习题：第4章 习题课 天体运动中的三类典型问题 Word版含解析
第4章万有引力定律及航天
习题课:天体运动中的三类典型问题
课后篇巩固提升
基础巩固
1.由于通信和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步卫星,这些卫星的( )
A.质量可以不同 B.轨道半径可以不同
C.轨道平面可以不同 D.速率可以不同
解析地球同步卫星轨道必须在赤道平面内,离地面高度相同的同一轨道上,角速度、线速度、周期一定,与卫星的质量无关。选项A正确,B、C、D错误。
答案A
2.
如图所示,地球赤道上的山丘e、近地卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3,向心加速度分别为a1、a2、a3,则( )
A.v1>v2>v3 B.v1
a2>a3 D.a1v1=ωr1,选项A、B均错误。由Gm地mr2=ma,得a=Gm地r2,同步卫星q的轨道半径大于近地卫星p的轨道半径,可知q的向心加速度a3TⅡ>TⅢ,故A正确,B错误;嫦娥三号在由高轨道降到低轨道时,都要在P点进行“刹车制动”,所以经过P点时,在三个轨道上的线速度关系为vⅠ>vⅡ>vⅢ,所以C错误;由于嫦娥三号在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关,故D正确。
答案AD
5.
a是地球赤道上一栋建筑,b是在赤道平面内做匀速圆周运动的卫星,c是地球同步卫星,已知c到地心的距离是b的二倍,某一时刻b、c刚好位于a的正上方(如图所示),经48 h,a、b、c的大致位置是图中的( )
解析在某时刻c在a的正上方,则以后永远在a的正上方,对b和c,根据Gm地mr2=m4π2T2r,推知Tc=22Tb,又由2Tc=nbTb,得nb=2×22=5.66圈,所以B正确。
答案B
6.两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是( )
A.质量大的天体线速度较大
B.质量小的天体角速度较大
C.两个天体的向心力大小相等
D.若在圆心处放一个质点,它受到的合力为零
解析双星系统的结构是稳定的,故它们的角速度相等,故B项错误;两个星球间的万有引力提供向心力,根据牛顿第三定律可知,两个天体的向心力大小相等,故C项正确;根据牛顿第二定律,有
Gm1m2L2=m1ω2r1=m2ω2r2
其中:r1+r2=L
故r1=m2m1+m2L
r2=m1m1+m2L
故v1v2=r1r2=m2m1
故质量大的天体线速度较小,A错误;
若在圆心处放一个质点,合力
F=Gm1m0r12-Gm2m0r22=Gm0(m1+m2)2L2m1m22-m2m12≠0,故D错误。
答案C
7.某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道,在B点实施变轨后,再进入预定圆轨道,如图所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t,近地点A距地面高度为h1,地球表面重力加速度为g,地球半径为R。求:
(1)飞船在近地点A的加速度aA为多大?
(2)远地点B距地面的高度h2为多少?
解析(1)设地球质量为M,飞船的质量为m,在A点飞船受到的地球引力为F=GMm(R+h1)2,地球表面的重力加速度g=GMR2
由牛顿第二定律得aA=Fm=GM(R+h1)2=gR2(R+h1)2。
(2)飞船在预定圆轨道飞行的周期T=tn
由牛顿第二定律得GMm(R+h2)2=m2πT2(R+h2)
解得h2=3gR2t24π2n2-R。
答案(1)gR2(R+h1)2 (2)3gR2t24π2n2-R
8.
