【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第二章第八讲 函数模型及其应用
第八讲 函数模型及其应用
1.[改编题]下列说法正确的是( )
A.函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大
B.不存在x0,使ax0<x0n
1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度
D.“指数爆炸”是对指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)的增长速度越来越快的形象比喻
2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
A.y=2x - 2 B.y=12(x2 - 1)C.y=log2x D.y=log12x
3.下列函数中,随着x的增大,y也增大,且增长速度最快的是( )
A.y=0.001ex B.y=1 000ln xC.y=x1 000 D.y=1 000·2x
4.某商场销售A型商品,已知该商品的进价是每件3元,且销售单价与日均销售量的关系如下表所示:
销售单价/元
4
5
6
7
8
9
10
日均销售量/件
400
360
320
280
240
200
160
请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大,则此商品的销售单价应为( )
A.4 B.5.5 C.8.5 D.10
5.[2017北京,8,5分][理]根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( )
(参考数据:lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
考法1利用函数图象刻画实际问题
1[2017全国卷Ⅲ,3,5分][理]某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了如图2 - 8 - 1所示的折线图.
图2 - 8 - 1
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
根据折线图可知,2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少,所以A错误.
A
方法总结
对于选择题,当根据题意不易建立函数模型时,可以根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,对选项进行一一验证,从而排除错误选项,得出正确选项.
1.[2015北京,8,5分][理]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.图2 - 8 - 2描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
图2 - 8 - 2
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
考法2已知函数模型求解实际问题
2候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为:v=a+blog3Q10(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候耗氧量为30个单位,而耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a,b的值;
(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?
(1)根据已知列出方程组解方程组求a,b的值
(2)由(1)列出不等式解不等式求Q的最小值
(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0m/s,此时耗氧量为30个单位,则a+blog33010=0,即a+b=0;
当耗氧量为90个单位时,速度为1m/s,则a+blog39010=1,整理得a+2b=1.
解方程组a+b=0,a+2b=1,得a=-1,b=1.
(2)由(1)知,v=a+blog3Q10= - 1+log3Q10.
所以要使飞行速度不低于2m/s,则v≥2,
所以 - 1+log3Q10≥2,即log3Q10≥3,解得Q10≥27,即Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要270个单位.
2.[2015四川,13,5分][ 理]某食品的保鲜时间y(单位:时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 小时.
考法3构造函数模型求解实际问题
命题角度1 构造一次函数、二次函数、分段函数模型
3某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为1206t吨(0≤t≤24).
(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?
(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,则在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.
(1)根据题意,先设t小时后,蓄水池中的存水量为y吨,写出蓄水池中的存水量的函数表达式,再利用换元法求此函数的最小值即可;(2)根据题意列不等式求解.
(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨,
则y=400+60t - 1206t,
令6t=x,则x2=6t,即t=x26,所以y=400+10x2 - 120x=10(x - 6)2+40,(构建二次函数)
所以当x=6,即t=6时,y取得最小值,ymin=40,
即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,最少存水量是40吨.
(2)由(1)及题意得400+10x2 - 120x<80,即x2 - 12x+32<0,
解得4200,即1.12x>21.3⇒x>lg21.3lg1.12=lg2-lg1.3lg1.12≈0.30-0.110.05=3.8,所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.
B
5.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:时)之间近似满足如图2 - 8 - 5所示的曲线.
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f (t);
(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.
1.C 当x=2时,函数y=2x的函数值与y=x2的函数值相等,排除A;当a=x0=12,n=14时,不等式成立,排除B;“指数爆炸”是对指数型函数y=a·bx+c(a>0,b>1)的增长速度越来越快的形象比喻,排除D.选C.
2.B 由题中表格可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,分析选项可知B符合,故选B.
3.A 在对数函数、幂函数、指数函数中,指数函数的增长速度最快,故排除B,C;指数函数中,当底数大于1时,底数越大,函数的增长速度就越快,故选A.
4.C 由题意可设销售单价为x元,利润为y元,则y=(x - 3)[400 - 40(x - 4)]=40( - x2+17x - 42),故当x=8.5时,y取得最大值,故选C.
5.D 因为lg 3361=361×lg 3≈361×0.48≈173,所以M≈10173,则MN≈101731080=1093,故选D.
1.D 对于A选项,从题图中可以看出乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米,所以A错误.对于B选项,由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车消耗汽油最少.对于C选项,甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,故行驶1小时的路程为80千米,消耗8 L汽油,所以C错误.对于D选项,最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以D正确.
2.24 由题意得eb=192,e22k+b=48,即eb=192,e11k=12,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y=e33k+b=(e11k)3·eb=(12)3×192=24.
3.(1)由图象可知,线段OA所在直线的方程是v=3t(0≤t≤10).
当t=4时,v=12,所以s=12×4×12=24.
(2)当0≤t≤10时,s=12×t×3t=32t2;
当100,得2≤x<6.所以y=BC+2x=18x+3x2≥218x·3x2=63,当且仅当18x=3x2,即x=23时取等号.故所求防洪堤横断面的腰长为23米.
5.(1)由题图,设y=kt,0≤t≤1,(12)t - a,t>1.
当t=1时,由y=4,得k=4,
由(12)1 - a=4,得a=3.所以y=4t,0≤t≤1,(12)t - 3,t>1.
(2)由y≥0.25得0≤t≤1,4t≥0.25或t>1,(12)t - 3≥0.25,解得116≤t≤5.
故服药一次后治疗疾病有效的时间是5 - 116=7916(时).
