高考真题——理科数学北京卷Word版含答案

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高考真题——理科数学北京卷Word版含答案

绝密★启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(北京卷)‎ 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。学科:网 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)已知集合A={x||x|<2},B={–2,0,1,2},则AB=‎ ‎(A){0,1} (B){–1,0,1}‎ ‎(C){–2,0,1,2} (D){–1,0,1,2}‎ ‎(2)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于 ‎(A)第一象限 (B)第二象限 ‎(C)第三象限 (D)第四象限 ‎(3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(4)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,‎ 为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(5)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 ‎(A)1 (B)2 ‎ ‎(C)3 (D)4‎ ‎(6)设a,b均为单位向量,则“”是“a⊥b”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线的距离,当θ,m变化时,d的最大值为 ‎(A)1 (B)2‎ ‎(C)3 (D)4‎ ‎(8)设集合则 ‎(A)对任意实数a, (B)对任意实数a,(2,1)‎ ‎(C)当且仅当a<0时,(2,1) (D)当且仅当时,(2,1)‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)设是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则的通项公式为__________.‎ ‎(10)在极坐标系中,直线与圆相切,则a=__________.‎ ‎(11)设函数f(x)=,若对任意的实数x都成立,则ω的最小值为__________.‎ ‎(12)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y–x的最小值是__________. ‎ ‎(13)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________.‎ ‎(14)已知椭圆,双曲线.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为__________;双曲线N的离心率为__________.‎ 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。学@科网 ‎(15)(本小题13分)‎ 在△ABC中,a=7,b=8,cosB=–. (Ⅰ)求∠A;‎ ‎(Ⅱ)求AC边上的高.‎ ‎ (16)(本小题14分)‎ 如图,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分别为,AC,,的中点,AB=BC=,AC==2.‎ ‎(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF;‎ ‎(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交.‎ ‎(17)(本小题12分)‎ 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.‎ 假设所有电影是否获得好评相互独立.‎ ‎(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率; (Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“”表示第k类电影得到人们喜欢,“”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差,,,,,的大小关系.‎ ‎(18)(本小题13分)‎ 设函数=[].‎ ‎(Ⅰ)若曲线y= f(x)在点(1,)处的切线与轴平行,求a;‎ ‎(Ⅱ)若在x=2处取得极小值,求a的取值范围.‎ ‎(19)(本小题14分)‎ 已知抛物线C:=2px经过点(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.‎ ‎(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设O为原点,,,求证:为定值.‎ ‎(20)(本小题14分)‎ 设n为正整数,集合A=.对于集合A中的任意元素和,记 M()=.‎ ‎(Ⅰ)当n=3时,若,,求M()和M()的值;‎ ‎(Ⅱ)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素,当相同时,M()是奇数;当不同时,M()是偶数.求集合B中元素个数的最大值;‎ ‎(Ⅲ)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素,‎ M()=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.学科&网 绝密★启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1.A 2.D 3.B 4.D 5.C 6.C 7.C 8.D 二、填空题 ‎9. 10. 11. 12.3 ‎ ‎13.y=sinx(答案不唯一) 14.‎ 三、解答题 ‎(15)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)在△ABC中,∵cosB=–,∴B∈(,π),∴sinB=.‎ 由正弦定理得=,∴sinA=.‎ ‎∵B∈(,π),∴A∈(0,),∴∠A=.‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA==.‎ 如图所示,在△ABC中,∵sinC=,∴h==,‎ ‎∴AC边上的高为.‎ ‎(16)(共14分)‎ 解:(Ⅰ)在三棱柱ABC-A1B1C1中,‎ ‎∵CC1⊥平面ABC,‎ ‎∴四边形A1ACC1为矩形.‎ 又E,F分别为AC,A1C1的中点,‎ ‎∴AC⊥EF.‎ ‎∵AB=BC.‎ ‎∴AC⊥BE,‎ ‎∴AC⊥平面BEF.‎ ‎(Ⅱ)由(I)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.‎ 又CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.‎ ‎∵BE平面ABC,∴EF⊥BE.‎ 如图建立空间直角坐称系E-xyz.‎ 由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).‎ ‎∴,‎ 设平面BCD的法向量为,‎ ‎∴,∴,‎ 令a=2,则b=-1,c=-4,‎ ‎∴平面BCD的法向量,‎ 又∵平面CDC1的法向量为,‎ ‎∴.‎ 由图可得二面角B-CD-C1为钝角,所以二面角B-CD-C1的余弦值为.‎ ‎(Ⅲ)平面BCD的法向量为,∵G(0,2,1),F(0,0,2),‎ ‎∴,∴,∴与不垂直,‎ ‎∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内,∴GF与平面BCD相交.‎ ‎(17)(共12分)‎ 解:(Ⅰ)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.‎ 故所求概率为.‎ ‎(Ⅱ)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,‎ 事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.‎ 故所求概率为P()=P()+P()‎ ‎=P(A)(1–P(B))+(1–P(A))P(B).‎ 由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.‎ 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.‎ ‎(Ⅲ)>>=>>.‎ ‎(18)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)因为=[],‎ 所以f ′(x)=[2ax–(4a+1)]ex+[ax2–(4a+1)x+4a+3]ex(x∈R)‎ ‎=[ax2–(2a+1)x+2]ex.‎ f ′(1)=(1–a)e.‎ 由题设知f ′(1)=0,即(1–a)e=0,解得a=1.‎ 此时f (1)=3e≠0.‎ 所以a的值为1.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得f ′(x)=[ax2–(2a+1)x+2]ex=(ax–1)(x–2)ex.‎ 若a>,则当x∈(,2)时,f ′(x)<0;‎ 当x∈(2,+∞)时,f ′(x)>0.‎ 所以f (x)<0在x=2处取得极小值.‎ 若a≤,则当x∈(0,2)时,x–2<0,ax–1≤x–1<0,‎ 所以f ′(x)>0.‎ 所以2不是f (x)的极小值点.‎ 综上可知,a的取值范围是(,+∞).‎ ‎(19)(共14分)‎ 解:(Ⅰ)因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),‎ 所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.‎ 由题意可知直线l的斜率存在且不为0,‎ 设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).‎ 由得.‎ 依题意,解得k<0或0
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