湖北省光谷第二高级中学高三物理 专题5 万有引力定律与航天（通用）

湖北省光谷第二高级中学高三物理 专题5 万有引力定律与航天（通用）

专题5 万有引力定律与航天 ‎ ‎【高考导航】‎ 命题分析：‎ 本专题在高考考纲中主要考点有万有引力定律及其应用、环绕速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度、经典时空观和相对论时空观。天体运动问题是万有引力定律在匀速圆周运动模型中的典型应用，也是历年高考的必考点。一把以选择题形式出现，题型以三种题型出现：多个卫星绕同一中心天体运动的比较，不同中心天体的卫星的比较，估算天体的质量和密度。由于运动形式单一，故难度均中等偏下。万有引力定律在2020年高考中考查形式多样，比如2020年全国卷第19题考查嫦娥一号变轨前后的动能与重力势能的关系，2020年全国新课程卷第19题考查卫星电话信号传送时间问题，2020年山东卷第17题考查不同高度卫星的物理量的关系等。‎ 复习指导：‎ ‎1、掌握开普勒三大定律，理解三种宇宙速度。‎ ‎2、熟练运用匀速圆周运动的五大物理量之间的关系。‎ ‎3、掌握估算天体质量和密度的基本方法。‎ ‎4、理解卫星的轨道中各个物理量的定量与定性关系。‎ ‎【典例调研】‎ 重点1 对三个“宇宙速度”的理解 ‎【调研1】人造地球卫星可以绕地球做匀速圆周运动，也可以沿椭圆轨道绕地球运动。对于沿椭圆轨道绕地球运动的卫星，以下说法正确的是 A、近地点速度一定等于7.9km/s B、近地点速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/s C、近地点速度可以小于7.9km/s D、远地点速度一定小于在同高度圆轨道上的运行速度 ‎【分析】第一宇宙速度是卫星在星球表面附近匀做速圆周运动时必须具有的线速度，而对于绕地球沿椭圆轨道运动的卫星，在近地点时的线速度与第一宇宙速度无关，可以大于第一宇宙速度，也可以小于第一宇宙速度（此时的“近地点”离地面的距离较大，不能看成是地面附近），故A、B项错误，C项正确。远地点速度一定小于在同高度圆轨道上的运行速度，否则不可能被“拉向”地面，D项正确。‎ ‎【答案】CD ‎【调研2】物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1与的关系是v2＝v1。已知某星球半径是地球半径R的三分之一，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的六分之一，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为 A、 B、 C、 D、 ‎【分析】根据第一宇宙速度的定义以及星球表面物体所受重力和万有引力相等，即mg＝m，v1＝，故该兴趣的第一宇宙速度v1′＝＝，其第二宇宙速度为v2′＝v1′＝ ，选项C正确。‎ ‎【答案】C ‎【通关必备】‎ ‎（1）第一宇宙速度 第一宇宙速度是卫星在星球表面附近做匀速圆周运动时必须具有的线速度，是所有做圆周运动的卫星中最大的线速度。理解第一宇宙速度，要抓住两个要点，一是“在星球表面附近”，卫星的轨迹半径r与星球的半径R相等；二是“匀速圆周运动”，卫星所受的向心力由万有引力提供，即G＝m，故v1＝，又由于星球表面万有引力约等于重力，即G＝mg，故v1＝。地球的第一宇宙速度约为v1＝7.9km/s，月球的第一宇宙速度约为1.8km/s。第一宇宙速度也可以通过匀速圆周运动的最小速度来快速求取，若已知重力加速度g，则卫星在星球表面附近做匀速圆周运动的向心加速度也为g，由向心加速度公式g＝，即v1＝。‎ ‎（2）第二宇宙速度 第二宇宙速度，是指在星球表面附近发射飞行器，使其克服该星球的引力永远离开该星球所需的最小速度，也是能绕该星球做椭圆运动的卫星在近地点的最大速度。地球的第二宇宙速度vⅡ＝11.2km/s。‎ ‎（3）第三宇宙速度，是指在星球表面附近发射飞行器，能够挣脱太阳引力的束缚飞到太阳系外的最小速度。地球的第三宇宙速度vⅢ＝16.7km/s。