【数学】江苏省南通市如东高级中学2019-2020学年高一下学期期中学情检测试题

【数学】江苏省南通市如东高级中学2019-2020学年高一下学期期中学情检测试题

江苏省南通市如东高级中学2019-2020学年 高一下学期期中学情检测试题 一、单选题：本大题共10小题.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（ ）‎ A．100 B．150 C．200 D．250‎ ‎3．在中，若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，下面为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的为一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样品中三等品的件数为（ ）‎ A．30 B．40 C．50 D．60‎ ‎5．已知直线与直线垂直，则实数的值是（ ）‎ A．0 B． C．0或 D．或 ‎6．给出下列四个说法，其中正确的是（ ）‎ A．线段在平面内，则直线不在平面内； B．三条平行直线共面；‎ C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点； D．空间三点确定一个平面.‎ ‎7．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）‎ A．1 B． C．或1 D．2或1‎ ‎8．两圆与的公切线条数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，且，则的欧拉线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共2小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.‎ ‎11．已知，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）‎ A． B．‎ C．若，则 D．若，则是等腰三角形 ‎12．正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说正确的是（ ）‎ A．平面 B．平面 C．异面直线与所成角为90° D．平面截正方体所得截面为等腰梯形 三、填空题：本大题共4小题.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.‎ ‎13．一组数据：6，8，9，13的方差为______.‎ ‎14．已知两点，，以线段为直径的圆的方程为______.‎ ‎15．如图，从200m高的电视塔塔顶测得地面上某两点，的俯角分别为30°和45°，，则，两点间的距离为______m.（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）‎ ‎16．平面四边形的对角线，的交点位于四边形的内部，已知，，，，当变化时，则的最大值为______.‎ 四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．中，角，，所对的边分别为，，，若，，，且为锐角.‎ 求：（1）的值；‎ ‎（2）的面积.‎ ‎18．如图在长方体中，，分别为，的中点，‎ ‎，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19．已知直线，圆.‎ ‎（1）求证：直线过定点，并求出点的坐标；‎ ‎（2）若直线与圆交于，两点，当弦长最短时，求此时直线的方程.‎ ‎20．如图，四棱锥中，点，分别是测棱，上的点，且底面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若底面，，60°，求证：.‎ ‎21．根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外），在公海上的安全距离为20 mile（即距离不得小于20 mile），否则违反了国际海洋安全规定.如图，在某公海区域有两条相交成60°的直航线，，交点是，现有两国的军舰甲，乙分别在，上的，处，起初，，后来军舰甲沿的方向，乙军舰沿的方向，同时以的速度航行.‎ ‎（1）起初两军舰的距离为多少？‎ ‎（2）试判断这两军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由.‎ ‎22．已知圆和点.‎ ‎（1）过点向圆引切线，求切线的方程；‎ ‎（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆的方程；‎ ‎（3）设为（2）中圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.‎ 参考答案 一、选择题：本大题共10小题.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．C 7．D 8．C 9．D 10．D 二、多选题：多项选择题：本题共2小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.‎ ‎11．AC 12．ACD 三、填空题：本大题共4小题.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．解：（1）在中，由正弦定理有：‎ ‎，解得；‎ ‎（2）因为，且为锐角，所以，‎ 在中，由余弦定理有：，解得；‎ 所以的面积为.‎ ‎18．解：（1）连接在中，由，分别为，的中点，‎ 可得，在长方体中，，，‎ 因此四边形为平行四边形，所以所以，‎ 平面，平面，所以平面；‎ ‎（2）在长方体，‎ 连平面，所以在平面中的射影为，‎ 所以为直线与平面所成角 由题意知：‎ 在中，，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19．解：（1）直线可化为：‎ ‎，可得 所以直线过定点.‎ ‎（2）由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，‎ 因为直线的斜率为，所以直线的斜率为1，‎ 此时直线的方程为.‎ ‎20．解（1）因为平面，平面，平面平面，‎ 由线面平行的性质定理，可得.‎ ‎（2）在三角形中，因为，且，‎ 由正弦定理可得，解得.‎ 得，即；‎ 又平面，平面，故可得，‎ 又，平面，又因为平面，则；‎ 又因为，得，即证.‎ ‎21．（1）连结，在中，‎ 由余弦定理得 所以：起初两军舰的距离为.‎ ‎（2）设小时后，甲、乙两军舰分别运动到、，连结 当时，‎ 当时，同理可求得 所以经过小时后，甲、已两军舰距离（）‎ 因为 因为，所以当时，甲、乙两军舰距离最小为.‎ 又，所以甲、乙这两艘军舰不会违法国际海洋安全规定.‎ ‎22．解：（1）若过点的直线斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；‎ 当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，‎ ‎∴圆心到切线的距离为，解得，‎ ‎∴直线方程为 综上切线的方程为或.‎ ‎（2）点到直线的距离为，‎ ‎∵圆被直线截得的弦长为8，∴，‎ ‎∴圆的方程为.‎ ‎（3）假设存在定点，使得为定值，设，，‎ ‎∵点在圆上，∴，则 ‎∵为圆的切线，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ 即 整理得 若使对任意，恒成立，则，‎ ‎∴，代入得，‎ 化简整理得，解得或，‎ ‎∴或 ‎∴存在定点，此时为定值或定点，‎ 此时为定值.‎