【数学】2018届一轮复习北师大版第一节极坐标与参数方程学案

【数学】2018届一轮复习北师大版第一节极坐标与参数方程学案

专题一 选 讲 第一节：极坐标与参数方程 ‎ ‎ 一．高考命题方向解读：‎ ‎　　1.各类点的坐标；‎ ‎　　2.各类直线与曲线线方程（一般直线，特殊直线如切线，弦，曲线类方程如圆，椭圆，双曲线，抛物线等），‎ ‎　　3.距离类（如切线长度，弦长，特殊距离乘积如|PA|·|PB|等）；‎ ‎　　4图形计算类（如面积周长夹角）；‎ ‎　　5范围最值类。‎ 二．主干知识：‎ ‎（一）、极坐标知识点 ‎1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。‎ ‎2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴. ‎①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.‎ ‎3．点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为. ‎ 极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.‎ ‎4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。‎ 如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。‎ 5． 极坐标与直角坐标的互化：‎ ‎(1)互化的前提条件 ‎①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；‎ ‎②极轴与x轴的正半轴重合 ‎③两种坐标系中取相同的长度单位.‎ ‎(2)互化公式 ‎6.曲线的极坐标方程：‎ ‎1．直线的极坐标方程：若直线过点，且极轴到此直线的角为，则它的方程为： ‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎（1）直线过极点 （2）直线过点且垂直于极轴 （3）直线过且平行于极轴 方程：（1） 或写成及 （2） （3）ρsinθ=b ‎2．圆的极坐标方程： 若圆心为，半径为r的圆方程为：‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎（1）当圆心位于极点，r为半径 （2）当圆心位于(a>0),a为半径 （3）当圆心位于，a为半径 方程：(1) (2) (3)‎ ‎7.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.‎ ‎（二）、参数方程知识点 ‎1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C上的点满足，该方程叫曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。‎ ‎（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。）‎ 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。‎ 2． 曲线的参数方程 ‎（1）圆的参数方程可表示为.‎ ‎（2）椭圆的参数方程可表示为.‎ ‎（3）抛物线的参数方程可表示为.‎ ‎（4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.‎ ‎3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.‎ 规律方法指导：　　‎ ‎1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等. 2、把曲线的普通方程 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。‎ 三．专项研究 1、 高考原题展示：‎ ‎1.2014全国卷I:‎ 已知曲线，直线：（为参数）.‎ ‎（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．‎ ‎2、2014全国卷II:‎ 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，‎ ‎.‎ ‎（1）求C的参数方程；‎ ‎（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.‎ ‎3．2015全国卷I: ‎ 在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. ‎ ‎4．2015全国卷II:‎ 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．‎ ‎（Ⅰ）．求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）．若与相交于点，与相交于点，求的最大值．‎ ‎5、2016全国卷I: ‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数，a＞0）．‎ 在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：‎ ‎．‎ ‎（I）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求．‎ ‎6、2016全国卷II:‎ 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25. ‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程是错误！未找到引用 。（t为参数），l与C交于A，B两点，∣AB∣=，求l的斜率。‎ 1、 题型与考点（1）‎ ‎ （2）参数方程与普通方程的互化 ‎ ‎ (3) ‎ ‎3、解题方法及步骤 ‎（1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数，先确定一个关系（或），再代入普通方程，求得另一关系（或）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）‎ 例1、方程表示的曲线是（ ）‎ A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 ‎（2）、极坐标与直角坐标的互化 ‎ 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为，它的极坐标为，则 ；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角.‎ 例2、极坐标方程表示的曲线是（ ）‎ ‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 ‎（3）、参数方程与直角坐标方程互化 例题3：已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．‎ ‎ （1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎ （2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．‎ ‎（4）利用参数方程求值域 例题4、在曲线：上求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。‎ ‎（5）直线参数方程中的参数的几何意义 例5、已知直线经过点,倾斜角，‎ ‎①写出直线的参数方程;‎ ‎②设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（6）、参数方程与极坐标的简单应用 参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.‎ 例6、已知的三个顶点的极坐标分别为,判断三角形ABC的形状，并计算其面积. ‎ ‎ ‎ 四，巩固练习：[ :学, , ]‎ ‎1．【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.若直线与圆相交于不同的两点.‎ ‎（1）写出圆的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；‎ ‎（2）若弦长，求直线的斜率.‎ ‎2．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为(，为参数)，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值.‎ ‎3．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. ‎ ‎4．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ， 它与曲线C：交于A、B两点。‎ ‎（1）求|AB|的长 ‎（2）在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离。‎ ‎5．选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系,已知曲线,已知过点的直线的参数方程为:直线与曲线分别交于 ‎(1)写出曲线和直线的普通方程;‎ ‎(2)若成等比数列,求的值.‎