‎ ‎（4）三种宇宙速度的对比 以地球为例，三种宇宙速度和相应轨道间的关系如图所示。当卫星在地面附近做圆周运动时，其运行速度即为第一宇宙速度7.9 km/s；当卫星到达地而附近时，其速度介于7.9 krn/s~11.2km/s之间，则卫星沿椭圆轨道绕地球运动；当卫星到达地而附近时，其速度介于11.2krn/s~16.7 km/s之间，则卫星沿椭圆轨道飞离地球，成为绕太阳运动的卫星；当卫星到达地面附近时，其速度超过16.7km/s，则卫星能坛出太阳系成为太阳系外的卫星。三种宇宙速度是指发射的速度，而不是在轨道上的运行速度。‎ 重点2 跟踪天体运动五大物理量 ‎【调研3】按下表所给的数据，并已知引力常量，且认为所有行星的轨道都是圆轨道，结合力学规律可知下列结论正确的是 行星名称 行星质量m/千克 公转周期T/年 到太阳的平均距离R/×‎‎106千米 水星 ‎3.2×1023‎ ‎0.2‎ ‎57.9‎ 金星 ‎4.88×1024‎ ‎0.6‎ ‎108.2‎ 地球 ‎5.979×1024‎ ‎1.0‎ ‎149.6‎ 火星 ‎6.42×1023‎ ‎1.9‎ ‎227.9‎ 木星 ‎1.901×1027‎ ‎11.9‎ ‎778.3‎ 土星 ‎5.68×1026‎ ‎29.5‎ ‎1427‎ ‎8.68×1025‎ ‎84.0‎ ‎2869‎ 天王星 海王星 ‎1.03×1026‎ ‎164.8‎ ‎4486‎ A、可求出太阳对地球的万有引力与太阳对火星的万有引力的比值 B、可求出木星绕太阳运行的加速度 C、可求出太阳的质量 D、可求出地球的自转周期 ‎【分析】根据F万＝G，已知引力常量G，行星的质量、行星与太阳的距离R，可求取任意两个行星与太阳之间的万有引力比值，A对；m＝ma向心，已知G、T、R可求取任意行星的向心加速度，B对；由G＝m，已知G、R、T，可求取太阳的质量，C对；行星的运动是针对围绕太阳公转的，地球自转的周期需要以地球上的物体为研究对象才能求取，D错。‎ ‎【答案】ABC ‎【调研4】（2020年全国大纲卷）我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行（即绕地球一圈需要24小时）；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比 A、卫星动能增大，引力势能减小 B、卫星动能增大，引力势能增大 C、卫星动能减小，引力势能减小 D、卫星动能减小，引力势能增大 ‎【解析】本题实际上考查嫦娥一号在两个不同轨道上的速度、动能与引力势能等物理量的关系，要跟踪好嫦娥一号在哪个轨道上的哪些物理量。依题意可将“嫦娥一号”视为圆周运动，且质量变化可忽略不计，则变轨后，轨道更高，由卫星运动规律可知高轨道速度小，故变轨后动能变小，排除A、B选项；卫星发射越高，需要更多能量，由能量守恒定律可知高轨道的卫星能量大，而高轨道动能反而小，因此高轨道势能一定大（当然也可直接通过离地球越远引力势能越大来判断），D对。‎ ‎【答案】D ‎【通关必备】‎ 描述天体运动的五大物理量之间的关系 天体在做匀速圆周运动中有五大物理量：向心加速度a、线速度v、角速度ω、周期T、半径R，由于天体问题往往是单一星体之间的万有引力，故它们之间的关系可以用连等式表示：G＝ma＝m＝mω2R＝m。其中系列等式中m为环绕体的质量，所有的质量m均可以消掉。不同的卫星做匀速圆周运动的轨道半径不同，根据等式可得①定量关系：a与r2成反比、v2与r成反比、ω2与r3成反比、T2与r3成正比；②定性关系：轨道半径r大，向心加速度a小、线速度v小、角速度ω小、周期T大，即高轨道a、v、ω小，T大。‎ 重点3 卫星与赤道上物体的根本区别 ‎【调研5】已知地球和冥王星半径分别为r1、r2，公转半径分别为r1′、r2′，公转线速度分别为v1′、v2′，表面重力加速度分别为g1、g2，平均密度分别为ρ1、ρ2，地球第一宇宙速度为v1，飞船贴近冥王星表面环绕线速度为v2，则下列关系正确的是 A、＝ B、＝ C、g1r12＝g2r22 D、ρ1r12v22＝ρ2r22v12‎ ‎【分析】由题意可知v1和v2分别为地球和冥王星的第一宇宙速度。