若∃x0∈[2，＋∞)，使 f(x0)＝m 成立，则实数 m 的取值范围为________________； (2) 若 ∀ x1∈[2 ， ＋ ∞) ， ∃ x2∈[2 ， ＋ ∞) 使 得 f(x1) ＝ g(x2) ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ________________. 答案 (1)[3，＋∞) (2)(1， 3] 解析 (1)因为 f(x)＝x2－x＋1 x－1 ＝x＋ 1 x－1 ＝x－1＋ 1 x－1 ＋1≥2＋1＝3，当且仅当 x＝2 时等号成 立，所以若∃x0∈[2，＋∞)，使 f(x0)＝m 成立，则实数 m 的取值范围为[3，＋∞). (2)因为当 x≥2 时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)使得 f(x1)＝g(x2)， 则 a2≤3， a＞1， 解得 a∈(1， 3].