高考试题文科数学分类汇编立体几何

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文档介绍

高考试题文科数学分类汇编立体几何

‎2012年高考试题分类汇编:立体几何 ‎ 一、选择题 ‎1.【2012高考新课标文7】如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎2.【2012高考新课标文8】平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为 ‎ ‎(A)π (B)4π (C)4π (D)6π ‎【答案】B ‎3.【2012高考全国文8】已知正四棱柱中 ,,,为的中点,则直线与平面的距离为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎4.【2012高考陕西文8】将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为 ( )‎ ‎8.【答案】B.‎ ‎5.【2012高考江西文7】若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为 A. B‎.5 C.4 D. ‎ ‎【答案】D ‎6.【2012高考湖南文4】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是 ‎【答案】D ‎7.【2012高考广东文7】某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 图1‎ 正视图 俯视图 侧视图 ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎8.【2102高考福建文4】一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是 ‎ A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 ‎ ‎【答案】D.‎ ‎9.【2012高考重庆文9】设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是 ‎(A) (B) (C)(D)‎ ‎ 【答案】A ‎ ‎10.【2012高考浙江文3】已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是 A‎.1cm3 B‎.2cm3 C.3cm3 D‎.6cm3‎ ‎【答案】C ‎11.【2012高考浙江文5】 设是直线,a,β是两个不同的平面 A. 若∥a,∥β,则a∥β B. 若∥a,⊥β,则a⊥β C. 若a⊥β,⊥a,则⊥β D. 若a⊥β, ∥a,则⊥β ‎【答案】B ‎12.【2012高考四川文6】下列命题正确的是( )‎ A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 ‎ 【答案】C ‎13.【2012高考四川文10】如图,半径为的半球的底面圆在平面内,过点作平面的垂线交半球面于点,过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交,所得交线上到平面的距离最大的点为,该交线上的一点满足,则、两点间的球面距离为( )‎ A、 ‎ B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎14.【2102高考北京文7】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 ‎(A)28+(B)30+(C)56+(D)60+‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎15.【2012高考四川文14】如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成的角的大小是____________。‎ ‎【答案】‎ ‎16.【2012高考上海文5】一个高为2的圆柱,底面周长为,该圆柱的表面积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎17.【2012高考湖北文15】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎18.【2012高考辽宁文13】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______________.‎ ‎【答案】12+π ‎【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出体积。‎ ‎19.【2012高考江苏7】(5分)如图,在长方体中,,,则四棱锥的体积为 ▲ cm3.‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】正方形的性质,棱锥的体积。‎ ‎20.【2012高考辽宁文16】已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则△OAB的面积为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎21.【2012高考天津文科10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体 积 .‎ ‎ 【答案】‎ ‎22.【2012高考安徽文12】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于______。 ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎23.【2012高考山东文13】如图,正方体的棱长为1,E为线段上的一点,则三棱锥的体积为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎24.【2012高考安徽文15】若四面体的三组对棱分别相等,即,,,则______(写出所有正确结论编号)。 ‎ ‎①四面体每组对棱相互垂直 ‎②四面体每个面的面积相等 ‎③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于 ‎④连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分 ‎⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 ‎【答案】②④⑤‎ ‎25.【2012高考全国文16】已知正方体中,、分别为的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为____________.‎ ‎ 【答案】‎ 三、解答题 ‎26.【2012高考全国文19】(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,,是上的一点,。‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)设二面角为,求与平面所成角的大小。‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎27.【2012高考安徽文19】(本小题满分 12分)‎ 如图,长方体中,底面是正方形,是的中点,是棱上任意一点。‎ ‎(Ⅰ)证明: ;‎ ‎(Ⅱ)如果=2,=,,,求 的长。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分) ‎ 如图,在三棱锥中,,,,点在平面内的射影在上。‎ ‎(Ⅰ)求直线与平面所成的角的大小;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小。‎ 命题立意:本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系,线面角的概念,二面角的概念等基础知识,考查空间想象能力,利用向量解决立体几何问题的能力.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎229.【2012高考重庆文20】(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ ‎)小问8分)已知直三棱柱中,,,为的中点。(Ⅰ)求异面直线和的距离;(Ⅱ)若,求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎ ‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)如答(20)图1,因AC=BC, D为AB的中点,故CD AB。又直三棱柱中, 面 ,故 ,所以异面直线 和AB的距离为 ‎(Ⅱ):由故 面 ,从而 ,故 为所求的二面角的平面角。‎ 因是在面上的射影,又已知 由三垂线定理的逆定理得从而,都与互余,因此,所以≌,因此得 从而 所以在中,由余弦定理得 ‎【2012高考上海文19】本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分 如图,在三棱锥中,⊥底面,是的中点,已知∠=,,,,求:‎ ‎(1)三棱锥的体积 ‎(2)异面直线与所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解,同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题,复习时应注重课本,容易出现找错角的情况,要考虑全面,考查空间想象能力,属于中档题.‎ ‎30.【2012高考天津文科17】(本小题满分13分)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.