根据第一宇宙速度的表达式v＝（其中g为星球表面的重力加速度，r为星球的半径），可知＝，B错；重力加速度g＝（其中r′为公转半径），可得gr′2＝GM日为定值，故g1r1′2＝g2r2′2，显然C错；由＝，可知v′2与r′成反比，故A对；根据星体密度公式ρ＝＝（其中T为星球表面卫星运行的周期，r为星球半径），故为定值，故ρ1r12v22＝ρ2r22v12，D对。‎ ‎【答案】AD ‎【调研6】a是地球赤道上一栋建筑，b是在赤道平面内作匀速圆周运动、距地面9.6×106‎ m的卫星，c是地球同步卫星。某一时刻b、c刚好位于a的正上方（如图甲所示），经48h，a、b、c的大致位置是图乙中的（取地球半径R=6.4×106m，地球表面重力加速度g=10m/s2，π=）‎ a b c 甲 乙 a b c a b c a b c a b c A． B． C． D．‎ ‎【解析】b、c都是地球卫星，共同遵循地球对它们的万有引力提供向心力，c是地球同步卫星，c在a的正上方，对b有G＝m()2(R＋h)，G＝mg，联立可得：T＝2π＝2×104s，经48h，b转过的圈数n＝＝8.64，故选项B正确。‎ ‎【答案】B ‎【通关必备】‎ ‎（1）卫星与地球上物体的向心力的区别 卫星的向心力由万有引力提供，而地球上的物体随着地球一起自转做匀速圆周运动时向心力由万有引力及地面的支持力两者共同提供。对卫星由万有引力定律及向心力公式：G＝ma＝m＝mω2R＝m，显然高轨道周期大，向心加速度小、线速度小、角速度小。对地球上的物体则不能应用上面的连等式，原因是卫星只受到一个万有引力，而地球上物体受到的力多处了一个支持力。一般来说，考虑到地球自转时向心加速度很小，故认为地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，即认为重力和支持力平衡。实际上要考虑到这个微小差别的话，地球上纬度越高的地方重力加速度越大，即赤道上重力加速度要略小于两极的重力加速度。‎ ‎（2）灵活巧妙地应用黄金代换式GM＝gR2‎ 对于近地卫星，在星球表面附近，卫星受到重力等于万有引力，即mg＝G，故GM＝gR2。星球质量未知时常常用这个式子来估算。黄金代换式中还存在GM这个公用物理量，即使引力常量G与中心天体的质量均未知的情况下，其乘积可通过gR2求取，即题干给出重力加速度g和星球的半径R是非常重要的敏感物理量。‎ ‎（3）记忆常用的天文数据达到解题捷径 ‎①地球公转周期为1年，地球自转周期为24小时，月球公转和自转周期均为27天，地球半径为6400公里，表面重力加速度g＝9.8m/s2。‎ ‎②地球自转线速度约为500m/s，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，同步卫星线速度约为3km/s，轨道半径约为6.5倍地球半径。‎ ‎③地球上物体转动一圈24小时，近地卫星转一圈月1.5小时，同步卫星转一圈24小时。‎ 重点4 估测天体质量和密度的秘笈 ‎【调研7】【2020年高考安徽卷第22题】‎ ‎【分析】试题提到开普勒定律中的恒量，而开普勒定律中有周期的平方，这对于加速度公式中只有G＝m这个公式可以使用。估算天体质量时，要找两个物理量，显然题中给了圆周运动的半径和周期。‎ ‎【规范解答】（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。根据万有引力定律和牛顿第二定律有 ‎__________________________ ①‎ 于是有 ②‎ 即 ③‎ ‎（2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得 ‎___________________ ④‎ 解得 M地=__________________________ ⑤‎ ‎【答案提示】；;6×1024kg（M地=5×‎1024kg也算对）。‎ ‎【调研8】某质量分布均匀的球状天体密度为ρ0，半径为R，引力常量为G。