2019-2020学年江西省赣州市十五县(市)高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省赣州市十五县(市)高一上学期期中联考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省赣州市十五县(市)高一上学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据交集运算法则，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2．函数的定义域为      ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由偶次方根的被开方数大于等于0，对数式的真数大于0联立得到不等式组，求解．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎，解得．‎ 函数的定义域为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域及其求法，属于基础题．‎ ‎3．下列各组函数中，表示为同一个函数的是（ ）‎ A．与 B．与 C． D．与（且）‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.‎ ‎【详解】‎ 对于，定义域为， 定义域为R，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，A错；‎ 对于，函数，定义域为，函数的定义域为R， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，B错；‎ 对于，函数定义域为，函数定义域为，定义域不同不是同一函数；‎ 对于，，（且），两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以两个函数表示同一个函数.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同一函数的概念，需保证定义域、对应法则一致从而值域也一致，考查概念辨析，属于基础题.‎ ‎4．已知函数，那么的值是（ ）‎ A．0 B．1 C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据分段函数概念，代入第一段，即可求解 ‎【详解】‎ 由题意，，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数概念，属于基础题.‎ ‎5．已知全集，集合，‎ ‎，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析Venn图，可知阴影部分为，再根据集合的运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，分析Venn图，可知阴影部分为，‎ ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查集合中Venn图法，考查数形结合思想，属于基础题 ‎6．设是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）‎ A．-2 B．1 C．-1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用函数的奇函数，将转化为进行求值.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是奇函数，所以，‎ 时，，‎ ‎.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇函数定义，属于基础题.‎ ‎7．为了得到函数的图像，可以把函数的图像（ ）‎ A．向下平移一个单位 B．向上平移一个单位 C．向左平移一个单位 D．向右平移一个单位 ‎【答案】A ‎【解析】根据对数运算法则，化简，根据函数图象的平移法则，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知，根据上加下减，‎ 可以把函数的图象向下平移一个单位，得到的图象.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的平移，属于基础题.‎ ‎8．已知函数的定义域是，值域为，则值域也为的函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知的定义域和值域，然后可根据各选项所给函数的特点分别分析函数的值域；这里的选项所给的均是常见的平移、伸缩、对称、翻折变换，可从这几个方面入手.‎ ‎【详解】‎ 的定义域为，值域为，即；‎ ‎∴A．，即的值域为，∴该选项错误；‎ B．，即的值域为，∴该选项正确；‎ C．，即的值域为，∴该选项错误；‎ D．，即的值域为，∴该选项错误．故选B．‎ ‎【点睛】‎ 函数图象常见的四种变换：平移、伸缩、对称、翻折.‎ 平移：；‎ 伸缩：或者；‎ 对称：（关于轴对称）或者（关于轴对称）；‎ 翻折：（将轴下方图象翻折到上方）或者（将轴右边图象翻折到左边）.‎ ‎9．已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据幂函数的定义，求解幂函数解析式，再代入求值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，幂函数的图像过点，‎ 设，代入，则，则，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数解析式的求法，考查对数运算法则，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎10．设为偶函数，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据偶函数定义，，，比较的大小，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，为偶函数，则，，‎ 且在上是增函数，，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 利用函数单调性和奇偶性结合，比较函数值的大小，考查转化与化归思想，本题属于基础题.‎ ‎11．集合，（且）已知有两个子集，那么实数m的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，已知有两个子集，则中只有1个元素，即与交于一点，转化为方程仅有一根，即，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，已知有两个子集，则中只有1个元素，‎ 即与交于一点，令，化简得到 方程有且只有一个根，，‎ 解得，即 故选：B ‎【点睛】‎ 由集合交集中的元素个数转化成求解函数交于一点问题，再转化成方程有解问题，本题考查转化与化归思想解题，考查逻辑推理能力，属于中等题型.‎ ‎12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数,例如: ,，已知函数,则函数的值域为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求的值域，再根据高斯函数的定义求的值域.‎ ‎【详解】‎ 的定义域为，‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 所以的值域为，所以的值域为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等.（2）利用导数讨论函数的性质，从而得到函数的值域.‎ 二、填空题 ‎13．集合的真子集个数为____________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由题意，写出集合M，通过公式计算真子集个数.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知集合中有3个元素，则真子集个数为个.‎ 故答案为：7‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合中真子集个数的计算方法，属于基础题.‎ ‎14．16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 .‎ 现在已知， ，则__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算.