如图所示,两个星球A、B组成双星系统,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。已知A、B星球质量分别为mA、mB,引力常量为G,求L3T2(其中L为两星中心距离,T为两星的运动周期)。
解析设A、B两个星球做圆周运动的半径分别为rA、rB。则rA+rB=L,对星球A:GmAmBL2=mArA4π2T2,对星球B:GmAmBL2=mBrB4π2T2,联立以上三式求得L3T2=G(mA+mB)4π2。
答案G(mA+mB)4π2
能力提升
1.有a、b、c、d四颗地球卫星,a在地球赤道上未发射,b在地面附近近地轨道上正常运动,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图,则有( )
A.a的向心加速度等于重力加速度g
B.b在相同时间内转过的弧长最长
C.c在4 h内转过的圆心角是π6
D.d的运行周期有可能是20 h
解析对于卫星a,根据万有引力定律、牛顿第二定律列式可得GMmr2-N=ma向,又由GMmr2=mg,故卫星a的向心加速度小于重力加速度g,选项A错误;由GMmr2=mv2r得,v=GMr,故轨道半径越小,线速度越大,故b、c、d三颗卫星的线速度的大小关系为vb>vc>vd,而卫星a与同步卫星c的周期相同,故卫星c的线速度大于卫星a的线速度,选项B正确;由c是地球同步卫星,可知卫星c在4h内转过的圆心角是π3,选项C错误;由GMmr2=m2πT2r得,T=2πr3GM,轨道半径越大,周期越长,故卫星d的周期大于同步卫星c的周期,选项D错误。
答案B
2.(多选)目前,在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近似为圆,且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下列判断正确的是( )
A.卫星的动能逐渐减小
B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小
C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变
D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
解析由于空气阻力做负功,卫星轨道半径变小,由GMmr2=mv2r可知,卫星线速度增大,地球引力做正功,引力势能一定减小,故动能增大,机械能减小,选项A、C错误,B正确;根据动能定理,卫星动能增大,卫星克服阻力做的功小于地球引力做的正功,而地球引力做的正功等于引力势能的减小,所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小,选项D正确。
答案BD
3.(多选)如图所示,甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星,甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行,若三颗星质量均为M,万有引力常量为G,则( )
A.甲星所受合外力为5GM24R2
B.乙星所受合外力为GM2R2
C.甲星和丙星的线速度相同
D.甲星和丙星的角速度相同
解析由万有引力定律可知,甲、乙和乙、丙之间的万有引力大小均为F1=GM·MR2,甲、丙之间的万有引力为F2=GM·M(2R)2=GM24R2,甲星所受两个引力的方向相同,故合力为F1+F2=5GM24R2,选项A正确;乙星所受两个引力等大、反向,合力为零,选项B错误;甲、丙两星线速度方向始终不同,选项C错误;由题知甲、丙两星周期相同,由角速度定义可知,两星角速度相同,选项D正确。
答案AD
4.(多选)(2018全国Ⅰ)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A.质量之积 B.质量之和
C.速率之和 D.各自的自转角速度
解析设两中子星质量为m1、m2,环绕半径为r1、r2,两星间距为r。所以有Gm1m2r2=m1ω2r1 Gm1m2r2=m2ω2r2
可解得m1=ω2r2r2G;m2=ω2r1r2G
所以m1+m2=ω2r3G,故B项正确;
设两星速率分别为v1、v2。所以有
v1+v2=ω(r1+r2)=ωr
由题意可得ω、r,故C项正确。
答案BC
5.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,引力常量为G。则每颗星做圆周运动的周期为多大?
解析任意两个星体之间的万有引力F=GmmR2,每一颗星体受到的合力F1=3F
由几何关系知,它们的轨道半径r=33R
合力提供它们的向心力3GmmR2=m·4π2rT2
解得T=2πR33Gm。
答案均为2πR33Gm
6.太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统,它们运行的原理可以理解为,质量为m0的恒星和质量为m的行星(m0>m),在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着。如图所示,我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)。设引力常量为G,恒星和行星的大小可忽略不计。
(1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道。
(2)试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v。
解析(1)恒星运动的轨道大致如图。
(2)对行星m有F=mω2Rm①
对恒星m0有F'=m0ω2Rm0②
根据牛顿第三定律,F与F'大小相等
由①②得Rm0=mm0a
对恒星m0有m0v2Rm0=Gm0m(Rm+Rm0)2
代入数据得v=mm0+mGm0a。
答案(1)见解析 (2)mm0a mm0+mGm0a