‎ ‎（1）证明：贴近该天体表面运行的卫星的运动周期与天体的大小无关。‎ ‎（2）假设该天体表面充满厚度为d＝0.5R、密度为ρ＝的均匀介质，天体自转的角速度为ω0＝，求环绕该天体运动的同步卫星距天体表面的高度。‎ ‎【分析】第（1）问的证明题中提到周期与天体的大小是否有关，天体的大小可考虑为体积，审题时应立刻建立数学函数思维，即周期T的函数中不含有天体的体积。在第（2）问中所给的条件与一般所给中心天体的质量和体积的条件不同，而是给了这种天体的复杂组成，这应该涉及到组合的天体质量求取。‎ ‎【规范解答】‎ ‎（1）设贴近天体表面运行卫星的质量为m，运动周期为T，天体质量为M，由牛顿第二定律及向心力公式：G＝_____________________‎ 由密度公式：M＝___________________‎ 联立解得 T＝，可见T与R无关，为一常量。‎ ‎（2）设同步卫星距天体中心的距离为r，同步卫星的质量为m0，则有 ‎___________________＝m0ω02r 而 M ′ ＝ρ·π[(R＋d)3－R3)]‎ 解得 r＝____________‎ 则该同步卫星距表面的高度 h＝r－R＝R ‎【答案提示】m()2R；ρ0·πR3；G；2R。‎ ‎【通关必备】‎ ‎（1）如何估算天体的质量 天体的质量估算是指估算中心天体的质量。由万有引力定律及向心力公式：G＝ma＝m＝mω2R＝m＝mωv，可知其中环绕体的质量m均被消去，故无法估算环绕体的质量。估算中心天体质量M时必须要已知引力常量G，另外还需要环绕体的五大物理量a、v、ω、T、R中的任意两个物理量，因为知道任意两个物理量即可通过相关公式计算得到其他三个物理量。‎ ‎（2）如何估算天体的密度 由于密度公式中存在中心天体的半径的三次方，故根据G＝m()2R，及密度公式M＝ρ0·πR3，可得中心天体的密度ρ0＝，其中T0必须是中心天体的近表面卫星环绕中心天体的周期，因此只需要得到近表面飞行的卫星的周期即可获得该中心天体的密度。当然，对任意轨道r的卫星，周期为T，则根据开普勒第三定律：＝，可知中心天体的密度ρ0＝，即已知中心天体的半径R及任意卫星的轨道半径r和周期T，即可求取中心天体的密度。‎ ‎【强化闯关】‎ ‎1、冥王星相比地球距离太阳更遥远，冥王星的质量约为地球质量的0.0022倍，半径约为地球半径的0.19倍。根据以上信息可以确定（ ）‎ A．冥王星绕太阳运行的周期小于地球的公转周期 B．冥王星绕太阳运行的向心加速度大于地球绕太阳运行的向心加速度 C．冥王星的自转周期小于地球的自转周期 D．冥王星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的0.06倍 ‎2、北斗卫星导航系统是中国自行研制开发的三维卫星定位与通信系统(CNSS)，它包括5颗同步卫星和30颗非静止轨道卫星，其中还有备用卫星在各自轨道上做匀速圆周运动。设地球半径为R，同步卫星的轨道半径约为6.6R。如果某一备用卫星的运行周期约为地球自转周期的1/8，则该备用卫星离地球表面的高度约为（ ）‎ A、0.65 R B、1.65 R C、2.3 R D、3.3 R ‎3、天文学家发现有些恒星会在质量基本不变的情况下发生体积减小的现象。若某恒星的直径缩小到原来的四分之一，收缩时质量视为不变，下列有关该恒星体积收缩后的相关说法正确的是 A、恒星表面重力加速度增大到原来的4倍 B、恒星表面重力加速度增大到原来的l6倍 C、恒星的第一宇宙速度增大到原来的l6倍 D、恒星的第一宇宙速度增大到原来的4倍 ‎4、我国发射的探月卫星“嫦娥二号”的环月工作轨道是圆形的，离月球表面‎1‎‎00 km，若“嫦娥二号”贴近月球表面飞行。已知月球的质量约为地球质量的1/81，月球的半径约为地球半径的1/4，地球上的第一宇宙速度约为‎7.9 km/s，则该“嫦娥二号”绕月运行的速率约为( )‎ A、‎0.4km/s B、‎1.8km/s C、11km/s D、36km/s ‎5、已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星平均密度的是 A．