‎ ‎【详解】‎ ‎∵， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】‎ 底数不同的两个对数式进行运算时，有时可以利用换底公式：将其转化为同底数的对数式进行运算.‎ ‎15．若定义域为的函数是偶函数，则的递减区间是____________.‎ ‎【答案】,（或者，）‎ ‎【解析】定义域为的函数是偶函数，得出，，可得，即可求出 的递减区间.‎ ‎【详解】‎ 定义域为的函数是偶函数，‎ ‎，‎ 的递减区间是（或者，）‎ 故答案为：（或者，）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查偶函数的定义，偶函数定义域关于原点对称，属于中等题型.‎ ‎16．已知函数，若，则 ‎__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】观察函数解析式，令，根据奇函数定义，可判断；若，则可求，再求，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，令，则 即为奇函数，‎ 若，则，‎ 则 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查构造奇函数，利用奇函数性质求值，考查计算能力，属于中等题型.‎ 三、解答题 ‎17．不用计算器求下列各式的值.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据指数运算法则，计算可得.‎ ‎（2）根据对数运算法则，计算可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式 ‎（2）原式 ‎【点睛】‎ 本题考查（1）指数运算法则（2）对数运算法则，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知函数f（x）的定义域为A，函数g（x）（﹣1≤x≤0）的值域为B．‎ ‎（1）求A∩B；‎ ‎（2）若C＝{x|a≤x≤2a﹣1}且C⊆B，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）A∩B＝{2}（2）‎ ‎【解析】（1）根据根式有意义的条件及指数函数的性质可得集合A，B，再进行集合的运算即可.‎ ‎（2）先根据集合C，结合C⊆B，得出区间端点的不等关系，解不等式得到实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：函数f（x）有意义，则，‎ 即，解得，‎ ‎∴A＝{x|x≥2}，‎ 又g（x）单调递减，∴B＝{y|1≤y≤2}，‎ ‎∴A∩B＝{2}‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 当即时：满足题意；‎ 当即时：要使则解得 综上，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用集合间的关系求参数的取值范围的方法，借助于区间端点间的大小关系列出不等式组是解题的关键，属于基础题．‎ ‎19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.‎ ‎（1）平面直角坐标系中，画出函数的图像.‎ ‎（2）据图像，写出的单调增区间，同时写出函数的值域.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）单调增区间为，，，值域为 ‎【解析】（1）根据分段函数特点，分段画出函数图象，再由奇函数画出对称区间上的图像.‎ ‎（2）根据图象直接写出函数单调区间和值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）图见：‎ ‎（2）单调增区间为，，（开区间也给满分）值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查（1）分段函数的图像画法（2）由图象直接写出单调区间和值域，考查数形结合思想，属于基础题.‎ ‎20．经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系：第x（）天的销售价格（单位：元/件）为，第x天的销售量（单位：件）为（为常数），且在第20天该商品的销售收入为600元（销售收入=销售价格×销售量）.‎ ‎（1）求a的值，并求第15天该商品的销售收入；‎ ‎（2）求在这30天中，该商品日销售收入y的最大值.‎ ‎【答案】（1），第15天该商品的销售收入为875元（2）最大值为1225元.‎ ‎【解析】（1）根据题意，列出第20天的销售收入，可求值，再求第15天的销售收入；‎ ‎（2）由题意，销售价格为分段函数，则根据分段，分别求销售额的函数，再分别计算两段内的最大值，比较即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，由，‎ 解得.‎ 从而可得（元），‎ 即第15天该商品的销售收入为875元.‎ ‎（2）由题意可知 ‎，‎ ‎=‎ 当时，.‎ 故当时y取最大值，.‎ 当时，,.‎ 故当时，该商品日销售收入最大，最大值为1225元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查（1）分段函数解决实际问题（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.‎ ‎21．若，函数（其中）‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）求函数的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据题意，解结合A中对数不等式，即可求解.‎ ‎（2）根据换元法，令化成关于的函数，讨论对称轴分段求最小值 ‎【详解】‎ ‎（1）在A中由得，‎ ‎∴，‎ 即函数的定义域为.‎ ‎（2）‎ 令，则，‎ 若即，则，‎ 若即，则，‎ 若即，则，‎ 综上所述，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查（1）解对数不等式（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，考查计算能力，综合性较强，有一定难度.‎ ‎22．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称函数的一个上界.已知函数，.‎ ‎（1）若函数为奇函数，求实数的值；‎ ‎（2）在第（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；‎ ‎（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)；(3).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由函数为奇函数可得，即，整理得，可得，解得，经验证不合题意．（2）根据单调性的定义可证明函数在区间上为增函数，从而可得在区间上的值域为，故，从而可得所有上界构成的集合为．（3）将问题转化为在上恒成立，整理得在上恒成立，通过判断函数的单调性求得即可得到结果．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵函数是奇函数，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 当时，，不合题意，舍去．‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 设，‎ 令，且，‎ ‎∵ ；‎ ‎∴在上是减函数，‎ ‎∴在上是单调递增函数，‎ ‎∴在区间上是单调递增，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴在区间上的值域为，‎ ‎∴，‎ 故函数在区间上的所有上界构成的集合为.‎ ‎（3）由题意知，在上恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 因此在上恒成立，‎ ‎∴‎ 设，，，由知，‎ 设，则 ‎，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴在上的最大值为，在上的最小值为，‎ ‎∴．‎ ‎∴的取值范围.‎ 点睛：‎ ‎（1）本题属于新概念问题，解题的关键是要紧紧围绕所给出的新定义，然后将所给问题转化为函数的最值（或值域）问题处理．‎ ‎（2）求函数的最值（或值域）时，利用单调性是常用的方法之一，为此需要先根据定义判断出函数的单调性，再结合所给的定义域求出最值（或值域）．‎