‎ ‎(I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;‎ ‎(II)证明平面PDC⊥平面ABCD;‎ ‎(III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。‎ ‎【答案】‎ ‎31.【2012高考新课标文19】(本小题满分12分)‎ 如图,三棱柱ABC-A1B‎1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点 ‎(I)证明:平面BDC1⊥平面BDC ‎(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.‎ C B A D C1‎ A1‎ ‎【答案】‎ ‎32.【2012高考湖南文19】(本小题满分12分)‎ ‎ 如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.‎ ‎(Ⅰ)证明:BD⊥PC;‎ ‎(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎ [中国^教*~育出#版%‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为 又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD平面PAC,‎ 而平面PAC,所以.‎ ‎(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,‎ 所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而.‎ 由BD平面PAC,平面PAC,知.‎ 在中,由,得PD=2OD.‎ 因为四边形ABCD为等腰梯形,,所以均为等腰直角三角形,‎ 从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积 在等腰三角形AOD中,‎ 所以 故四棱锥的体积为.‎ ‎【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可,第二问由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由算得体积.‎ ‎33.【2012高考山东文19】 (本小题满分12分)‎ 如图,几何体是四棱锥,△为正三角形,.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若∠,M为线段AE的中点,‎ 求证:∥平面.‎ ‎【答案】(19)(I)设中点为O,连接OC,OE,则由知 ,,‎ 又已知,所以平面OCE.‎ 所以,即OE是BD的垂直平分线,‎ 所以.‎ ‎(II)取AB中点N,连接,‎ ‎∵M是AE的中点,∴∥,‎ ‎∵△是等边三角形,∴.‎ 由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即,‎ 所以ND∥BC,‎ 所以平面MND∥平面BEC,故DM∥平面BEC.‎ ‎34.【2012高考湖北文19】(本小题满分12分)‎ 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B‎1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B‎2C2D2。‎ A. 证明:直线B1D1⊥平面ACC‎2A2;‎ B. 现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎【解析】本题考查线面垂直,空间几何体的表面积;考查空间想象,运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直线面垂直面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法;四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成,只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行,面面平行特别是线面平行,以及体积等的考查.‎ ‎35.【2012高考广东文18】本小题满分13分)‎ 如图5所示,在四棱锥中,平面,,,是的中点,是上的点且,为△中边上的高.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若,,,求三棱 锥的体积;‎ ‎(3)证明:平面.‎ ‎ ‎ ‎【解析】(1)证明:因为平面,‎ 所以。‎ 因为为△中边上的高,‎ 所以。‎ ‎ 因为,‎ ‎ 所以平面。‎ ‎(2)连结,取中点,连结。‎ ‎ 因为是的中点,‎ ‎ 所以。‎ ‎ 因为平面,‎ 所以平面。‎ 则,‎ ‎ 。‎ ‎(3)证明:取中点,连结,。‎ ‎ 因为是的中点,‎ 所以。‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以四边形是平行四边形,‎ 所以。‎ 因为,‎ ‎ 所以。‎ 因为平面,‎ ‎ 所以。‎ ‎ 因为,‎ 所以平面,‎ 所以平面。‎ ‎36.【2102高考北京文16】(本小题共14分)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A‎1F⊥CD,如图2。‎ ‎(I)求证:DE∥平面A1CB;‎ ‎(II)求证:A‎1F⊥BE;‎ ‎(III)线段A1B上是否存在点Q,使A‎1C⊥平面DEQ?说明理由。‎ ‎ 【答案】‎ ‎37.【2012高考浙江文20】(本题满分15分)如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B‎1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=。AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B‎1C1E与直线AA1的交点。‎ ‎(1)证明:(i)EF∥A1D1;‎ ‎(ii)BA1⊥平面B‎1C1EF;‎ ‎(2)求BC1与平面B‎1C1EF所成的角的正弦值。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】(1)(i)因为, 平面ADD‎1 A1,所以平面ADD‎1 A1.‎ 又因为平面平面ADD‎1 A1=,所以.所以.‎ (ii) 因为,所以,‎ 又因为,所以,‎ 在矩形中,F是AA的中点,即.即 ‎,故.‎ 所以平面.‎ ‎(2) 设与交点为H,连结.‎ 由(1)知,所以是与平面所成的角. 在矩形中,,,得,在直角中,,,得 ‎,所以BC与平面所成角的正弦值是.‎ ‎38.【2012高考陕西文18】(本小题满分12分)‎ 直三棱柱ABC- A1B‎1C1中,AB=A A1 ,=‎ ‎(Ⅰ)证明;‎ ‎(Ⅱ)已知AB=2,BC=,求三棱锥 的体积 ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎39.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分) ‎ 如图,直三棱柱,,AA′=1,点M,N分别为和的中点。‎ ‎ (Ⅰ)证明:∥平面;‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥的体积。‎ ‎(椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积,h为高)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明;第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键,也可以采用割补发来球体积。‎ ‎40.【2012高考江苏16】(14分)如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点.‎ 求证:(1)平面平面;‎ ‎ (2)直线平面.‎ ‎【答案】证明:(1)∵是直三棱柱,∴平面。‎ ‎ 又∵平面,∴。‎ ‎ 又∵平面,∴平面。‎ ‎ 又∵平面,∴平面平面。‎ ‎ (2)∵,为的中点,∴。‎ ‎ 又∵平面,且平面,∴。‎ ‎ 又∵平面,,∴平面。‎ ‎ 由(1)知,平面,∴∥。‎ ‎ 又∵平面平面,∴直线平面 ‎【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。‎ ‎【解析】(1)要证平面平面,只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。‎ ‎ (2)要证直线平面,只要证∥平面上的即可。‎ ‎41.【2102高考福建文19】(本小题满分12分)‎ 如图,在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M为棱DD1上的一点。‎ (1) 求三棱锥A-MCC1的体积;‎ (2) 当A‎1M+MC取得最小值时,求证:B‎1M⊥平面MAC。‎ ‎42.【2012高考江西文19】(本小题满分12分)‎ 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是线段AB上的两点,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.现将△ADE,△CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合与点G,得到多面体CDEFG.‎ (1) 求证:平面DEG⊥平面CFG;‎ (2) 求多面体CDEFG的体积。‎ ‎ 【答案】‎ ‎ ‎
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