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间t B．发射一颗贴近火星表面绕火星做圆周运动的飞船，测出飞船的周期T C．观察火星绕太阳的圆周运动，测出火星的直径D和火星绕太阳运行的周期T D．发射一颗绕火星做圆周运动的卫星，测出卫星离火星表面的高度H和卫星的周期T ‎6、北京时间2020年2月18日17时55分，在举世瞩目的“火星一500”试验现场，经历了260天的密闭“飞行”后，来自中国南京的志愿者王跃走出登陆舱，成功踏上模拟火星表面。假设若干年后，人类成功登陆某行星，为了测量该行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期为T1，登陆行星表面后，宇航员利用摆长为l的单摆测得该摆在行星表面做简谐振动的周期为T2，已知引力常量为G，则 A、该行星的质量M＝ B、该行星的质量M＝ C、该行星的半径R＝ D、该行星的半径R＝ ‎7、我国已启动“嫦娥工程”，并于2020年10月24日和2020年10月1日分别将“嫦娥一号”和“嫦娥二号”成功发射, “嫦娥三号”亦有望在2020年落月探测90天，并已给落月点起了一个富有诗意的名字—“广寒宫”。‎ ‎（1）若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，请求出月球绕地球运动的轨道半径r。‎ ‎（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t ，小球落回抛出点。已知月球半径为r月，引力常量为G ，请求出月球的质量M月。‎ ‎【参考答案】‎ ‎1、D 根据万有引力定律及向心力公式：G＝ma＝m＝m，可知高轨道，周期大，加速度小，故冥王星轨道高，其周期较大，向心加速度较小，A、B均错；而自转周期与公转的运动以及质量和半径均无关联，C错；星体表面的物体受到的重力等于万有引力：G＝mg，故星体表面的重力加速度g＝G，故冥王星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为g冥：g地＝≈0.06，D对。‎ ‎2、A 依题意可比较备用卫星与同步卫星的运动，备用卫星周期为同步卫星周期的1/8，根据开普勒第三定律：＝，且8T1＝T2，R1＝6.6R，解得R2＝1.65R，即备用卫星离地球表面的高度约为0.65R，A对。‎ ‎3、B 根据万有引力定律及向心力公式：G＝mg，G＝m，可得恒星表面的重力加速度g＝G，恒星的第一宇宙速度v0＝ ‎，直径缩小到原来的四分之一，且质量M不变，则重力加速度增加为原来的16倍，A错B对；第一宇宙速度增大到原来的2倍，C、D均错。‎ ‎4、B 根据万有引力定律及向心力公式：G＝m，其中R为星体的半径，即卫星的轨道半径，则第一宇宙速度表达式：v＝；环绕月球表面飞行和环绕地球表面飞行的第一宇宙速度之比：‎ ‎，，B对。‎ ‎5、B【解析】估算天体的密度一般思路是给定天体第一速度运行的卫星的周期T，根据G＝m，天体密度ρ＝＝，即已知引力常量G和第一宇宙速度运行的卫星的周期T即可获取天体的平均密度。对A选项，小球自由落体的高度和时间给定可求出火星表面的重力加速度，由于未知火星的半径，故无法得到火星表层的卫星的周期，A错B对；对C选项，必须告知火星的卫星的运行条件，即必须以待求取密度的星体为中心天体，而该选项是给定火星绕太阳的运行数据，故C错；对任意一个火星的卫星运行周期T0及圆周运动轨道高度H，根据开普勒定律可知T02/(R＋H)3＝T2/R3，由于火星的半径R未知，故D错。‎ ‎6、AC 由行星表面运行的登陆舱做圆周运动的向心加速度公式：g＝，及单摆周期公式：T2＝2π，可得行星半径R＝，C对D错；根据行星表面物体受到的重力等于万有引力：G＝mg，及g＝，解得行星的质量M＝，A对B错。‎ ‎7、【解析】（1）根据万有引力定律和向心力公式：G= M月()2r月 质量为m的物体在地球表面时：mg＝G 解得：r月= ‎（2）设月球表面处的重力加速度为g月，根据题意：v0＝，g月＝，解得：M月＝