高考数学阅读理解试题浅析

高考数学阅读理解试题浅析

高考数学“阅读理解”试题浅析 吴立宝 ‎ 内江师范学院数学系 四川内江 641112‎ ‎《普通高中数学课程标准》基本理念第三条：“倡导积极主动、勇于探索的学习方式。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程。……高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。”从中可以看出学生的学习过程是学生诸种能力的培养过程，其中包括数学阅读能力、数学应用能力和数学探究能力等.‎ ‎“能力立意”一词自1999年教育关于高考内容改革文件下达以来,被教育界广为使用.就考试评价领域而言，能力立意在试卷框架结构上要突出较全面的能力因素、多元化的能力层次结构和合理的难度分布；在命题构思上要坚持考查用数学基本方法解决数学问题，以此强化能力点的设计,淡化烦琐的运算和冗长的逻辑推理.换个角度看问题,这就是高考数学命题体现能力立意的策略.‎ ‎ “阅读理解”型试题是近几年高考数学新增加的题型之一，这类试题的文字叙述一般较长，阅读量与信息量较大，关系错综复杂，不好梳理，是考察学生综合素质、多方面能力的综合型试题，因其内容丰富，构思新颖别致，成为近年来高考的热点题型之一。‎ 该题型的结构一般分为“阅读”材料和“问题”两部分：“阅读”部分实际是向学生提供一个自学材料，其内容多以介绍一个新数学概念的形成与应用过程，或一个新数学公式的推导与应用，或者某些新颖的解题方法，或者是某个数学知识点在某个新学科的应用等，材料可以选自与教材知识相关内容的，也可以完全选自课外的一些研究材料的；“问题”部分学生必须通过自学，理解其内容，在此基础上寻求问题的解答，很能考查学生的阅读理解能力、自学新知能力、类比发现能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力，有利于考查考生的潜质。‎ 解题的策略是：理清阅读材料的脉络，归纳总结知识要点，构建相应的数学模型来完成解答。本文着重对最近几年高考数学中的“阅读理解”类题型进行初步探索、发掘、分类加以解析。‎ ‎1源于高中教材的一类题型 高考数学来源于教材，又高于教材，因此学习数学离不开做数学题，但更离不开阅读教材尤其是要注意自学课外阅读部分，要从课本叙述中通晓知识的来龙去脉、从例题中提炼思想方法、从课外练习中学会解题技巧等等。‎ 例1（2004年重庆市高考试题）毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”.又知地球的体积大约是火星的倍，则火星的大圆周长约为 万里.‎ 解析 由生活常识知道，一日地球自转一周，所以读懂“坐地日行八万里”的含义相当重要，这句话指的是地球大圆（或赤道）周长大约为万里，又由题意可知地球体积是火星体积的8倍，从而地球的周长是火星的周长的倍，所以火星的周长为万里.‎ 例2（2003年上海春季高考题）设，‎ 求的值为 .‎ 解析 本题要求利用课本中等差数列的求和方法，如果平时只记忆公式，而缺乏对课本公式来源过程的阅读，就不知道要用“倒序相加法”.‎ ‎ 　　　　‎ ‎ 　　　　‎ 将①、②式相加，类似于等差数列的情形，猜想： ‎ 而 ‎　.‎ ‎ .‎ ‎2 阅读图表等统计资料解决相关问题 日常生活、生产实践中经常会出现图表问题，阅读图表，从中提取有关信息已成为生活中必不可少的内容，如每日的股市曲线图、菜场上的价目表和招工市场上的应聘与招聘数据等等，这些都是高考命题的源泉.‎ 例3（2004年江苏省高考试题）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右上方的条形图表示.根据条形图可得这名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）.‎ A．0．6小时     B．0．9小时   C．1．0小时    D．1．5小时 解析 由条形图要看出，对应阅读时间量为0、0.5、1、1.5、2小时的人数分别为5、20、10、10、5，故50人阅读的总时数为：小时，所以平均每人阅读时间为： 小时.所以正确答案为.‎ 例4（2004年上海卷高考题）某地年第一季度应聘和招聘人数排行榜前个行业的情况列表如下：‎ 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（　）.‎ A．计算机行业好于化工行业 B．建筑行业好于物流行业 C．机械行业最紧张 D．营销行业比贸易行业紧张 解析 本题选材于社会热点问题，背景鲜活真实，考查学生阅读图表后获取有用数据的能力.根据表中的数据，可推知机械行业的应聘人数少于贸易的人，与招聘人数之比小于，也可以这样理解：凡来应聘的都有工作，而物流行业，招聘人数少于化工的人，应聘人数与招聘人数之比大于，即来应聘的人肯定有人没有工作，故可断定“建筑行业好于物流行业”，故选.‎ 评析 在高考中试卷中考查学生阅读图表，甚至作图表的问题正方兴未艾，只要我们给予足够的重视，平时多加训练，解决好这类问题是不难的.‎ ‎3 阅读相关信息分析解答问题 素质教育的今天，高考不仅仅是要把平时储存在学生头脑中的知识提取出来，看其数量大小，而更要考核考生的知识应用能力以及从已有的知识出发，建构新的知识的能力.‎ 例5（2003年全国卷文科试题）在平面几何里，有勾股定理：“设的两边、互相垂直，则.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面、、两两相互垂直，则       .”‎ 解析 这是一道典型的探究性试题，仅靠平时对概念、结论的简单记忆和接受是无论如何也解答不出来的.问题的答案是：.解决这类问题更重要的是从阅读题目中提供的有关信息开始，通过自主探究和动手实践，归纳或猜想出一般的结论，最后再进行证明.‎ 例6（2003年北京市高考试题）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为，，，，规定：同意按"”，不同意（含弃权）按"0",令：‎ 其中＝，，，，且＝，，，，则同时同意第，号同学当选的人数为（　）‎ A.‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 解析 第，，，名学生是否同意第1号同学当选依次由确定（表示同意，表示不同意或弃权），是否同意第2号同学当选依次由确定，而是否同时同意1，2号同学当选依次由确定，故同时同意1，2号同学当选的人数为，故选C.‎ 例7（2004年北京高考题）给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于且总和.现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于且 分组的步骤是：首先从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的，成为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续够成第三组（余差为）、第四组（余差为）、直至地 N组（余差为）把这些数全部分完为止.‎ ‎（Ⅰ）判断的大小关系，并指出除第组外的每组至少含有几个数；‎ ‎（Ⅱ）当构成第（ ）组后，指出余下的每个数与的大小关系，并证明：；‎ ‎（Ⅲ）对任何满足条件的有限个正数，证明：.‎ 解 （Ⅰ）由题意：第一组数必是这些数中最大的一些数构成，第二组数是余下的数中的最大的数 构成，所以.因为构成这些数组的数都不大于50，所以除第组外的每组至少含有个数.‎ ‎（Ⅱ）当第组形成后，因为，所以还有数没有分完，这是余下的每个书必大于余差.余下数之和也大于第组的余差，即，由此可得 因为 所以.‎ ‎（Ⅲ）用反证法证明结论.假设，即第11组形成后，还有数没有分完，由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知，余下的每个数都大于第11组的余差，且，故余下的每个数 ① 因为第11组中至少含有3个数，所以第11组数之和大于.此时第11组的余差，这与①式中矛盾，所以.‎ 评析 本题是2004年北京高考题最后一题，难度相当大.考察考生的阅读理解能力和逻辑思维能力.‎ ‎4 阅读新材料解决新问题 数学阅读是一个完整的心理活动过程，它包括对新术语，符号的感知认读，对新概念的同化和顺应，以及必须的理解和记忆等心理活动因素.高考试题中有时便是通过提供新材料、创设新情境和提出新问题来考查考生的学习新数学知识的能力和综合利用所学知识解决新问题的能力，这类问题大多没有在以往的复习资料上出现过，背景相对公平，正是高考所追求的理想题型.‎ 例8（2004年北京市高考试题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.‎ 已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为       ，这个数列的前项和的计算公式为       .‎ 解析 这是一个新定义问题，题材对于每一位同学都是陌生的，重点在于考查学生学习应用新知识的能力和由“等差”到“等和”的类比能力.根据题意有：（d为常数）‎ 则由，不难的出 因此也就可以得出： ‎ ‎　　　‎ 例9（2006年四川省高考考试题）非空集合关于运算满足：⑴对任意、，都有；⑵存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融恰集”．现给出下列集合和运算：‎ ‎①{非负整数}，为整数的加法．‎ ‎②{偶数}，为整数的乘法．‎ ‎③{平面向量}，为平面向量的加法．‎ ‎④{二次三项式}，为多项式的加法．‎ ‎⑤{虚数}，为复数的乘法．‎ 其中关于运算为“融恰集”的是________．（写出所有“融恰集”的序号）‎ 此题是以近世代数中群的定义为背景的一道考查学生阅读理解、知识迁移的创新型试题．直接以群的定义为背景的试题在我国高考试卷和教辅资料中未曾见过，这就需要学生创新思维．此题构思精巧、背景公平、情境新颖，的确是一道能有效地考查学生创新能力和进一步学习高等数学潜质的好题．‎ 分析：由定义知“融洽集”满足两个条件：(1) 中任意两个元素经过运算后结果还在中，即非空集合对运算“封闭”；(2)集合中存在一个“单位元c”，条件(2)实质上是一个方程组，任意给出看是否能解出c．下面分别判断这两个条件是否都成立．‎ 解：① 因任意两个非负整数相加仍是非负整数，所以集合对运算“封闭”；又因存在单位元，使得对—切，都有，故关于运算为“融洽集”．‎ ‎② 因集合中不存在单位元，所以关于运算不是“融洽集”．‎ ‎③ 因集合对运算“封闭”，且存在一个单位元满足条件，故关于运算为“融洽集”．‎ ‎④ 因集合对运算“封闭”，但中不存在单位元，所以关于运算不是“融洽集”．‎ ‎⑤ 因两个虚数相乘可能为实数，故集合对运算不“封闭”，所以关于运算不是“融洽集”．‎ 综上可知，关于运算为“融洽集”的是①，③．‎ 例10如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为 ‎(A)26 (B)24 (C)20 (D)19‎ ‎ ‎ 解析：问题情境对大部分考生而言是陌生的，有棘手之感.如果能将“网线”，“最大信息量”等比较生疏的词语理解为“管道”，“最大水流量”等，则题意易懂，容易解决.从A到B的“最大水流量”，由四个管道汇总(如图)，经流入B的最大水流量为3；经流入B的最大水流量为4；经流入B的最大水流量为6；经流入B的最大水流量为6.应选(D).‎ ‎5结论 高考阅读理解类题型必将成为以后高考考核的重点，他题目新颖，考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识.而这类题型是考察学生的阅读理解能力、知识迁移能力和归纳概括能力等，是考察学生素质能力的典型题目.应引起广大学生和教师的关注.‎ 我国著名的数学家华罗庚先生认为，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”.前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃[6].在这里正是应用到了“从厚到薄”.而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理好这类问题.‎